第16讲任意角的三角函数课件—2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“任意角的三角函数”专题，依据课标要求覆盖任意角概念、弧度制互化、三角函数定义、象限符号规律及扇形公式等核心考点，通过分析近三年高考真题明确终边相同角表示、扇形面积计算等高频考点占比，归纳象限角判断、三角函数定义应用等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题情境+素养导向”的复习策略，如2024湖南一模玉璜面积题，引导学生用数学眼光将实际问题转化为扇形面积计算，探究点3通过分类讨论终边位置培养数学思维，变式训练强化三角函数符号规律应用。帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力高效备考。

专题3　三角函数 1 第16讲　任意角的三角函数 目 录 课标要求 夯基固本 考点探究 01 03 02 课标要求 返回目录 夯基固本 知识梳理 >> 始边 顶点 逆 顺 零 返回目录 原点 x轴的非负半轴 S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z} S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z} 返回目录 半径 圆心角 弧度制 正数 负数 0 π 返回目录 y x αR 返回目录 夯基固本 常用结论 >> 返回目录 返回目录 夯基固本 热身练习 >> B 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 D 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 C 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 {α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z} 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 考点探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1　任意角及其表示 AD 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 四 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点2　弧度制的应用 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 2 25 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 B 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点3　任意角的三角函数 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 D 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 B 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 1.了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度制与角度制的互化． 2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握三角函数的象限符号规律及三角函数的定义域. 3.掌握扇形的弧长公式及面积公式． 1．角的概念 (1)任意角：角可以看成一条射线绕它的端点旋转所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的___________，射线的端点O叫做角的_____________．一条射线绕其端点按____________时针方向旋转形成的角叫做正角，按__________时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个__________角． (2)象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与_________________重合，角的始边与________________重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合___________________________或______________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于_______长的圆弧所对的______叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做____________． 正角的弧度数是一个_________，负角的弧度数是一个_______，零角的弧度数是________． (2)角度与弧度的换算：180°＝_______rad， 1°＝________rad，1 rad＝__________． (3)扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则l＝________，S＝___________． 3．任意角的三角函数 设α是任意一个角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，那么，sin α＝________；cos α＝_______；tan α＝__________(x≠0). 1．任意角的三角函数(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么，sin α＝ eq \f(y,r)，cos α＝ eq \f(x,r)，tan α＝ eq \f(y,x)(x≠0). 2．三角函数值的符号规律 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ tan α ＋ － ＋ － 可概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 1．将－885°化为α＋k·360°(k∈Z，α∈[0°，360°))的形式是(　　) A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360° C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360° 解析：由α∈[0°，360°]知 －885°＝195°－1080° ＝195°＋(－3)×360°.故选B. 2．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为 eq \f(1,2)，则cos α＝(　　) A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),2) D．－ eq \f(\r(3),2) 解析：依题意，得P(－ eq \f(\r(3),2)， eq \f(1,2))， 根据三角函数的定义， 得cos α＝－ eq \f(\r(3),2).故选D. 3．(教材母题必修5.2.1练习T4)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为点P在第四象限， 所以有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(tan α>0，,cos α<0，)) 由此可判断角α的终边在第三象限．故选C. 4．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是__________________________． 解析：观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}． 5．(教材母题必修习题5.1T9)已知扇形的圆心角为 eq \f(2π,3)，圆心角所对的弧长为 eq \f(8π,3)，则该扇形的面积为________． eq \f(16π,3) 解析：设扇形的弧长为l，圆心角为α， 半径为r，面积为S. 由弧长公式l＝αr，可知 eq \f(8π,3)＝ eq \f(2π,3)r，解得r＝4， 所以扇形的面积S＝ eq \f(1,2)× eq \f(8π,3)×4＝ eq \f(16π,3). 【例1】(1)(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是(　　) A．α＋β＝180° B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z) C．α＋β＝k·360°(k∈Z) D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z) 解析：(1)假设α，β为0°～180°内的角，如图所示． 因为α，β的终边关于y轴对称， 所以α＋β＝180°，所以A满足条件； 结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)180°(k∈Z)，所以D满足条件，B、C都不满足条件．故选AD. 【例1】(2)设角α是第三象限角，且|sin eq \f(α,2)|＝－sin eq \f(α,2)，则角 eq \f(α,2)是第________象限角． 解析：(2)由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋ eq \f(3π,2)(k∈Z)，则kπ＋ eq \f(π,2)< eq \f(α,2)<kπ＋ eq \f(3π,4)(k∈Z)， 所以 eq \f(α,2)是第二或第四象限角． 再由|sin eq \f(α,2)|＝－sin eq \f(α,2)知sin eq \f(α,2)<0， 所以 eq \f(α,2)只能是第四象限角． (1)正确理解任意角的概念，既要考虑大小，还要考虑方向． (2)正确理解象限角的概念，特别注意当终边落在坐标轴上时，这样的角是非象限角． (3)α所在象限与 eq \f(α,2)所在象限的关系： 当α属于第一、第二象限时， eq \f(α,2)属于第一或第三象限； 当α属于第三、第四象限时， eq \f(α,2)属于第二或第四象限． 1．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围． 解析：{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z} 30°角的终边所在直线上的角的集合为 S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}， 180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为 S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}， 因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为 {α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}． 2．(2024·广东佛山一模)若点A(cos θ，sin θ)关于原点对称的点为B(cos ( eq \f(π,6)－θ)，sin ( eq \f(π,6)－θ))，则θ的一个取值为___________________________________________． eq \f(7π,12)(答案不唯一，θ＝ eq \f(7π,12)＋kπ，k∈Z均可) 解析：因为A(cos θ，sin θ)和B(cos ( eq \f(π,6)－θ)，sin ( eq \f(π,6)－θ))关于原点对称． 所以θ与 eq \f(π,6)－θ的终边在一条直线上． 即θ＝ eq \f(π,6)－θ＋(2k＋1)π，k∈Z， 所以θ＝ eq \f(7π,12)＋kπ，k∈Z.令k＝0得θ＝ eq \f(7π,12). 【例2】(1)(2024·湖南一模)出土于鲁国故城遗址的“战国出廓双龙勾云纹玉璜”(图1)的璜身雕刻勾云纹，体扁平，呈扇面状．出廓透身外耧雕“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：AB≈8 cm，AD≈2 cm，AO≈5 cm. 若sin 37°≈ eq \f(3,5)，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为(　　) A．6.8 cm2 B．9.8 cm2 C．14.8 cm2 D．22.4 cm2 解析：(1)显然△AOB为等腰三角形， OA＝OB＝5 cm，AB＝8 cm， 则cos ∠OAB＝ eq \f(\f(1,2)AB,OA)＝ eq \f(4,5)， sin ∠OAB＝ eq \f(3,5)，又sin 37°≈ eq \f(3,5)， 所以∠OAB≈37°， 于是∠AOB＝180°－2×37°＝106°＝ eq \f(53π,90)， 所以璜身的面积近似为 eq \f(1,2)∠AOB·(OA2－OD2) ＝ eq \f(1,2)× eq \f(53π,90)×(52－32)≈14.8(cm2).故选C. 【例2】(2)(2024·上海宝山模拟)如图所示，圆心为原点O的单位圆的上半圆周上，有一动点P(x，y)(y>0).设A(1，0)，点B是P关于原点O的对称点，分别连接PA，PB，AB，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点P的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：设射线OP对应的角为θ且θ∈(0，π)， 故区域Ⅰ的面积为2× eq \f(1,2)×1×1×sin θ＝sin θ， 区域Ⅱ的面积为 eq \f(1,2)×θ×12－ eq \f(1,2)×1×1×sin θ＝ eq \f(θ,2)－ eq \f(1,2)sin θ， 区域Ⅲ的面积为 eq \f(1,2)×(π－θ)×12－ eq \f(1,2)×1×1×sin (π－θ)＝ eq \f(π－θ,2)－ eq \f(1,2)sin θ. 由题设有sin θ＝ eq \f(π－θ,2)－ eq \f(1,2)sin θ＋ eq \f(θ,2)－ eq \f(1,2)sin θ， 整理得sin θ＝ eq \f(π,4)， 因为θ∈(0，π)， 故此时θ仅有两解，故选C. 在解决扇形问题时要注意： (1)扇形的圆心角α、弧长l、半径r之间的关系：|α|＝ eq \f(l,r). (2)扇形的面积S与圆心角α、弧长l、半径r之间的关系：S＝ eq \f(|α|,2π)πr2＝ eq \f(1,2)lr. (3)扇形的周长为C＝2r＋l. 3．已知扇形的圆心角是α(α>0)，半径为R.若α＝60°，R＝10 cm，则扇形的弧长l为________cm.若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为________弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是________cm2. eq \f(10π,3) 解析：因为α＝60°＝ eq \f(π,3)rad， 所以l＝αR＝ eq \f(π,3)×10＝ eq \f(10π,3)(cm). 由已知得，l＋2R＝20(cm)， 所以S＝ eq \f(1,2)lR＝ eq \f(1,2)(20－2R)R ＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2， 此时l＝10 cm，α＝2. 4．设圆O的半径为2，点P为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形ABCD(实线所示，正方形的顶点A与点P重合，点B在圆周上).现将正方形ABCD沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A首次回到点P的位置时，点A所走过的路径的长度为(　　)　　 A．(1－2 eq \r(2))π B．(2＋ eq \r(2))π C．4π D．(3＋ eq \f(\r(2),2))π 解析：由图可知，圆O的半径为r＝2， 正方形ABCD的边长为a＝2， 以正方形的边为弦所对的圆心角为 eq \f(π,3)，正方形在圆上滚动时点的顺序如图所示， 当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈，共12次． 设第i次滚动时，点A的路程为mi， 则m1＝ eq \f(π,6)×|AB|＝ eq \f(π,3)，m2＝ eq \f(π,6)×|AC|＝ eq \f(\r(2),3)π， m3＝ eq \f(π,6)×|AD|＝ eq \f(π,3)，m4＝0， 因此，点A所走过的路程为3(m1＋m2＋m3＋m4)＝(2＋ eq \r(2))π.故选B. 【例3】(1)已知角α终边经过点P(x，－ eq \r(2))(x≠0)，且cos α＝ eq \f(\r(3),6)x，则tan α＝_____________. ± eq \f(\r(5),5) 解析：(1)因为P(x，－ eq \r(2))(x≠0)， 所以点P到原点的距离r＝ eq \r(x2＋2). 又cos α＝ eq \f(\r(3),6)x，所以cos α＝ eq \f(x,\r(x2＋2))＝ eq \f(\r(3),6)x. 因为x≠0，所以x＝± eq \r(10)，所以r＝2 eq \r(3). 当x＝ eq \r(10)时，P点坐标为( eq \r(10)，－ eq \r(2))， 由三角函数的定义，有sin α＝－ eq \f(\r(6),6)， tan α＝ eq \f(sin α,cos α)＝－ eq \f(\r(5),5)； 当x＝－ eq \r(10)时，同理可求得tan α＝ eq \f(\r(5),5). 【例3】(2)(2024·河南一模)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝x上，则有(　　) A．sin α＝－ eq \f(\r(2),2) B．cos α＝ eq \f(\r(2),2) C．sin α＋cos α＝± eq \r(2) D．tan α＝±1 解析：(2)因为角α的终边落在直线y＝x上， 故α＝ eq \f(π,4)＋2kπ或α＝ eq \f(5π,4)＋2kπ，k∈Z. 对于A，当α＝ eq \f(π,4)＋2kπ，k∈Z时， sin α＝ eq \f(\r(2),2)，A错误； 对于B，当α＝ eq \f(5π,4)＋2kπ，k∈Z时， cos α＝－ eq \f(\r(2),2)，B错误； 对于C，当α＝ eq \f(π,4)＋2kπ，k∈Z时， sin α＝ eq \f(\r(2),2)，cos α＝ eq \f(\r(2),2)，则sin α＋cos α＝ eq \r(2)， 当α＝ eq \f(5π,4)＋2kπ，k∈Z时，sin α＝－ eq \f(\r(2),2)， cos α＝－ eq \f(\r(2),2)，则sin α＋cos α＝－ eq \r(2)，C正确； 对于D，当α＝ eq \f(π,4)＋2kπ，k∈Z时，tan α＝1； 当α＝ eq \f(5π,4)＋2kπ，k∈Z时，tan α＝1.D错误．故选C. (1)三角函数的定义有两种等价形式，其一是利用单位圆进行定义，其二是利用角的终边上一点的坐标进行定义． (2)一个角的三角函数只与这个角的终边位置有关，利用定义求三角函数值时，要注意角的终边所在象限，当终边所在象限不定时，要注意根据终边位置分类讨论． (3)利用单位圆的三角函数定义时，要理解角α的意义，注意角的始边及旋转方向． 5．已知角α的终边上一点P的坐标为(sin eq \f(5π,6)，cos eq \f(5π,6))，则角α的最小正值为(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(2π,3) C． eq \f(7π,6) D． eq \f(5π,3) 解析：因为sin eq \f(5π,6)>0，cos eq \f(5π,6)<0， 所以角α的终边在第四象限， 根据三角函数的定义，可知sin α＝cos eq \f(5π,6)＝－ eq \f(\r(3),2)， 故角α的最小正值为α＝2π－ eq \f(π,3)＝ eq \f(5π,3).故选D. 6．已知角θ的终边经过点P(sin 84°，cos 84°)，则cos (θ＋24°)＝(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(3),2) C．－ eq \f(1,2) D．－ eq \f(\r(3),2) 解析：r＝ eq \r(sin284°＋cos284°)＝1， sinθ＝cos 84°，cos θ＝sin 84°， cos (θ＋24°)＝sin 84°cos 24°－cos 84°sin 24° ＝sin 60°＝ eq \f(\r(3),2).故选B. 7．在平面直角坐标系中，点P在射线y＝ eq \f(4,3)x(x>0)上，点Q在过原点且倾斜角为θ(θ为锐角)的直线上．若∠POQ＝ eq \f(π,4)，则tan θ＝________. 解析：设射线y＝ eq \f(4,3)x(x>0)的倾斜角为θ1， 且 eq \f(π,4)<θ1< eq \f(π,2)，tan θ1＝ eq \f(4,3)， 由题意可得θ＝θ1－ eq \f(π,4)， 所以tan θ＝tan (θ1－ eq \f(π,4))＝ eq \f(tan θ1－1,1＋tan θ1)＝ eq \f(1,7). $