3.1.2 函数的表示法-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

3.1.2函 A 学考过关练 。测试时间：10分钟 1.[题型3]已知函数y=g(x)的对应关系如下 表所示，函数y=f(x)的图象如下图所示，则 g(f(2)的值为( g(z) A.-1 B.0 C.3 D.4 2.[题型2](2024·浙江省学业水平考试)甲某全 年交税额为5617.19元，则根据下表，他的交 税等级为( ) 级 全年应纳税所得额 税率/% 速算扣除数 不超过36000元的 3 0 超过36000元至144000 2 10 2520 元的部分 超过144000元至300000 20 16920 元的部分 超过300000元至420000 25 31920 元的部分 超过420000元至660000 5 30 52920 元的部分 超过660000元至960000 35 85920 元的部分 1 超过960000元的部分 45 181920 A.1 B.2 C.3 D.4 3.[题型1门已知函数f(x)满足f(x-)=x2+ 2则f(x)的解析式为了 A.f(x)=x2+2 B.f(x)=x2 C.f(x)=x2十2(x≠0) D.f(x)=x2-2(x≠0) 4.[题型3]生活经验告诉我们，当水注进容器时 (设单位时间内进水量相同)，容器内水的高度 第三章函数的概念与性质 么超 数的表示法 h随着时间t的变化而变化.请从下图中选择 与容器相匹配的图象， 丛少) 1 (2) (3) (4) (A)—();(B)—(); (C)—();(D)—(). 5.[题型2](2025·浙江省学业水平考试)函数 0,lx≤1， f(x)= 2z>1 已知a∈R,则f(f(a) 6.[题型3]作出下列函数的图象 1y-2x-1r∈Z,且lz14. (2)y=x2,x≥-1. 29 重难点手册高中数学必修第一册（上）/ B高考提能练 测试时间：15分钟 1.[题型1]我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形 时少直观，形缺数时难入微.”在数学的学习和 研究中，常用函数的图象来研究函数的性质， 也常用函数的解析式来研究函数图象的特征. 我们从化这个商标中抽象出一个函数 图象（如图），其对应的函数可能是( A.f(x)=x-I可 B.f(x)-Tlz|-1 C.f(x)=2- 1 D.f(x)=x2+1 2.[题型2、3]设x∈R,定义符号函数sgnx= 1,x>0, 0,x=0,则函数f(x)=|x|sgnx的图象 -1,x<0, 大致是( 米来来 3.[题型1]（多选）已知一次函数f(x)满足 f(f(2x)=8x+3,则f(x)的解析式可能为 (). A.f(x)=2x+1 B.f(x)=2x-3 C.f(x)=-2x-3D.f(x)=-2x+1 4.[题型1]已知函数f(x)=2x十3，g(x)= 3x一k(k∈R).若f(g(x)=g(f(x)恒成 立，则=」 5.[重难点2]已知函数y=f(x),x∈R不恒为 零，对于Hx,y∈R满足f(xy)=xf(y)+ fx),若f(4)=2,则f(-0 30 (浙江专用) a,a≥b, 6.[题型3]定义max{a,b}= 令函数 (b,a<b, f(x)=max(x2-3x+3,6-x). (1)画出f(x)的图象. (2)求f(x)的值域. 7.[题型3]已知函数f(x)=|x-3-|x+1. (1)求f(x)的值域. (2)解不等式：f(x)>0. (3)若直线y=a与f(x)的图象无交点，求实 数a的取值范围. 8.[题型1门(1)已知二次函数f(x)满足f(0)= 1,且f(x+1)-f(x)=2x,求函数f(x) 的解析式. (2)已知f(√元+2)=x+4√x,求f(x)的獬 析式 (3)已知函数f(x)满足f(x)+3f(-x)= 2x2一4x,求函数f(x)的解析式. (4)已知f(x)是定义在R上的函数，f(0) 1,并且对任意的实数x,y都有f(x y)=f(x)-y(2x-一y+1),求函数f(x) 的解析式 第三章函数的概念与性质 么超 C拓展拔高练 测试时间：5分钟 1.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)一 2f(x-y)+f(x)-2f(y)=y-2,则 f(2024)=(). A.0 B.1 C.2024 D.2025 2已知)气对于一切正整数，都有 ft(x)=f(fn(x)),f3(xo)=fe(xo), 则f2025(x0)= (2)已知函数f)满足2f(士）-f(,) x,则f(x)= 312a<2提示：由题可得f产()≥，代入整理可 得(x+1)(x-1)[x2+(a-1)x+1-a][x2+(a+ 1)x+a-1]≥0. 当x=士1时，a∈R, 当x∈(-1,1)时，可得[x2+(a-1)x+1-a][x2+ (a十1)x+a-1]≤0. a++)(e+a-中)≥o0 分类讨论，参变量分离法，转化成求解函数最值， a≥-(（+）a≥-(e-x中)： 2a<-(+马)a≤-(e-) 综上可求得a≤-号 3.1.2函数的表示法 变式训练答案 [变式】（冬，2）.提示：，∈A,即0，<号， fu,)=+日，g+日1. 即2<f,)1,即fx)B, ∴.f(f(xo)=2[1-f(xo)]=1-2xo∈A, 即01-2，<号解得}<，<号 又0≤<分，<<号 [变式2]-2-1.提示：令f(a)=t,则f(t)-t+ 2=0.当t≤0时，f(t)=t2+2t, t2十21=t-2,则t2十t十2=0，此方程无解. 当>0时，f(t)=-t2,.-t2=t-2, .t2+t-2=0,∴.t=1或t=-2(舍去). .f(a)=1,可得a≤0且a2+2a=1, 解得a=-√2-1. 真题演练答案 1.-子.提示：由题意可得f()=f(-号) }+a(2）=(分）=层-2引=0 则-号+a=0a=号， 故f5a)=f3)=f(-1D=-1+号=-号 5 2.C (xl,xm, 3.(3,十∞).提示：f(x)= x2-2mx+Am,x>m, 当x>m时，f(x)=x2-2m.x+4m=(x-m)2+ 4m-m2,其顶点为(m,4m-m2). 当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x=m的交点为 (m,m). m>0, ①当{ 即0<m≤3时，函数f(x)的图象 4m-m2≥m, 如图1所示，易得直线y=b与函数f(x)的图象有一 个或两个不同的交点，不符合题意； m>0, ②当 即m>3时，函数f(x)的图象如 4m-m2<m, 图2所示，则存在实数b满足4m一m2<b≤m,使得直 线y=b与函数∫(x)的图象有三个不同的交点，符合 题意.综上所述，m的取值范围为(3，十o∞). =b 图1 图2 练习册答案 A学考过关练 1.D提示：观察函数y=f(x)的图象，得f(2)=1,由表 格得g(1)=4,所以g(f(2)=g(1)=4. 2.B提示：1档：36000×3%=1080<5617.19； 2档：144000×10%-2520=11880>5617.19. 3A提示因为f-）=2+-(e-)°+2， 所以f(x)=x2+2. 4.(4);(1);(3);(2) 5.0.提示：当a∈[-1,1]，f(a)=0,f(f(a)=f(0)=0; 当a∈(-∞，-1U1,+∞)，fa)=是ffa》= f(日）=0，综上ffa》=0, 6.(1)y=2x-1的定义域为{-4，-3，-2，-1,0,1,2， 3,4},函数图象如图1所示. 29 5-4-3-2-,0i234方2 -2 -3 -4 -5引 图1 (2)y=x2的定义域为{xx≥一1}，列表如下： -1 0 1 2 y 1 0 1 4 描点、连线，可得y=x2,x≥一1的图象如图2所示. 2 -1ò12x 图2 B高考提能练 1.B提示：由题图知定义域为{x|x≠士1}，排除选项A 和D;又当x∈(0,1)时，f(x)>0,排除选项C x,x>0, 2.C提示：由题设知函数f(x)=|lsgn x=0,x=0, x,x<0, 故函数f(x)=|x|sgnx的图象为y=x的图象. 3.AC提示：设f(x)=kx十b,则f(2x)=2kx十b,故 f(f(2x))=f(2kx+b)=2k2x+kb+b. 2k2=8, 因为f(f(2x)=8x+3,所以 k=2, 解得 b+b=3, 6=1 或=-2则fr)=2z+1或f(x)=-2x-3, 6=-3, 4.-6.提示：函数f(x)=2x十3，g(x)=3-k(k∈R, 由f(g(x)=g(f(x)恒成立，得2(3x-k)+3= 3(2x十3)一k恒成立，可得-2k十3=9一k,解得k= -6. 5.8.提示：因为f(xy)=xf(y)+yf(x),令x=y=1, 得f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0,令x=y=-1, 得f(1)=-f(-1)-f(-1),解得f(-1)=0,令x -1,y=4,得f(-4)=-f(4)+4f(-1),即f(-4) -f@,冷x==2得r(4)-2(3)+2(2) 30 即()=f(合) 又因为f()=,所以f(合)= 令x=2y=4,得f2)=2f4+4(2分）-2f④ +2, 令x=2,y=合，得f1)=2f(分）+f2, 整理得1+合f2)=0,解得f2)=-2, 代入①式得2f(4)+2=-2,解得f④)=-8， 又因为f(-4)=-f(4),所以f(一4)=8.故答案为8. 6.(1)令y1=x2-3x+3,y2=6-x. 在同一直角坐标系中分别作出这两个函数的图象. 又由x2-3x十3=6-x得x2-2x-3=0. x=3或x=-1. y1与y2图象的两交点的横坐标分别为一1和3. ∴.f(x)=max{x2-3x十3,6-x} x2-3x十3，x≤-1或x≥3， = (6-x,-1<x<3. f(x)的图象见下图实线部分. B -2-102346、8 (2)由图象可知f(x)的值域为[3，十∞). 7.若x≤-1，则x-3<0,x十1≤0， .f(x)=-(x-3)+(x+1)=4; 若-1<x≤3，则x-3≤0，x十1>0， .f(x)=-(x-3)-(x十1)=-2x+2; 若x>3,则x-3>0,x+1>0, .f(x)=(x-3)-(x十1)=-4. (4,x≤-1， f(x)= -2x+2,-1<x≤3， 、-4,x>3. (1)当-1<x≤3时，-4≤-2x+2<4. f(x)的值域为[-4,4幻. x≤-1， -1<x≤3， (2)f(x)>0,即 4>0 ①或-2x+2>0 ②或 x>3, ③， -4>0 解①得x≤-1，解②得-1<x<1,解③得x无解. ∴.f(x)>0的解集为(-∞，-1]U(-1,1)=(-o∞，1) (3)f(x)的图象如图所示. -4-3-2-1 2345x 由图象可知，当a∈(-∞，一4)U(4,+∞)时，直线 y=a与f(x)的图象无交点. 8.(1)由题意设f(x)=a.x2+bx十c(a≠0)， 因为f(0)=1,所以c=1. 又因为f(x+1)-f(x)=2x, 所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(a.x2+bx+1)=2.x, 即2ax+a+b=2x,所 2a=2解得a=1 a+b=0, b=-1, 所以f(x)=x2-x十1. (2)方法一（换元法）令t=√x十2，则x=(t一2)2， t≥2， 故f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4,t≥2， 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2一4(x≥2). 方法二（配凑法）f(√元十2)=x十4√元=x十4元十 4-4=(W五+2)2-4. 因为√元+2≥2， 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-4(x≥2). (3)因为f(x)+3f(-x)=2x2-4x, 所以f(-x)+3f(x)=2(-x)2-4(-x)=2x2+ 4红，两式联立消去f(-x)可得f(x)=2x2+2x. (4)令y=x,则f(x-x)=f(0)=f(x)-x(2x-x十 1)=1, 所以f(x)=x2+x+1. C拓展拔高练 1.D提示：令x=y=0可得-2f(0)=-2,所以f(0) 1,再令x=0可得f(y)-2f(-y)+f(0)-2f(y)= y-2,即-f(y)-2f(-y)=y-3, ① 将上式中的y全部换成-y可得-f(一y)一2f(y)= -y-3, ② 联立①②可得f(y)=y+1,所以f(2024)=2024+ 1=2025. 2.(1)-1±2.(2)3z-D≠1). 提示：①油/a)得/)话号 f(@)+1x, f)f.)=f.) c+7f(x)= 2“.由f万)=f（,)得=，解得， -,maw)=-1出 2由2f(1+）-f(1-)=x, ① 得2r(1-）-f1+2）=-x, 由0②得3/(+）-x,则fl+）=3xx≠0， 令1+子=，则x=,≠10 所以f)-34二D≠1D 1 故fx)=3x-Dz≠1)， 第3.1节综合训练 练习册答案 A学考过关练 1.B 2.A提示：f(x)的定义域为(-1,1)， x≠0， ÷要使g)有意义，则-1<<1，解得1x<2。 (-1<x-1<1, ∴g(x)的定义域为(1,2). 3.B提示：函数y=f(x)的值域为[1,3]， .1≤f(x十2)≤3，-6≤-2f(x+2)≤-2， .-5≤1-2f(x+2)≤-1. 4.A提示：：a≠0，f(1-a)=f(1+a),当a>0时，1- a<1<1+a,则f1-a)=2(1-a)+a=2-a,f(1+ a)=-(1+a)-2a=-1-3a,.2-a=-1-3a, 即a=-号（合去），当a<0时，1十a<1<1-a,则 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,f(1十a)=2(1+ 31