2.5.2 圆与圆的位置关系&专题2 阿波罗尼斯圆和“隐圆问题-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步练习册（人教A版）

2.5.2圆与 A基础过关练 。测试时间：20分钟 1.[题型1](2026·山东济宁一中月考)圆0：x2+ y2=2与圆M:x2+y2+2x-2y-6=0的位置 关系为(). A.外离B.内切C.相交D.内含 2.[题型3](2025·华中师大一附中期中)已知圆 Cx+y-x+-1=0与圆Cx+y 2y一3=0，若圆C1与圆C2恰有三条公切线，则 实数t的值为(). A.±22B.±4√2C.±46D.0 3.[题型2]已知圆C1:x2+y2-2x=0,圆C2:x2十 y2+m.x一4y+n=0,若圆C2平分圆C1的周 长，则m十n=(). A.2 B.-2C.1 D.-1 4.[题型1、2、4](2026·山东东营多校联考)（多 选)点P在圆C1:x2+y2=25上，点Q在圆C2: x2+y2-6x十8y十24=0上，则( ) A.圆C1与圆C2相交 B.|PQ的最大值为10 C两圆的公共弦长为3四 5 D.当直线PQ与圆C1相切时，|PQ|的最大值 为√11 5.[题型1]在平面直角坐标系Oxy中，圆C的方 程为x2十y2-8.x十15=0.若直线y=kx-2上 至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的 圆与圆C有公共点，则的最大值是 B综合提能练 。测试时间：30分钟 1.[题型4](2026·湖南雅礼中学单元检测)已知 圆C1:x2+y2-2x一2y=0,设其与x轴、y轴 正半轴分别交于M,N两点.已知另一圆C2的 半径为2√2，且与圆C1相外切，则|C2M· 第二章直线和圆的方程 圆的位置关系 IC,N的最大值为(). A.20 B.20√2C.10 D.10√2 2.[题型3]已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径 分别为r1,r2(r1<r2),若两圆的一条公切线的 方程为1：y-(x十》，明-( ) A含 B.2 c D.3 3.[题型1、2、3、4](2026·安徽合肥模拟)（多选）已 知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-a)2+(y-1)2=4, a∈R,则(). A.两圆的圆心距|OC引的最小值为1 B.若圆O与圆C相切，则a=土2√2 C.若圆O与圆C恰有两条公切线，则一2√2< a<2√2 D.若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2 4.[题型2]（多选）如图，有一组圆C.(k∈N+)都 内切于点P(-2,0),圆C1:(x+3)2+(y-1)2 =2,设直线x十y十2=0与圆C。在第二象限的 交点为A,若|AA+1|=√2，则下列结论正确 的是(） A.圆C.的圆心都在直线x十y十2=0上 B.圆Cg的方程为(x+7)2+(y-5)2=50 C.若k≥9，则圆C。与y轴有交点 D.设直线x=一2与圆Ck在第二象限的交点为 B6,则|BB+1=2 5.[题型4](2025·河南商丘十校期中)过圆M: x2+(y一2)2=1上的一个动点A作圆C:x2十 y2十6x十4y十9=0的两条切线，切点分别为 P,Q,则PQ的取值范围为 19 用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA, 6.[题型2]已知直线l:x+2y一3=0与圆C:x2+ y2十x一6y十m=0相交于A,B两点，O为原 点，若OA⊥OB,求实数m的值. 7.[题型4幻在平面直角坐标系Oxy中，已知B,C 为圆O:x2+y2=4上两点，点A(1,1),且 ∠BAC=90°，求BC的取值范围. 20 C培优突破练 ●测试时间：20分钟 1.在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=max{x1 -x2|,y1-y2}为两点A(x1,y1),B(x2,y2) 的“切比雪夫距离”，又设点P及直线1上任意 一点Q,称d(P,Q)的最小值为点P到l的“切 比雪夫距离”，记作d(P,). (1)已知点P(3,1)和点R(-1,4),直 线l:x=1,求d(P,R)和d(P,l) (2)已知圆C:x+y2-2x-3=0和圆E:(x一 ar+(6a+}-9 ①若两圆心的切比雪夫距离d(C,E)=号， 判断圆C和圆E的位置关系； ②若a>0,圆E与x轴交于M,N两点，其 中点M在圆C外，且d(M,N)=3,过点M 任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A, B两点，记直线AN为l1,直线BN为L2,求 证：d(M,l1)=d(M,l2). 专题2阿波罗尼 1.阿波罗尼斯和欧几里得、阿基米德合称为亚历山 大前期三大数学家，他的著作《圆锥曲线论》是古 代世界光辉的科学成果，阿波罗尼斯发现：“平面 内到两个定点A,B的距离之比为定值入（入≠1） 的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系Oxy中， A(-2,0B,0)点P满足0-设点 P的轨迹为C,下列结论中不正确的是(). A.C的方程为(x+4)2+y2=16 B.若D(2,2),则PB|+2PD的最小值为45 C.在C上存在点M,使得MO=2MA D.当A,B,P三点不共线时，射线PO是 ∠APB的平分线 2.在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C:(x一1)2 +(y-2)2=r2(r>0),点A(-2,0),若圆C上 存在点M,满足|MA|2+|MO|2=4,则r的取 值范围是(. A.(0,2√2+1] B.(0,2√2-1] C.[2√2-1,2√2+1]D.[2√2+1，+o∞) 3.已知边长为2的等边三角形ABC,D是平面 ABC内一点，且满足DB:DC=2:1,则 △ABD面积的最小值是(). A.43-1) B.43+1D 3 3 C43 3 D 4.已知平面向量a,b,c满足|a=b=2,且|a+b =22,a+b+c=1,则2b+c+a+c的 最小值为 5.已知a,b是单位向量，a·b=0,若向量c满足 |c一a十b|=2,则|c|的最大值为 6.已知A,B是圆O:x2十y2=10上的动点，AB =4W2,P是圆C:(x-6)2+(y-8)2=1上的 动点，则|PA十3PB的取值范围是 7.如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C: 第二章直线和圆的方程 斯圆和“隐圆”问题 x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2). y .B (1)若直线L平行于AB,与圆C相交于M,N两 点，MN|=|AB|,求直线l的方程； (2)若圆C上存在两个点P,使得|PA2+|PB2 =a(a>4),求实数a的取值范围. 8.已知圆C:x2+y2-5x-4y+4=0. (1)若过点P(5,0)的直线l与圆C相 切，求直线1的方程。 (2)设圆C与x轴相交于两点M,N(点M在点 N的左侧)，是否存在圆O:x2+y2=r2,使 得过点M的任一条直线与该圆的交点A, B,都有∠ANM=∠BNM?若存在，求出圆 O方程；若不存在，请说明理由. y 21D错误.] 5.11或-9.[已知圆C的方程为x2-2x十y2-2my十2m一 4=0,化为标准方程得(x一1)2+(y-m)2=(m一1)2+4. 当m=1时，圆C的半径最小为2，即面积最小，所以当圆C 的面积最小时，圆的方程(x-1)2+(y-1)2=4,圆心C(1, 1),半径r=2.因为直线l:3x一4y十a=0与圆C相切，所 以圆心C(1,1）到直线1的距离3一4+a=2,解得a=11 √9+16 或-9.] 6.(1)由题意，切线斜率存在 可设切线方程为y-1=k(x十1)，即kx-y十k十1=0， 则圆心M到切线的距离d=3k+1 =1 Wk2+1 解得=0度子， 故所求切线方程为y=1,3x+4y-1=0. (2)连接PM,AB交于点N,连接AM,设∠MPA=∠MAN =0, AB=2AM cos 0=2cos 0. 1 在RtAMAP中，sin0=PW, 1 :lPM≥3，∴.(sin0)mx=3, 22 4√2 (cos 0)AB (3)设切线方程为y一t=k(x+1),即x一y十k十t=0, PA,PB的斜率为k1,k2, 故圆心M到切线的距离d=36+L-1, √k2+1 得82+6kt+t2-1=0, 6+:=-,k6-g 3 8 在切线方程中令x=0,可得y=k十t, 故ST=|(k1十t)-(k2十t)=k1-k2| =√(k1+k2)2-4k1k2 =2+8 4 2 STImin=2' 此时=0 故ST的最小值为号 培优突破练 1.ACD[圆x2+y2=4的圆心为0(0,0)，r=2. √x-2)+(-号)表示圆上一点(xy)到点A(2, ）的距离，1A01=√2+()=号，所以 √红-2)+(-名)的最小值是A01-7=号-2= 30 合，放A正确圆上一点(，9)到直线3z十y-12=0的距 离为d=13x+4y-12,13z十4y-121=5d,所以求3x+ 4y-l2的最小值，即求dmm,所以dmm即为O(0,0)到直线 3x十4y-12=0的距离减半径，所以O(0,0)到直线3x十 y一12=0的距离为4=号2-号，所以dm=d-7 5 号-2=号，所以3x十4y-12的最小值为5dm=2,故 5 B错误.因为x2+y2=4,所以√5-2z十√13-6y= Wx2+y2+1-2x+√x2+y2+9-6=√(x-1)2+y2+ √x2+(y-3)产表示圆上一点P(x,y)到点B(1,0),C(0, 3)的距离之和，所以PC+|PB≥CB=√+3=√10，故 当P,C,B三点在一条直线上时取等 √5-2z+√13-6的最小值是√10，故C正确.因为x2+ y2=4,所以2√/13-6-√20-8x=2√x2+y2+9-6y √4x2+y)+4-8x=2Wx2+y2+9-6-2Wx+y2+1-2x =2(√x2+(y-3)-√(x-1)2+y2),表示圆上一点 P(xy)到点C(0,3),B(1,0)距离之差的2倍，所以PC一 |PB≤2|BC|=2√1+3=2√10,2√13-6y-√20-8x 上当P,C,B三点在一条直线上时取等 的最大值是2√10，故D正确.] 2.5.2圆与圆的位置关系 变武训练 [变式1们C[由题意可知圆O1(0,0),半径r1=1,圆O2(a, b),半径r2=3.:圆O1与圆O2有且仅有2条公切线， ∴.圆01与圆02相交，∴O02|=√a2十b2∈(2,4)， .点(a,b)在以原点(0,0)为圆心，半径分别为2和4的圆所 夹的圆环内部（不含边界）.又|3a-4b+5|=5× 13a-46+5,.3a一4b+5代表点(a,b)到直线3x- 5 4y十5=0的距离的5倍，圆心(0,0)到直线3x一4y十5= 0的距离为1，.圆环内的点为(a,b)到直线3x-4y十5= 0的距离3a一6+5∈[0,5)，13a-46+5的取值范 5 围为[0,25).] 基础过关练 1.B 2B[把圆C的方程化为标准方程得(x-）十y2=1,则 圆心C(台，0)，半径1=1；把圆C,的方程化为标准方程 得x2+(y-1)2=4,则圆心C2(0,1),半径r2=2.由圆C 与圆C2恰有三条公切线，可知圆C,与圆C2相外切，则 1CC-r十r2,即，/（)）+1=3，解得=士4厄.] 3.B[已知圆C1:x2+y2-2x=0,即(x-1)2十y2=1,则圆 心C1(1,0),半径r1=1;圆C2:x2+y2+mx-4y+n=0,即 (+9)》°+0--实t,则贤-+8 ① 圆心C(受，2)，半径=√n十4.由题意可知两圆相 交，所以√+4-<√-4< m W4-n+4+1. ② 两圆方程作差可得(m十2)x一4y十n=0,即公共弦所在直 线的方程为(m十2)x一4y十n=0.因为圆C2平分圆C1的 周长，所以公共弦所在直线过点C1(1,0),故m十2+n=0, 即m十n=一2，经检验，满足①②.] 4.ACD[由圆C1的方程知，圆心C1(0,0),半径r1=5;圆C2 的方程化成标准方程为(x一3)2+(y+4)2=1,所以圆心 C2(3,-4),半径r2=1.因为两圆圆心距|C1C2|= √(3-0)2+(-4-0)2=5，且r1-r2<|CC2|<r1+r2, 所以圆C1与圆C2相交，故A正确. 当线段PQ同时经过两圆圆心且点P,Q分别在两圆圆心两 侧时，PQ取得最大值，|PQ|mx=|CC2|十r1十r2=5+ 5十1=11，故B错误.两圆方程作差，得两圆公共弦所在直线 方程为6x一8y一49=0，又圆心C1到直线6x一8y一49=0 1-491 的距离d= √62十8)二10，所以两圆的公共弦长为 226-(-8 ,故C正确。 垂径定理 当直线PQ与圆C1相切时，点Q在圆C1外，因为|PQ2= |CQ2一r,所以当|C1Q|取得最大值时，|PQ|取得最 大值.因为lC1Q|mx=|CC2|十r2=5十1=6，所以PQx= √62-5=√1T,故D正确.] 5手[圆C的标准方程为x-4)2+y°=1，圆心C(4,0), 则题中条件可转化为圆C的圆心到直线y=kx一2的距离 不大于2，则一2≤2，整理得32一4≤0，解得0≤k≤ /k2+1 直线上存在点，使得以该点为国心，1为半径的国有公共 点，即两圆圆心距在【0,2】之间 ，故的最大值是行] 4 综合提能练 1.A[如图，对于圆C1:x2+y2-2x-2y=0,整理可得圆 C1:(x-1)2+(y-1)2=2,可知圆心C1(1,1),半径为2. 令x=0,则y2-2y=0,解得y=0或y=2,即N(0,2).令y= 0,则x2一2x=0,解得x=0或x=2,即M(2,0).因为圆C 与C2相外切，所以|C1C2=√2+2√2=32，可知点C2(x, y)的轨迹为以C1为圆心，3√2为半径的圆，则点C2的轨迹 方程为(x-1)2+(y-1)2=18,可得1C2M2+1C2N2=[(x 2)2+y2]+[x2+(y-2)2]=2[(x-1)2+(y-1)2]+4= 40,即1C,M1·C,N1≤1C,MI,C,N=20,当且t仅当 2 |C2M=|C2N|=2√5时等号成立，所以|C2M·|C2zN 的最大值为20.] A 2.D[如图，设直线1与圆M、圆N分别相切于A,B两点，圆 M和圆N的半径分别为r1,r2, (怎样求2？可考虑建立关于1r2的方程，条件给出两圆外切，可 翻译为|MN=r1十r2,若能把MN用关于r1,r2的另一种方式表 示，就能建立芙于r1,r2的方程，观察图形可发现|MN|=PN |PM,而直线L的斜率已知，放∠APM可求，由此可将|PM|, PN|分别用r1r2表示) 由题意，直线I的斜率表=号所以m乙APM-号 从而∠APM=30°，故|PM=2r1,|PN|=2r2, 所以|MN|=|PN|-PM=2r2-2r1, 又因为圆M与圆N外切，所以MN|=r1十r2, 故2r2-2r1=r1十r2,化简得2=3.] r. 3.AD[由题意，圆O的圆心为O(0,0),半径r=1,圆C的圆 心为C(a,1),半径R=2.两圆的圆心距d=|OC|= √a2+1≥1，当且仅当a=0时取等号，故A正确.（相切包括 内切和外切两种情况，它们可分别翩译成圆心距|OC引=x一R, OC1=r+R,故分别考虑)当两圆内切时，圆心距d=|OC引= |r-R=1,即√a2+1=1,解得a=0;当两圆外切时，圆心 距d=1OC=r+R=3,即√a2+1=3,解得a=±22.所 以若两圆相切，则a=0或a=士2√2，故B错误.（两圆恰有两 条公切线意味着两国相交，故可将条件翩译为r一R|<OC<r+ R,由此建立关于a的不等式)若圆O与圆C恰有两条公切线， 则两圆相交，所以r一R<OC<r十R,即1<√a2+1< 3,由√a2+1>1可得a2+1>1,所以a2>0,故a≠0，由 √a2+1<3可得a2十1<9，所以a2<8,故-2√2<a< 2√2，所以-2√2<a<2√2且a≠0，故C错误.（涉及两圈的公 31 共弦长，可先用两圆方程作差，求出公共弦所在直线的方程，再楼直 线被圆截得的弦长处理)将两圆方程作差，整理得公共弦所在 直线的方程为2ax十2y十2-a2=0, ① (公共弦可看成上述直线被圆O载得的弦，怎样能使弦长最大？对 于圆的最大弦长，当然想到直径，于是先看弦是否可能为小圆的直 径，即上述直线是否可能过圆心O)将原点代入方程①得2一α2 0,解得a=士√2，都满足一2√2<a<2W2且a≠0，所以两圆 的公共弦可能为圆O的直径，此时公共弦长最大，为2r=2, 故D正确.] 4.ABC[圆C1:(x+3)2+(y-1)2=2的圆心为C1(-3,1), 1-0 P(-2,0),则k%,=-3-（-2-1,所以直线PC的方 程为y=一1×(x十2)，即x十y十2=0.由两圆内切圆心线 必过切点，得圆C的圆心都在直线PC:上，即圆C。的圆心 都在直线x十y十2=0上，故A正确.显然|PA。|=√2(k+ |x十y5=一2， 1),设点A(x,y),则 而 √12+1|x+2=√2(k+1), x<-2,解得x=一k一3，y=十1，因此圆C的圆心 6(-告学告)轮为2坠-号+，圆G的方 2 程为(+告y'+6-告)- 2,则圆C,的方 程为(x十7)2十(y-5)2=50,故B正确.圆C。的圆心为 (-告告)：半径，=洁，圆心到y轴的距离为 2 生告梦<两边平方得+0+< √2 4 2+2k+1,k2-6k-23=(k-3)2-32≥0，k>≥3+42，而 k∈N+,当>≥9时，圆C.与y轴有交点，故C正确.在(x十 去)+（告-少中，令x-2,得点B的 2 纵坐标为k十1，因此BB+1=1,故D错误.] 525, [圆M:x2+(y-2)2=1的圆心为M(0, 2),半径为1，将圆C:x2十y2十6x十4y十9=0整理为(x十 3)2+(y十2)2=4，因此点C(-3,-2),半径为2,1CM|= /(-3)2+(-2一2)2=5，由于A在圆M上，因此4≤AC≤6. 设PQ与AC交于点N,∠PAC=0,如图，则9∈(o,), 引入角参数，把距痛范围问题转化为角的范圆问题 所以∠NPC=A.在R△APc中，sm0=A是C∈[日，]， 所以|PQ|=2|PN1=2X2cos0=4√1-sin0∈2V3, 89] 32 6.(OA⊥OB意味着以AB为直径的国过点O,而A,B是直线l与國C 的交点，故可设经过直线（和圆C交点的圆系的方程） 由题意，可设经过A,B两点的圆系方程为x2十y2+x一6y十 m十λ(x十2y-3)=0, 整理得x2+y2+(1+A)x十(2λ-6)y+m-3x=0, ⊙ 该圆的圆心为K(-士，8-以) 要使OA⊥OB,则点O在以AB为直径的圆上， 要使方程①表示以AB为直径的圆，则圆心K在直线1上， 将K代人1的方程得1生2+23-》-3=0问以=1 又因为原点O在方程①表示的圆上，所以m一3入=0， 结合入=1可得m=3. 7.(怎样用∠BAC=90°这个条件？B,C都是动点，若设两个动点的坐 标，显然不便于研究B,C的轨迹，怎么办呢？我们从目标出发，要 求的是|BC的取值范圈，BC是圆O的弦，计算國的弦长，常取弦的 中点) 如图1，设BC的中点为M,则OM⊥BC. 因为∠BAC=90°，所以|BC|=2AM. ① (由于A是定点，故只要找到M的轨迹就能求出AM的取值范围， 进而得到IBC的范围，怎样求M的轨迹？我们可以结合∠BAC= 90°来分析) 因为∠BAC=90°，所以AM=|BM 又|BM=√TOB2-1OMP=√4-OM平， 故AM=/4-OM|2. ② 设M(x,y),则由②得 √(x-1)2+(y-1)2=W4-(x2+y2), 化简得(c-)广+(-)》'=2 所以点M的镜连是圆心为T(号，），半径，一号的圆 (接下来就是圆上的动点到定，点距离的取值范圆问题，需先判断定点 在圆内还是圆外) 因为(1-名)》'+(1-)°=<号，所以点A在圆T内. 如图2，Ar1=√（合-）+（合-1）-号， 所以AM=AM=1M-hn1--号 A=1M=M,1+AT-9+'号， 结合①得|BCm=√6-√2，|BCImx=√6十√2， 故BC的取值范围是[√6一√2，√6+√2] M, 图1 图2 培优突破练 1.(1)P(3,1),R(-1,4),3-(-1)=4,11-4=3, 所以d(P,R)=4. 直线1的方程为x=1,设Q(1,t)是1上一点，|3一1=2， 当|t-1≤2，即-1≤t≤3时，d(P,Q)=2, 当t-1>2,即t<-1或t>3时，d(P,Q)=t-1, 所以d(P,Q)的最小值是2，所以d(P,l)=2. (2)①圆C的标准方程是(x-1)2+y2=4,圆心为C(1,0) 半径为2， 圆E的圆心为E(e,a-号），半径为号， acB=。-a-2}=2 若。-1=则a=或a=， 当a=2时，a-2引 3 =1,d(C,E)=1不合题意， 当a=时，a-引-0，dC,B)=号满足题意， 3 此时E(号，0小，CE1=号号-2，因此两圆内切： 若-引-则a=1或a=2 当a=2时，a-1=1,d(C,E)=1不合题意， 当a=1时，la-1=0,d(C,E)=2满足题意， 此时E(1,-2）,CE=方号-2，两圆内切， 所以圆C和圆E内切. ②圆E和x轴交于M,N两点， 则方程红)+(-a+2》广-要。 即x2-2ax+2a2-3a-4=0, 有两个不等的实数解， 所以△=4a2-4(2a2-3a-4)>0,解得-1<a<4. 又a>0,所以0<a<4. 设方程(*)的两解为x1,x2, 由d(M,N)=3,得|x1-x2=3, 由根与系数的关系得x1十x2=2a,x1x2=2a2-3a一4， 所以|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=4a2-4(2a2-3a 0=9,解得a=号或a=己（含去）。 a?时，方程(*)为x2-7z+10=0,解得x1=2x2 5,交点为(2,0)和(5,0)， 点M在圆C外，则|MC>2,因此M(5,0),N(2,0). 如图，设直线AB的方程为y=k(x一5)(k≠0)，A(x3,y3), B(,y), /y=k(x-5), 由 x2+y2-2x-3=0, 得(1+2)x2-(2+10k2)x十(25k2-3)=0, △=(2+10k2)2-4(1+k2)(25k2-3)>0, 解得<。 xg十x4= 2+10k2 25k2-3 1十k2,x3x4 1十k2 当直线AN斜率不存在时，可求得点A(2,W3)或(2，一√3)， 此时AC·AM=一1，即直线AM与圆C相切，点A,B重 合，不合题意， 所以直线AN,BN的斜率存在(x3≠2，x4≠2)， 设直线AN,BN的斜率分别为k1,k2, 则k1十k2=,32十4。=z-5》+k(z4-5) x3-2x4-2x8-2 x4一2 [2x3x4-7(x3十x4)+20 (x3-2)(x4-2) 。+ -=0, (x3-2)(x4-2) 所以1=一k2,因此直线11，l2关于x轴对称， 直线11上任意一点Q(xoyo)与直线L2上点Q(xo,一yo) 关于x轴对称，它们是一一对应的关系， d(M,Q)=max(lzo-51,lyo), d(M,Q')=max(lxo-51,-yol)=max(1zo-51,Iyo)= d(M,Q), 即{dM,Q)lQ∈l1}={d(M,Q')|Q'∈lz}, 所以d(M,Q)的最小值与d(M,Q)的最小值相等， 即d(M,l1)=d(M,l2). 专题2阿波罗尼斯圆和“隐圆”问题 1.C[设P(x,y),A(-2,0),B(4,0),∴.|PA|= 20+可，Pa-vay.:路-， √(x十2)2+yZ1 /(x-4)2+y2 =2,六(x十4)2十y2=16,故A正确 33 路-安，Ps1-2lPa ..PBI+2PD=2PA+2PD=2(PA+PDI)> 2AD=2√-2-2)2+(0-2)2=45，当且仅当点P在 线段AD上时，等号成立，故B正确！ 老No1=2MA,则阁 =2,设C(x,y),即 √π+y √(x+2)2+y =2,即(e+)+y-,∴点M的轨 迹为以C(-号，0）为圆心，青为半径的圆。 :1c'1=4-g=<4-=8, ∴.⊙C与⊙C'无交点，故不存在点M,故C错误 aA1-2a-4,80--%. ∴当A,B,P三点不共线时，由角平分线原理知，PO为 ∠APB的角平分线，故D正确.] 2.C[(设点M坐标，然后表示出|MA和MO,建立方程后得到点 M的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而 得到圆心距和半径的关系，求出的取值范固) 设M(x,y),则|MA|=√(x+2)+y,MO=√x2+y. 因为|MA2+|MO|2=4,所以[√(x十2)2+y2]+ (√x2+y2)2=4,即(x+1)2+y2=1,所以点M的轨迹是 以N(-1,0)为圆心，1为半径的圆N. 又因为点M在圆C上，所以圆C与圆N有公共点，所以 |r-1≤|CN|≤r+1,即|r-1≤22≤r+1,解得2√2 1≤r≤2W2+1.] 3.A[以BC的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标 系，则A(0,w3),B(-1,0),C(1,0),设D(x,y),因为DB: DC=2:1,所以(x+1)+y2=4(x-1)2+4y2,得 (女-号)'+y-日，所以点D的轨迹为以（停，0）为圆心， 专为半径的圆，当点D到直线AB距离最小时，△ABD的 面积最小.易知直线AB的方程为3x一y十√3=O,|AB 533 3 4 =2,点D到直线AB的最小距离为d一r= 2 3 -4专所以△ABD面积的最小位为日×2X( )-6-D 3 C 34 47 2 [原题等价于：已知平面向量a,b,c,满足a=b= 2,且a+b=22,a+b-c=1,求2|b-c+a-c的 最小值 设0A=a,08=b,0元=c,0i=a+b,D元-}D, 则四边形OADB是正方形，a十b-cl=|CD1=1, 坐标法可证得2CB1=CE, (阿波罗尼斯圆，先特例求得，再证明) 则号1b-c+a-c=号CB+CA=CE+1CA≥ IEA] 5.2十√2.[由a,b是单位向量，且a·b=0,则可设a=(1, 0),b=(0,1),c=(x,y),所以c-a+b=(x-1,y十1)，因 为向量c满足|c-a十b1=2,所以√(x-1)2+(y+1)z= 2,即(x-1)2+(y十1)2=4，它表示圆心为C(1,-1),半径 为r=2的圆.又|c|=√x2+y表示圆上的点(x,y)到坐 标原点O(0,0)的距离，因为|0C|=√1+（-1)2=√2，所 以c|mx=|OC十r=2+√2.] 6[28,52].[如图，设AB的中点为N,NB的中点为M,则 PA+3PB=2PN+2PB=4PM,所以IPA+3PB1=21PN+ PB=4PM.因为AB|=42,|OA|=√10，所以|ON =√2=|NM|,所以|OM|=2,故点M的轨迹为以O为圆 心，2为半径的圆.因为P是圆C:(x-6)2+(y-8)2=1上 的动点，所以|PMmm=√62+82-(1十2)=7，|PMmx= √6+8+(1+2)=13，故4|PM1∈[28,52]，即|PA+ 3PB1∈[28,52].] 7.(1)根据题意，圆C的标准方程为(x一2)2+y2=4,所以圆 心C(2,0),半径为2. 因为∥AB,A(一1,0)，B(1,2),所以直线AB的方程为x y+1=0,且|AB|=√4+4=22， 设直线L的方程为x一y十m=0, 又由|MN|=|AB|=2√2，圆心C到直线l的距离d= 得r=(+(, √2 (吉)’-2解得=0文m=一， 故直线l的方程为x一y=0或x一y一4=0. (2)根据题意，设P(x,y),若|PA|2+|PB2=a,则|PA+ |PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=a,变形 可得x2+y2-2十3=号，即x2+y-102=号-2，则点 P的轨迹是以0,1)为圆心，√分-2为半径的圆. 若圆C上存在两个点P,使得|PA2+|PB2=a,则圆C 与圆x2+(0y-1)2=号-2相交， 两圆的圆心距d′=√4十1=√5， 则有√号一-2-2<5<号-2+2解得2-85< a a<22+8√5，故实数a的取值范围为(22一8√5,22+8√5). 81圆C的标准方程为(。-多)'+0-2y- 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程x一5=0，与圆相切. 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=(x一5)，即 kx-y-5k=0. 因为直线1与圆相切，所以d= √k2+1 质=最 故所求直线1的方程x一5=0或9x一40y一45=0. (2)令y=0,得x2-5x十4=0，则x=1或x=4,所以M(1, 0),N(4,0). 假设存在圆O:x2十y2=r2,当直线AB与x轴不垂直时，设 直线方程y=k(x一1)， y=k(x-1), 联立 得(1+k2)x2-2k2x+k2一x2=0. x2+y2=r2, 设A(x1y1),B(x2y2), 22 从而x1十x2一1十2x122-r 1十2： 因为NA,NB的斜率之和为 y1⊥y2_k[(x1-1)(x2-4)+(x2-1)(x1-4)] x1-4x2-4 (x1-4)(x2-4) (x1-1)(x2-4)+(x2-1)(x1-4)=2x1x2-5(x2+x1)+ 8=2X63x2 1+6+8=8-22 1+-5X,22 1+k2, 因为∠ANM=∠BNM,所以NA,NB的斜率互为相反数， 即十产40所=即r 当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM=∠BNM,即 NA,NB的斜率互为相反数. 综上所述，存在圆O:x2+y2=4,使得∠ANM=∠BNM. 国O:x2+y2=4是相对于点M,N的阿 该罗尼断国，AM=号AN 第二章单元学能测评 1.C 2.B[动直线x十my=0过定点A(0,0),将动直线mx-y一 x-1=0, m十3=0整理为m(x-1)+3-y=0,令 解得 3-y=0, x=1,y=3,即直线恒过定点B(1,3). 因为1×m十m×(-1)=0,所以直线x十my=0与直线mx 一y一m十3=0垂直，所以点P在以AB为直径的圆上，圆 心为c(日，名），半径r=Ac1=√（合-o)+(-o) -0 ,圆心C到直线x-3y+9=0的距离为d √12+32 -0=,所以直线x一3+9三0与圆 2 C相切，即点P到直线的距离的取值范围为[0，√10].] 点P到直线的距离的最小值为0，最大值为圆的 直径2r=√10 3.B[将圆M的方程化为标准形式(x+a)2+y2=a2,则圆 心为（一a,0),半径rM=a(a>0). 因为直线3x一4y+2=0与圆M相切，所以圆心到直线的 距离等于半径， 由点到直线的距离公式得-3a+2-a,结合a>0,解得 5 a=号，放圆M的圆心为(-子o0）,半径w=子 1 1 圆N的圆心为(-1,1)，半径rN=1. 两圆的圆心距d=√(-4+1)'+(0-1y=号，因为d +7、=是+1=，所以两圆外切.] 4.A[如图，设A(0,4),直线3x-y+4=0过A(0,4)和 B(后j,显装4引 当直线1的方程为x=0时，直线1，直线3x一y+4=0与 x轴围成的三角形是△AOB,不是等腰三角形，所以直线L 的斜率存在. 设点B关于)轴的对称点为c(后小，当直线1过A,C两 点时，|AB|=|AC|,△ABC是等腰三角形，同时由于直线 AB的斜率为3，倾斜角为，所以△ABC是等边三角形， 所以AC=BC,此时直线1的方程为圣十学=1，即，3x 5 +y-4=0. 设直线L与x轴相交于点D,若|AB|=|BD|,则∠ADB= 音，所以直线AD的斜率，即直线1的斜率为号，对应方程 √3 为y=号x+4,即3x-3)+12=0.] 35