第3.1节 函数的概念及其表示 综合训练-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

重难点手册高中数学必修第一册（上）？J(浙江专用) 第3.1节综合训练 A学考过关练 测试时间：10分钟 B高考提能练 测试时间：15分钟 1.(经典·浙江省学业水平考试)函数f(x)= 1,x≥0， 1.已知f(x)= 则不等式x十(x十 √x的定义域是(). -1,x<0, A.(0,1) B.[0,+∞) 2)f(x+2)≤5的解集是( C.[1,+o∞) D.R A.[-2,1] B.(-∞，-2] 2.已知函数f(x)的定义域为（一1,1），则函数 c-2别 n(e,引 gx)=f(）+f(x-1)的定义域为( 2.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x十1) A.(1,2) B.(0,2) 2f(x),且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x-1). C.(0,1) D.(-1,1) 若对任意xE(-60,m,都有fx)≥8，则 3.若函数y=f(x)的值域为[1,3]，则函数 m的取值范围是( F(x)=1-2f(x十2)的值域是( A.[-9,-5] B.[-5,-1] A(←，] (-引 C.[-1,3] D.[1,3] 2x十a,x<1, c(, n(, 4.已知实数a≠0，函数f(x)= -2x≥，若 3.(2025·北京大学附属中学期中)已知函数 f(1一a)=f1十a),则a的值为 x2-x十3，x≤1， A-是 c-s f(x)= 设a∈R,若关于x ,x>1, x 5.若函数y=f(x)对任意x∈R,均有f(x十y) =f(x)十f(y),试写出满足此性质的一个非 的不等式fx)≥|受十a在R上恒成立，则a 常数函数的函数解析式： 的取值范围是( 6.根据下列条件，求f(x)的解析式. A[铝月 B. 4739 1616 (1)f(x)是一次函数，且满足3f(x十1) f(x)=2x+9. C.[-2w3,2] D.- 别 (2)2f()+f(x)=x(x≠0). 1 2 4.已知函数f(x) 若 x2-2x+3,c≤x≤3， f(x)的值域为[2,6]，则实数c的取值范围是 x2十x,0<x<2, 5.已知函数f(x) 若f(a) -2x+8,x≥2， fa+2),则f()的值是 32 第三章函数的概念与性质 么型 6.(2024·复旦大学强基计划招生考试)x|x|+ C拓展拔高练 测试时间：10分钟 bx十c=0,根的个数最多为 7.(2026·浙江绍兴第一中学检测)已知函数 1.（多选)已知函数f(x)= 定 2x,0≤x≤2' 1 1 2-2x,2<x≤1， f(x)= 则方程f(f(x) 1 2(1-x),2<x≤1， 义：fm（x)=f(f(…f(x)…),n∈N+,则 =x的解的个数是 n个f ( 8.某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少 运行1小时，但不超过20小时.假设该设备每 A()-品 天运行x小时，且每小时的平均耗电量C(x) 千瓦时与每天的运行时间满足如下函数关系： B.f()≥2当且仅当0<x≤日 360_112+10,1≤x≤10， C.fm(x)的值域为[0,2] x2 x D.集合{x|f1s(x)=x,x∈[0,1]}中至少含有 C(x)= x+ 184 x -26,10<x≤20. 9个元素 2.(2025·湖北黄冈中学高一年级竞赛训练)定 (1)当1≤x≤10时，若该设备每小时的平均耗 义：区间(m,n),[m,n],(m,n],[m,n)的长度 电量不超过2千瓦时，求x的取值范围。 d均等于n一m.设函数y=f(x)的值域为区 (2)求该设备一天耗电总量的最小值及设备当 间C. 天的运行时间. (1)已知f(x)=x2+1,x∈[-1,3]，求C的 长度d. (2)已知f(x)=1-(x+1)|x-1|,x∈[t, t+1].是否存在实数t∈(0,1)，使得C的 长度d=t+1?若存在，求出t的值；若不 存在，请说明理由。 33x>3, ③， -4>0 解①得x≤-1，解②得-1<x<1,解③得x无解. ∴.f(x)>0的解集为(-∞，-1]U(-1,1)=(-o∞，1) (3)f(x)的图象如图所示. -4-3-2-1 2345x 由图象可知，当a∈(-∞，一4)U(4,+∞)时，直线 y=a与f(x)的图象无交点. 8.(1)由题意设f(x)=a.x2+bx十c(a≠0)， 因为f(0)=1,所以c=1. 又因为f(x+1)-f(x)=2x, 所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(a.x2+bx+1)=2.x, 即2ax+a+b=2x,所 2a=2解得a=1 a+b=0, b=-1, 所以f(x)=x2-x十1. (2)方法一（换元法）令t=√x十2，则x=(t一2)2， t≥2， 故f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4,t≥2， 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2一4(x≥2). 方法二（配凑法）f(√元十2)=x十4√元=x十4元十 4-4=(W五+2)2-4. 因为√元+2≥2， 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-4(x≥2). (3)因为f(x)+3f(-x)=2x2-4x, 所以f(-x)+3f(x)=2(-x)2-4(-x)=2x2+ 4红，两式联立消去f(-x)可得f(x)=2x2+2x. (4)令y=x,则f(x-x)=f(0)=f(x)-x(2x-x十 1)=1, 所以f(x)=x2+x+1. C拓展拔高练 1.D提示：令x=y=0可得-2f(0)=-2,所以f(0) 1,再令x=0可得f(y)-2f(-y)+f(0)-2f(y)= y-2,即-f(y)-2f(-y)=y-3, ① 将上式中的y全部换成-y可得-f(一y)一2f(y)= -y-3, ② 联立①②可得f(y)=y+1,所以f(2024)=2024+ 1=2025. 2.(1)-1±2.(2)3z-D≠1). 提示：①油/a)得/)话号 f(@)+1x, f)f.)=f.) c+7f(x)= 2“.由f万)=f（,)得=，解得， -,maw)=-1出 2由2f(1+）-f(1-)=x, ① 得2r(1-）-f1+2）=-x, 由0②得3/(+）-x,则fl+）=3xx≠0， 令1+子=，则x=,≠10 所以f)-34二D≠1D 1 故fx)=3x-Dz≠1)， 第3.1节综合训练 练习册答案 A学考过关练 1.B 2.A提示：f(x)的定义域为(-1,1)， x≠0， ÷要使g)有意义，则-1<<1，解得1x<2。 (-1<x-1<1, ∴g(x)的定义域为(1,2). 3.B提示：函数y=f(x)的值域为[1,3]， .1≤f(x十2)≤3，-6≤-2f(x+2)≤-2， .-5≤1-2f(x+2)≤-1. 4.A提示：：a≠0，f(1-a)=f(1+a),当a>0时，1- a<1<1+a,则f1-a)=2(1-a)+a=2-a,f(1+ a)=-(1+a)-2a=-1-3a,.2-a=-1-3a, 即a=-号（合去），当a<0时，1十a<1<1-a,则 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,f(1十a)=2(1+ 31 a+a=2+3a,六-1-a=2+3,即a=-子综 上可得a=一是 5.f(x)=x.(答案不唯一)提示：若f(x)=kx,则f(x十 y)=k(x十y),f(x)+f(y)=kx十ky=k(x十y),所 以f(x)=x(答案不唯一，只要满足f(x)=kx,k≠0 即可) 6.(1)由题意，设f(x)=a.x十b(a≠0)， 因为3f(x十1)-f(x)=2x+9, 所以3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9, 即2ax+3a+2b=2x+9, 2a=2, 由恒等式性质，得 (3a+2b=9 解得/1， b=3, 则所求函数解析式为f(x)=x十3. (2)因为f(x)+2f(）=x,将原式中的x与！互 换，得(）+2f)=2,于是得关于f(x),f(任〉 rx)+2r()=, 的方程组 f(2）+2fx)=2, B高考提能练 1.D提示：①当x十2>0，即x≥-2时，f(x十2)=1. 由x+(x+2)f(x十2)≤5可得x+x+2≤5， x≤，即-2x≤ ②当x+2<0,即x<-2时，f(x+2)=-1. 由x十(x+2)f(x十2)≤5可得x-(x+2)≤5， x<-2. 综上，不等式的解集为(-©，] 2.B提示：因为f(x十1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1), “xeo,1]时，f）=xx-1De[}0], ∴.x∈(1,2]时，x-1∈(0,1]，f(x)=2f(x-1)=2(x 1x-2e[-0: ∴x∈(2,3时，x-1∈(1,2]，f(x)=2f(x-1)=4(x 2)(x-3)∈[-1,0]， 当x∈(2,3]时，由4(x-2)(x-3)=-9,解得x= .8 32 39 若对任意xE(一o,m],都有fc)≥-号，则m<号 7 758 3.A提示：当x<1时，关于x的不等式f)≥受+a 在R上恒成立， 即为-2+x-3受+a≤2-x+3, 即有-x+2x-3a<x2- 1 2x+3, 由y=一2+2x一3的对称轴为x=}<1,可得x 子处取得最大值一铝。 由y=-子十3的对称轴为x=是<1，可得 号处取得最小值器则一<a≤器 ① 当x>1时，关于x的不等式f(x)≥ +a在R上 恒成立， 即为-(e+2)≤受+a<x+足 即有-（侣+2）a≤受+2， 由y=(g+2）-2受-2 当且仅当x= 2时等号成立： 1 1.2=2 y=。x十≥2W92,】 x x 当且仅当x=2时等号成立， 则-23≤a≤2， ② 由08可得-铝<a<2 4[-1,] 提示：因为f(x)= z2-2x+3,c≤x≤3 的值域为[2,6]， 所以对于函数y=x2-2x十3=(x-1)2+2, 当x=3时，y=6;当x=1时，y=2. 而-≠0，即有-是+2≠2，故1∈[c,3],即c≤1 又c2-2c+3≤6，则有-1≤c≤1， 当0≤c≤1时，函数f(x)在(-∞，0)上的取值集合为 (2,十∞)，不符合题意， 于是-1Kc<0,函数y=2-上在(-60,6)上单调递 增，则2<-1+2<-1+2， 有2-≤6，因此-1<≤-， 所以实数c的取值范国是[一1，-] 5.2.提示：当a≥2时，则a十2≥4，由f(a)=f(a十 2),得-2a十8=-2(a十2)+8，此时无解；当0<a<2 时，则a+2>2,由f(a)=f(a+2),得a2+a=-2(a +2)+8,所以a=1,则f(日）=f=1+1=2 x2+bx+c,x≥0， 6.3.提示：记f(x)= 这是个分 -x2+bx十c,x<0, 段函数，两段分别是二次函数的一部分，这两段的对称 轴为相反数，开口方向相反，与y轴的交点相同. 作图容易看出图象与水平截线最多有三个交点，故原 方程根的个数最多为3. 7.4.提示：依题意可得 ,0r≤ 21-2r≤号 f(f(z))= 22-1D<<, 41-x,<<1 当0r≤时，由fx)=x,得x=0: 当<x<2时，由f(x)》=x,即21-2x)=x, 得=号 当}<x<时，由fx)》=x,即2(2x-1D=x, 得x=子： 当及<x<1时，由f(x》=x,即41-x)=x,得 x= 综上可得，方程f(f(x)=x有4个实数根.故答案为4 8.（1)当1≤≤10时，Cx)=360_112+10, 由题意得C()≤2360_112+10≤2， T2 x 即x2-14x十45≤0→(x-5)(x-9)≤0，解得5≤x≤9， 又1≤x≤10，所以x的取值范围为[5,9]. (2)由题意得，设备一天的耗电总量为 W(x)=x·C(x)= 360+10x-112,1≤x≤10， x2-26x十184,10<x≤20. ①当1≤z≤10时，w(x)=360+10z-112≥2· /360×10x-112=8, 当且仅当360-=10x,即x=6∈[1,10]时，等号成立： ②当10<x≤20时，W(x)=x2-26.x+184=(x- 13)2+15, 当x=13∈(10,20]时取得最小值15. 因为W(6)<W(13),所以最小值为W(6), 即设备一天的耗电总量最小值为8千瓦时，设备当天 运行6小时. C拓展拔高练 1ABD提示：选项A,fi(x)=f(x,因为号∈[o, ]得f(偏)是+号品放A正晚 选项B,当0≤x≤2时，f(x)=x+2≥2，满足， 1、1 当<r<1时，解不等式2-2x≥3，得≤，即得 <≤， 故f1)≥，当且仅当0区x≤成立，B正确 选项C,fi(x)的值域：当0≤x≤2时，，(x)∈ [2]当号<≤1时，fi✉e[o1 故f1(x)的值域为[0,1]，故f2(x)的值域为[0,1]，…， 因为fn(x)=f(fm-1(x),且fm-1(x)∈[0,1]，故 fn(x)的值域仍为[0,1]，C错误. 33 画出()=x的图象，由图象可知，f(号)=子、 23 即f)=x,有根号设A=0,2,1小， 由f0)=2(号)=1，f1)=0,知A中每-个元 素a均有f3(a)=a,故也有fis(a)=a,所以a∈B,从 而A二B. (偏)品+2-品 f()=()-21-瑞)-品 5(层)=f()=21-)-8 f(层)-f()=21-)-普 f.()=f()=21-)=品 可得f.(号)对n以5为周期变化 对C=层品岩是错中，每一个元素c均有 fs(c)=c,从而也有f5(c)=c,即c∈B→C二B, 又显见f(号）=号所以f(学)=子 故号∈B,可见，AUcU(号}CB, 即B中至少包含有宁10，号，品品是是总这 九个元素，D正确. 2.(1)因为f(x)=x2+1,x∈[-1,3]， 所以f(x)在[-1,0]上单调递减，在(0,3]上单调递增， 所以f(0)≤f(x)≤f(3),即1≤f(x)≤10， 所以f(x)的值域为C=[1,10],C的长度为d=9. (2)根据意意，)= 1-(x+1)(1-x),x∈[t,1], 1-(x+1)(x-1),x∈(1，t+1], x2,x∈[t,1], 即fx)=-2+2,xe1,+1 t∈(0,1)， 当x∈[t,1]时，f(x)=x2∈[t,1], 34 当x∈(1，t+1]时，f(x)=-x2+2∈[-t2-2t+1,1), 若t2≤-t2-2t+1,则f(x)的值域C=[t2,1],则 d=1-t2=1+t, t=-1或0，又t∈(0,1)，不合题意， 若t2>-t2-2t+1,则f(x)的值域C=[-t2-2t+ 1,1],则d=t2+2t=1十t, 即+1-1=0，解得4-52或-二125（合去）。 当：-2时满是>--2+1，符合题意。 所以存在实数1-2，使得C的长度d=1+ 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 变式训练答案 [变式1]设x1,x2是（一∞，十∞）上的任意两个实数， 且x1<x2,则有 f(x1)-f(x2)=(-x3+1)-(-x8+1) =x8-x =(x2一x1)(x2十x1x2十x) =,-x[+）+] x1<x2, >0(+)+是>0， 4[+）+]>o, 即f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). .函数f(x)=一x3十1在（一∞，十∞）上为减函数. -2x+1,x≤-1， [变式2]y=|x+1+|x-2|=3,-1<x≤2， 2x-1,x>2. 作出函数的图象如下： 1O2 由图象可知，函数的单调递减区间为（一∞，一1]，单调 递增区间为[2，十∞). [变式3](0,3].提示：分段函数的单调性应先分段再 综合考虑.因为f(x)在R上是单调递增函数，所以在