3.1.2 函数的表示法(含误区17)-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）浙江专用

解得-子<a<L 综上可知，实数a的取值范围是a-号<a<1小 易错探因对二次项系数a2一1应分其为0和不为0两 种情况进行讨论，不要认为它一定是二次不等式.因此 要对x2的系数a2一1进行讨论：当a=1时，原不等式 化为一1<0恒成立：当a=一1时，不满足题意：当a≠ a2-1<0, 士1时， 解不等式组即可得 (a-1)2+4(a2-1)<0, 出结果。 误区14忽略对分式中分母的讨论 易错题14（错沃幸38冷獬不等式：2 正解移项得+)一2≤0，左边通分并化简， x-2 得去0，即2 2=0, 1(x-2)(x-5)≥0， 此不等式等价于 x一2≠0， 解得x<2或x≥5. 不等式的解集为{xx<2或x≥5). 易错探因本题易错的地方是不等式两边同乘以x一2 这一式子，没注意到它是大于0还是小于0，不等号是 否改变方向.这里要分x一2>0和x一2<0两种情况 来讨论，若不讨论，肯定会出错.当然，求解这类问题时 最好是将不等号右边变为0的形式： 分式不等式的求解应注意两点：一是不要随意去分母 (除非知道分母是正或负)，而应移项，使其一边为0；二 是要将其等价转化为一元二次不等式，如本题中二 2≥ 1(x-5)(x-2)≥0， 0台 x-2≠0. 误区15混淆复合函数的定义域 易错题15（错误率33%）已知f(x十2)的定义域为 [1,2],则∫(2x+1)的定义域为 正解由于f(x十2)的定义域为[1,2]，即1≤x≤2， 所以3x+24,即f(x)的定义域为[3,4]， 所以3<2x+1<4,解得1<x<号， 4 故f2x+1D的定义城为[，]， 案1，引 易错探因本题易产生如下错解： 错解一：由1≤x+2≤2得-1≤x≤0，则-1≤2x+ 1≤1，因此f(2x+1)的定义域为[-1,1]， 错解二：因为f(x十2)与f(2x十1)含有同一字母“x”, 则取值必相同，所以f(2x+1)的定义域为[1,2]. 事实上，这里只不过是用同一个字母“x”来表示两个不 同的复合函数的自变量而已（函数的自变量用什么字 母表示与函数无关). 出现以上错解是因为对复合函数的定义域的概念理解 不清。 误区16忽略换元后参数的范围 易错题16（错误率38%）函数y=x十√2x十1的值域 为 正解令t=√2x+1,则≥0，且x=1, 21 故y-2+t=号c+1-1:e0,+o 1 画出t∈[0，+∞)时，函数y=2(t+1)2-1的图象， 如图中实线部分所示由图象知)≥一号，所以所求函 数的值域为 -,+∞. 2 答案[，+) 易错探因本题易错的地方是换元后忽略了参数t的取 值范围，误认为t为任意实数，从而得到错误答案。 因为y=+1D-1≥-1u∈R, 所以所求函数的值域为[一1，十∞). 误区17忽略去绝对值的定义域 易描颜”（婚灵来别为）画出函数y一产的菌 象，并根据图象指出函数的值域。 (x,-1<x<1, 正解由题意得y= -x,x<-1或x>1. 作出函数图象，如图所示。 根据图象可知函数的值域为{yy≠1且y≠一1} 易错探因本题易错的地方是在化简函数式时，只考虑 了去掉绝对值的符号，而忽略了函数的定义域为{xx≠ |x,-1x1, 士1}，从而得到y= 其图象如 -x,x<-1或x>1, 图所示.并且由图象可知，其值域为R, 误区18混淆“单调区间”和“在区间上单调” 易错题18（错误率42%）(1)若函数f(x)=x2+2(a 1)x十2的单调递减区间是（一∞，4]，则实数a的取值 范围是 (2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x十2在区间(-∞，4幻 上单调递减，则实数a的取值范围是 正解(1)因为函数f(x)的单调递减区间为（一∞，4幻， 且函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1一a,所以有 1一a=4,解得a=-3. (2)因为函数f(x)在区间（一∞，4]上单调递减，且函 数f(x)的图象的对称轴为直线x=1一a,所以1一a≥ 4,解得a≤一3. 答案(1){-3.(2)(-∞，-3]. 易错探因单调区间是一个整体概念，比如说函数的单 调递减区间是I,指的是该函数单调递减的最大范围 为区间I.而函数在某一区间上单调递减（增），则指此 区间是相应单调递减（增）区间的子区间.因此我们在 解决函数的单调性问题时，不能混淆“单调区间”和“在 区间上单调”这两个概念 误区19解抽象函数不等式时忽略定义域 易错题19（错误率38%）已知y=f(x)在定义域（一1,1） 上是增函数，且f(t一1)<f(1一2t),求实数t的取值 范围， -1<t-1<1, 正解 依题意可得 -1<1-2t<1,解得0<t<号. t-1<1-2t, 即实数1的取值范围是40<<号}： 易错探因(1)利用单调性解抽象函数不等式：关于抽象 函数不等式的一般解答方法是利用单调性脱掉“f”,注 意定义域对自变量的限制： (2)函数的单调区间是函数定义域的子集，故求函数的 单调区间时，必须先求函数的定义域，注意不要忽略此 步骤。 误区20判断函数的奇偶性时忽略原点值 易错题20（错误率42%）判断函数f(x)= x2+2x十3，x<0, 3,x=0, 的奇偶性」 -x2+2x-3,x>0 正解当x>0时，一x<0, f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x2+2x-3)= -f(x) 当x<0时，-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)- 3=-(x2+2x+3)=-f(x). 而当x=0时，f(0)=3≠一f(0). 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数 易错探因本题易出现的错误是判断出对于定义域内的 每一个不为0的x,都有f(一x)=一f(x)成立，就得 到f(x)是奇函数.事实上，当x=0时，f(0)= 3≠-f(0). 误区21未对参数进行分类讨论 易错题21（错误率34%）已知函数∫(x)=x2十|x a|十1，x∈R,a为实数，判断f(x)的奇偶性. 正解当a=0时，f(x)=x2+|x|+1, f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x+1=f(x), 故函数f(x)为偶函数， 52a<2提示：由题可得f产()≥，代入整理可 得(x+1)(x-1)[x2+(a-1)x+1-a][x2+(a+ 1)x+a-1]≥0. 当x=士1时，a∈R, 当x∈(-1,1)时，可得[x2+(a-1)x+1-a][x2+ (a十1)x+a-1]≤0. a++)(e+a-中)≥o0 分类讨论，参变量分离法，转化成求解函数最值， a≥-(（+）a≥-(e-x中)： 2a<-(+马)a≤-(e-) 综上可求得a≤-号 3.1.2函数的表示法 变式训练答案 [变式】（冬，2）.提示：，∈A,即0，<号， fu,)=+日，g+日1. 即2<f,)1,即fx)B, ∴.f(f(xo)=2[1-f(xo)]=1-2xo∈A, 即01-2，<号解得}<，<号 又0≤<分，<<号 [变式2]-2-1.提示：令f(a)=t,则f(t)-t+ 2=0.当t≤0时，f(t)=t2+2t, t2十21=t-2,则t2十t十2=0，此方程无解. 当>0时，f(t)=-t2,.-t2=t-2, .t2+t-2=0,∴.t=1或t=-2(舍去). .f(a)=1,可得a≤0且a2+2a=1, 解得a=-√2-1. 真题演练答案 1.-子.提示：由题意可得f()=f(-号) }+a(2）=(分）=层-2引=0 则-号+a=0a=号， 故f5a)=f3)=f(-1D=-1+号=-号 5 2.C (xl,xm, 3.(3,十∞).提示：f(x)= x2-2mx+Am,x>m, 当x>m时，f(x)=x2-2m.x+4m=(x-m)2+ 4m-m2,其顶点为(m,4m-m2). 当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x=m的交点为 (m,m). m>0, ①当{ 即0<m≤3时，函数f(x)的图象 4m-m2≥m, 如图1所示，易得直线y=b与函数f(x)的图象有一 个或两个不同的交点，不符合题意； m>0, ②当 即m>3时，函数f(x)的图象如 4m-m2<m, 图2所示，则存在实数b满足4m一m2<b≤m,使得直 线y=b与函数∫(x)的图象有三个不同的交点，符合 题意.综上所述，m的取值范围为(3，十o∞). =b 图1 图2 练习册答案 A学考过关练 1.D提示：观察函数y=f(x)的图象，得f(2)=1,由表 格得g(1)=4,所以g(f(2)=g(1)=4. 2.B提示：1档：36000×3%=1080<5617.19； 2档：144000×10%-2520=11880>5617.19. 3A提示因为f-）=2+-(e-)°+2， 所以f(x)=x2+2. 4.(4);(1);(3);(2) 5.0.提示：当a∈[-1,1]，f(a)=0,f(f(a)=f(0)=0; 当a∈(-∞，-1U1,+∞)，fa)=是ffa》= f(日）=0，综上ffa》=0, 6.(1)y=2x-1的定义域为{-4，-3，-2，-1,0,1,2， 3,4},函数图象如图1所示. 29第三章 函教的概念与性质么超 3.1.2 函数的表示法 重点和难点 课标要求 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、列 重点：掌握函数的解析式与图象表示方法及数形结合的思想 表法、图象法 难点：分段函数的概念及应用， 2.理解分段函数的概念及应用. 01一必备知识梳理。 基础梳理 知识点1函数的三种表示方法 里记方法司 函数常用的三种表示方法为解析法、图象法、列表法」 判断图象是否为函数的图象 1.解析法 根据函数的定义，若a在 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 函数的定义域中，则有唯一的 如圆的面积S是半径r的函数，可表示为S=πr2(r>0)或S= f(a)与之对应，即直线x=a f(r)=πr2(r>0). 与f(x)的图象有唯一交点， 2.图象法 如图1所示；若a不在函数的 图象法，即用图象表示两个变量之间的对应关系.它是从形 定义域内，则没有交点，如图2 的方面刻画函数的关系. 所示 3.列表法 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.初 中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的方法.我们生活 中也经常遇到列表，比如列车时刻表、银行的利率表等.其优点是 图1 图2 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，这种 y 表示法常常被应用到实际生产和生活中。 以上三种表示方法的优缺点比较如下： 表示法 优点 缺点 10 T-a 是能够简明、全面地概括变量之 图3 图4 间的关系； 不够形象、直观、具体，而且 解析法 图3、4不是函数的图象， 二是可以通过解析式求出任意一个 并不是所有的函数都能用 解析式表示出来 因为它们不符合函数的定义 自变量的值所对应的函数值 对于x的某些取值，y可能有 只能近似地求出自变量的 能形象、直观地表示出函数的变化 多个数值和它对应，即直线x= 图象法 值所对应的函数值，而且有 情况 a与f(x)的图象有多个交点， 时误差较大 这不符合函数的定义 不需要计算就可以直接看出与自变 当自变量的取值较多甚至 列表法 量的值相对应的函数值 无限时，则无法表示 77 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 重难拓展 重难点1分段函数 1.分段函数的定义 司敲黑板7 般地，在定义域不同的部分上，有不同的解析式，像这样的 并不是所有函数都可以用 函数通常叫作分段函数 解析式表示，图象法就不适用 2.分段函数常见的几种类型 于所有函数，如D(x)= (1)取整函数 1,x∈Q, 列表法虽在理论上 如f(x)=[x]([x]表示不大于x的最大整数). l0,x∈CRQ. 适用于所有函数，但对于自变 (2)含绝对值符号的函数 量有无数个取值的情况，列表 |x+2,x≥-2， 如f(x)=|x十2= 法只能表示函数的一个概况或 -(x+2),x<-2. 片段 (3)自定义函数 -x-1,x≤-1， 如f(x)=x2-x-2,-1<x≤2， 同敲黑板 x-2,x>2. 对分段函数的理解 3x,-1≤x≤1， 例①(1)已知函数f(x)= 则 (1)分段函数是一个函数， x2-4x+6,1<x<5, 而不是几个函数. f(f(1)= (2)分段函数的“段”可以 是等长的，也可以是不等长的， (2)函数f(x)= z+2,x≤-1，若fx)=3,则x x2,-1<x<2, 1,-2≤x≤0， 例如y= x,0x3, 解析(1)1∈[-1,1]，.f(1)=3×1=3. 其“段”是不等长的 又3∈(1,5)，∴.f(3)=32-4×3+6=3,即f(f(1)=3. (3)写分段函数的定义域 (2)若x≤-1，由x十2=3得x=1>-1(舍去)； 时，区间端，点位置要不重不漏 若-1<x<2,由x2=3得x=士√3， (4)处理分段函数的问题 由于-√3<-1（舍去），故x=√5. 时，要先确定自变量的取值属 答案(1)3.(2)3. 于哪一段，然后选取相应的对 重难点2函数图象的变换 应关系 1.平移变换 (5)分段函数的定义域是 各段定义域的并集；分段函数 y=f(x)+b的图象 的值域是分别求出各段上的值 沿y轴向上平移 b个单位长度 域后取并集；分段函数的最大 y=f(x+a) 沿x轴向左平 y=f(x) 沿x轴向右平 y=f(x-a (小)值是分别在每段求出最大 的图象 移a个单位长度 的图象 移a个单位长度 的图象 (小)值，然后在各段的最大 沿y轴向下平移 (小)值中取最大（小）值， b个单位长度 y=(x)-b的图象 (其中a>0,b>0)简记为“左加右减，上加下减”. 78 第三章 函教的概念与性质么 2.对称变换 园拓视野 y 关于y轴树称 形如y cx+d y=f(-x)的图象 y=∫(x)的图象 ax+6(a≠0，ad 称 关于x轴对称 ≠bc)的图象的特征： 关手原 由y=cx+d =C+ y=-f(-x)的图象 y=-∫(x)的图象 ax+b 3.翻折变换 d-bc ax+6可知，y= a d-bc a y=f(x)去掉y轴左侧图象，将右y=f(x)将x轴下方的图象沿y=f(x)川 aTaa+6可 的图象 侧图象沿y轴翻折到左侧的图象 x轴翻折到x轴上方 的图象 d-be 由反比例函数y= 例2定义在[一2,2]上的函数f(x)的图象如图1所示. a的图 象先向左（合）或向台<可】 手移合个单位长定，青句上 图1 (后>0)成向下（后<0）平移 请分别画出下列函数的图象： 个单位长度得到. (1)y=f(x+1);(2)y=f(x)+1;(3)y=f(-x); (4)y=-f(x);(5)y=|f(x)1;(6)y=f(x|). 所以y=红十图象的两 ax+b 解析(1)将f(x)的图象向左平移1个单位长度，即得y=f(x十1) 条渐近线为x= b和y一a 的图象，如图2. (2)将f(x)的图象向上平移1个单位长度，即得y=f(x)+1的图 国象的对称中心为（会，） 象，如图3. 简记为：“两线一点法” (3)将f(x)的图象沿y轴对称即得y-f(一x)的图象，如图4. 两条渐近线 定区域 (4)将f(x)的图象沿x轴对称即得y=一f(x)的图象，如图5. (5)将f(x)在x轴下方的图象对称翻折到x轴上方，即得y=|f(x)川 的图象，如图6 (6)去掉f(x)在y轴左侧的图象，再把f(x)在y轴右侧的图象对称 翻折到y轴左侧，得到y=f(x)的图象，如图7. y 3-2-1 -2-1O12 图 图3 图4 y -2-112 -2-1O12 图5 图6 图7 79 重滩点手细高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 重难点3求函数解析式的几种方法 1.代入法 已知f(x)的解析式，求f(u(x))的解析式，常用代入法.如 已知f(x)=x2-1,求f(x十x2)时，有f(x十x2)=(x十x2)2-1. 2.配凑法 已知f(g(x)的解析式，要求f(x)的解析式时，可从 f(g(x)的解析式中配凑出g(x),即用g(x)来表示f(g(x), 再将解析式两边的g(x)用x代替即可.如f(√元一1)=x 2√x,可以将右边凑成（√元一1）2一1的形式后再求解 3.换元法 已知f(g(x)的解析式，要求f(x)的解析式时，也可令t g(x)(注意新元t的取值范围)，再求出f(t)的解析式，然后用x 代替f(t)的解析式中所有的t即可.如f(元一1)=x一2√x,我 们可以设√元一1=t(t≥一1)，解出x后代入求解 4.待定系数法 如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入条件解方程 (组)，求出参数，即可确定函数解析式 5.方程组法 已知f(x)与f(g(x)满足的关系式，在求f(x)时，可用 g(x)代替两边所有的x,得到关于f(x)与f(g(x)的方程组， 消去f(g(x)解出f(x)即可.如关系式中含有f(x)与 f(-x),f(x)与f(日)时，将原式中的x用-x,代替，从而得 到另一个同时含有f(x)与f(-x,f(x)与f()的关系式，将 这两个关系式联立，列方程组解出f(x). 6.特殊值法 所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊 值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知 的函数.至于取什么特殊值，应根据题目特征而定， 例3求下列函数的解析式： (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)=4x一1，求f(x). (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x十1)一f(x) =2x,求f(x). 解析(1)：f(x)是一次函数，设f(x)=ax十b(a≠0)， 80 第三童函教的概念与性质么出 f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. 又：f(f(x)=4x-1,.a2x+ab+b=4x-1. 、a2=4, (a=2,a=-2, ，解得，1或 ab+b=-1,6=-36=1. fa)=2x-青或f)=-2x+1. (2),f(x)是二次函数，设f(x)=ax2十bx十c(a≠0)， 由f(0)=1,得c=1. 由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-a.x2-bx-1= 2x,整理得2ax十(a十b)-2x, 2a=2,解得 a=1, a+b=0, f(x)=x2-x+1. 6=-1. 口-02关健能动提乱。 题型方法 数所家的函数为f)=-2-兰-2 题型1求函数的解析式 (2)方程组法令t=x-1,则x=t十1，原式变为 例④求下列函数的解析式： 3f(t)+2f(-t)=2(t+1), ① 1)已知f(x)-2f(月)=3+2，求 以一t代t,原式变为 3f(-t)+2f(t)=2(1-t), ② f(x). (2)若3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求 联立①②消去f(-),得f)=26+ 5 f(x). f)=2x+号 (3)已知f(√x+1)=x+2√x,求f(x). (3)方法一（凑配法）：f(√元十1)=(W元)2+ (4已知f-）-x2+是，求fx). 2√元+1-1=(Wx+1)2-1, 解机(1)方程组法令1=，则工= .f(x)=x2-1. t 又元+1>≥1，.f(x)=x2-1(x≥1). f）-2e)-2+2, 方法二（换元法）令t=√无十1， .x=(t-1)2, 即f(2)-2F)-是+2 ∴.f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1. fx)-2f(（2）=3x+2, 又.t=√x+1≥1，.t≥1， 与原式联立，得 f(x)=x2-1(x≥1). F)-2fe)-2+2, (4)凑配法 :f(-）=+是=(-)月 解得fx)=一一是 +2,∴.f(x)=x2+2. 81 重滩点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) 点评利用换元法求函数解析式时，一定要注意 若f(a)<-3,则a的取值范围是 换元前后自变量的取值范围. (2)已知实数a≠0，函数f(x)= 例5设f(x)是R上的函数，且满足 2x+a,x<1, 若f(1-a)=f(1+a),则a f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y) x-2a,x≥1， f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式. 的值为 [点拨由于f(x一y)=f(x)-y(2x-y+1) 解析(1)当a≤-2时，f(a)=a<-3,此时不 对任意xy都成立，因此我们可以对x,y赋值. 等式的解集是(-一∞，一3)； 解析标方法一令x=y,得f(0)=f(x)一 当-2<a<4时，f(a)=a+1<-3, 解得a<一4，矛盾，此时不等式无解； x(2x-x+1),f(x)=x2+x+1. 方法二令x=0,得f(-y)=f(0)一y(-y十 当a≥4时，f(a)=3a<-3, 解得a<一1，矛盾，此时不等式无解. 1)=1-y(-y+1). ∴.a的取值范围是(-∞，-3). 又令x=-y,代入上式得f(x)=1-(-x)(x+ (2)当a<0时，1-a>1,1+a<1, 1)=1+x(x+1), ∴.f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,f(1+a) .f(x)=x2+x+1. =2(1+a)+a=3a+2. 题型2分段函数的应用 .f(1-a)=f(1+a), 1.分段函数的求值问题 -1a=3a+2,解得a三一. 例6已知f(x)=x2一1，g(x)= 红-1，x<0求f(g(x)与gfx)》. 当a>0时，1-a<1,1十a>1, ∴.f(1-a)=2(1-a)+a=2-a, 2-x,x>0, f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1. 解析①当x>0时，g(x)=2-x, .f(1-a)=f(1+a), f(g(x)=(2-x)2-1=x2-4x+3; 当x<0时，g(x=x-1, 2-a=一3a-1,解得a=二号（舍去》 f(g(x)=(x-1)2-1=x2-2x. 综上所述，a=一4 x2-2x,x<0, 故f(g(x)={ x2-4x+3,x>0. 答案1)(-∞，-3).(2)-是 ②当x2-1<0,即-1<x<1时，f(x)<0, 所以g(f(x)=f(x)-1=x2-2; 变式1设宋合A=0,2》B=[日， 当x2-10,即x>1或x<-1时，f(x)>0, 所以g(f(x)=2-f(x)=3-x2 函数f(x)= EA. 若xo∈A,且 3-x2,x>1或x<-1, 2(1-x),x∈B. 故g(f(x)= x2-2,-1<x<1. f(f(xo)∈A,则xo的取值范围是 2.已知分段函数求参数的值（或取值范围）】 x2十2x,x≤0， ◆变式2设函数f(x)= x,x≤-2， x2,x>0, 例7(1)函数f(x)=x+1,-2<x<4, 若f(f(a))一f(a)+2=0,则实数a的值为 3x,x≥4， 82 第三章函数的概念与性质么出型 题型3函数图象及其应用 方法二y=x2-4x十1=(x-2)2-3,故可先 1.利用基本函数的图象作函数的图象 作出函数y=x2的图象，然后把它向右平移2个单位 例8作出下列函数的图象： 长度，再向下平移3个单位长度，即可得到y=x2一 4x十1的图象，如图4所示. (1)y=1-x. (2)y=x2x x-1 (x-2) 2x+1 (3)y=x2-4x+1. (4)y= y=x2-4x+1 x-1 2314 (5)y=|x2-2x|+1. 解析(1)y=1一x是一次函数，它是一条直 图4 线.列表如下： x 0 1 (4y=2红1=2+，3 x-1 -1? 2 1 0 “先作画数y=3的图象，把它向右平移1个单 描点、连线，如图1所示. x 位长度得到函数y=马的图象，再向上平移2个单 3 234 位长度便得到函数y= 2x+1 x-1 的图象，如图5所示. y 图1 6 （②)画数y=x的定义城为xz1, -8-6-4-20 246x 它的图象为直线y=x,除去点(1,1)，图象如图2 所示. 图5 2 (5)先作y=x2一2x的图象，保留x轴上方图 o234元 象，把x轴下方图象对称翻到x轴上方，再把它向上 平移1个单位长度，即得到y=x2-2x|十1的图象， 图2 如图6所示 (3)方法一 列表如下： 00.5 1 1.52 2.533.54 y1-0.75-2-2.75-3-2.75-2-0.751 描点、连线，如图3所示 -2-10123x 图6 要雅总超形知y一十名(a≠0，ad≠c)的因 d-bc 良林征：由)一器名-日+培可如，y=十 a 图3 a 83 重难点手册高中数学必修第一册（上）尺UA(浙江专用) d、be d-bc k+b=1, k=-1, 的图象先向左 解得 ax十名可由反比例函数y=→ b=2, b=2. ax 左侧射线对应的函数的解析式为y=一x十2 (合>0)或向右（台<0）平移个单位长度，再向上 (x≤1). (后>0)或向下（后<0平移号 个单位长度得到. 同理，当x≥3时，函数的解析式为y=x一2 (x≥3). 所以y=℃十日图象的两条渐近线为工= 6 和 ax+b 再设抛物线对应的二次函数的解析式为y=a(x y=后，国象的对格中心为（合，）】 -2)2+2(1≤x≤3，a<0). 点(1,1)在抛物线上， 2.函数图象的应用 .a+2=1,即a=-1, 例⑨已知函数y=f(x)的图象由如图所 .当1≤x≤3时，函数的解析式为y=-x2十4x 示的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数 -2(1≤x≤3). 的解析式 综上所述，所求函数的解析式为 -x+2,x<1, y x2+4x-2,1≤x≤3， x-2,x>3. 01 234元 易错警示 [点拨图中给出的实际上是一个分段函数的图 象，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注 ◆易错题17（错误率31%）画出函数 意其区间的端点 J x1一的图象，并根据图象指出函数 1-x2 解析设左侧的射线对应的解析式为y=x十 的值域 b(x≤1) 点(1,1)，(0,2)在射线上， 参考答案见《全书易错题集》第4页 门03核泰养聚焦一◆ 考向分类 :fa)=fa+1),a=2a,解a=子 考向1分段函数的求值 f(日）=f4)=2X(4-1D=6 例10（经典·山东卷）设f(x)= 当a>1时，a+1>2,∴.f(a)=2(a-1),f(a+ z,0x1'若fa)=fa+1D,则f日） 1)=2(a+1-1)=2a, 2(x-1),x≥1. ∴.2(a-1)=2a,无解. (). 当a=1时，a十1=2，f(1)=0,f(2)=2,不符合 A.2 C.6 题意 B.4 D.8 解析当0<a<1时，a十1>1，f(a)=√a, 综上可知，f日）=6 f(a+1)=2(a+1-1)=2a. 答案C 84 第三章 函教的概念与性质么型 回归教材教材P73习题3.1第7题 [答案A 常考题型 选填题难度系数0.7高考热度 ★★ 回归教材教材P68例6的拓展应用 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平 水平二 常考题型 选填题难度系数0.6高考热度★★ 考向2函数图象及其应用 核心素养 逻辑推理、直观想象 素养水平水平三 例1工（经典·天津卷）已知函数f(x) 真题演练 x+2,x<1, 1.(经典·江苏卷，考向1)设f(x)是定义 2 设a∈R,若关于x的不等式 x+2x≥1. 在R上且周期为2的函数，在区间[一1,1)上， x+a,-1≤x<0, f+a 在R上恒成立，则a的取值范 f(x) 其中a∈R.若 ,0≤x<1, 围是( A.[-2,2] B.[-23,2] f(-8)=f(),则f(5a)的值是 C.[-2,23] D.[-23,23] 2.(经典·湖北卷，考向2)小明骑车上学， [解析作出f(x)的图象如图所示， 开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段 当y管十@的图象经过点(0,2)时，可知a 时间，后来为了赶时间加快速度行驶.与以上 ±2. 过程吻合得最好的图象是( +距学校的距离 +距学校的距离 当y=十a的图象与y=x士的图象相切时 号a=+是将r-2ar十4=0， 时间 时间 由△=0，并结合图象可得a=2. A B 距学校的距离 距学校的距离 要使fx)≥受+a恒成立， 当a≤0时，需满足一a≤2，即-2≤a≤0， 当a>0时，需满足a≤2，即0<a≤2. 时间 时间 C 0 综上可知，一2≤a≤2. 3.(经典·山东卷，考向2)已知函数f(x)= lx,x≤m, 其中m>0.若存在实 x2-2mx+Am,x>m, 数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同 O1234 的根，则m的取值范围是 85