专题11随机事件的概率暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

专题11随机事件的概率暑假预习讲义 ① 分清三类基础事件：精准区分必然事件、不可能事件、随机事件（不确定事件）；明确前两者属于确定事件，结合生活实例判断事件类型，了解随机事件结果无法提前预判。 ② 熟记概率取值范围：必然事件概率P=1，不可能事件概率P=0，随机事件概率取值0＜P(A)＜1，能够依据概率数值判断事件发生可能性大小。 ③ 理解等可能试验特征：掌握古典概型两大特点：所有结果有限、每种结果发生可能性均等，熟记古典概率计算公式：P(A)= ④ 会用枚举法列举全部结果：针对掷硬币、掷骰子、摸球等简单题型，使用直接列举法梳理所有基本事件，不重复、不遗漏统计有利结果数量。 ⑤ 了解频率与概率关系：明白重复试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定趋近于概率，可以利用频率估算随机事件的概率。 ⑥ 简单判断游戏公平性：通过计算双方获胜概率，对比概率数值判断游戏规则是否公平，能简单修改规则实现游戏公平。 ⑦ 梳理本章高频易错点：列举基本结果出现重复或遗漏、混淆频率与概率概念、错误判定试验是否为等可能事件、仅凭单次试验结果判断事件概率；建立随机思维，理性看待生活中的概率现象。 预习必备 知识梳理 1.事件的分类 2随机事件发生的可能性大小 3.频率的概念 4.用频率估计概率 5.频率与概率的区别与联系 6.列举法求概率 7.几何概率 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.事件的分类 2.事件发生可能性大小的判定 3.调整条件是事件可能性相等 4.列举随机实验的所有可能结果 5.判定试验结果是否等可能 6.判断几个事件概率大小关系 7.概率的意义理解 8.频率与概率关系说法正误 9.求某事件的频率 10.由频率估计概率 11.频率估计概率的综合应用 12.列举法求概率 13.列表法或树状图法求概率 14.游戏公平性 15.由概率公式计算概率 16.由概率作判断 17.已知概率求数量 18.几何概率 19.概率综合应用 强化题型 解答题8题 知识点01：事件的分类（核心概念，必考辨析） 在一定条件下进行试验： 必然事件：每次试验一定发生的事件；发生可能性 100%。 不可能事件：每次试验一定不发生的事件；发生可能性 0。 ✅必然事件、不可能事件统称为确定事件 随机事件（不确定事件）：在试验中，可能发生，也可能不发生的事件。 事件辨析对照表 事件类型 发生可能性 举例 必然事件 可能性 = 1（100%） 太阳从东方升起；掷一枚普通骰子，点数≤6 不可能事件 可能性 = 0 掷骰子出现点数 7；常温下水结冰（标准大气压） 随机事件 0＜可能性＜1 掷硬币正面朝上；抽奖中奖 ⚠️关键提醒： 事件是否随机，依赖 “试验条件”；条件改变，事件类型可能改变。 知识点02：随机事件发生的可能性大小 1.随机事件发生可能性有大小之分； 2.可能性大小可以定性比较，但不能直接等同于概率； 3.试验结果等可能时，结果数量越多，对应事件发生可能性越大。 知识点03：频率的概念 频数：试验中，某个事件出现的次数； 频率：频率= 公式：频率= m：事件发生频数，n：试验总次数 ⚠️频率是比值，可以用小数、分数、百分数表示；每一组试验频率随试验改变，是变化值。 知识点04：用频率估计概率 1. 适用场景 当随机试验的所有结果不具备等可能性，无法用列表法、树状图求出理论概率时，我们利用大量重复试验，用稳定后的频率估计概率。 典型例子：种子发芽率、产品次品率、篮球运动员投篮命中率、不规则几何体落地朝向。 2. 核心结论 在相同条件下进行大量重复试验，当频率逐渐稳定后，可以用这个稳定的频率作为事件发生概率的近似值。 P(A)稳定后的频率 3. 重要注意事项 ① 所有试验必须在完全相同的条件下开展； ② 少量试验的频率不能用来估计概率，只有试验次数足够多，频率才会稳定； ③ 通过频率估计得到的概率是近似值，不是精确理论值。 4. 两大常用拓展计算模型 （1）估算事件发生次数： 预计发生次数=总试验次数估计概率 （2）估算总体数量（抽样调查题型）： 总体数量= 知识点05：频率与概率的区别与联系 对比项目 频率 概率 属性 试验值，数值会变化 理论值，固定不变 影响因素 随试验总次数改变 不受试验次数影响 取值范围 0频率1 0P(A) 1 内在关系 试验次数越多，频率越接近概率 大量重复试验下，可用稳定频率估算概率 知识点 06 用列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率。 （1） 直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2） 列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素。 知识点 07几何概率（几何概型） 1. 几何概率定义 一般地，如果试验的结果有无限多个，并且每个结果出现的可能性大小相等，所有结果均匀分布在线段、平面、扇形等几何区域内，我们利用几何图形的长度、面积、角度的比值计算随机事件发生的概率，这类概率称为几何概率。 2. 几何概率通用公式 P(A)= 度量可对应线段长度、平面图形面积、扇形圆心角度数。 3. 三类常见几何概率模型 （1）线段型：(P(A)= （2）面积型（覆盖率）：P(A)= （3）转盘扇形型：P(A)= 4. 几何概率核心前提 ① 试验结果有无穷多个； ② 落点均匀分布，任意区域可能性与区域度量成正比。 知识点08:核心公式 + 概念速记卡 1.频率公式：频率 = （m = 发生次数，n = 试验次数）) 2.等可能事件概率：P (A)=（m = 事件 A 结果数，n = 总等可能结果数） 3.几何概率：P (A)= 4.概率范围：必然事件 P=1，不可能事件 P=0，随机事件 0＜P＜1 知识点09：高频易错点汇总表格 易错问题 错误认知 正确理解 事件判断 “大概率事件” 是必然事件 概率接近 1 依旧属于随机事件，不一定发生 概率含义 P(A)=，试验两次必有一次发生 概率是长期趋势，少量试验结果无法保证 放回 vs 不放回 两种情况总结果数一样 不放回试验，第二次总样本数量减少 频率与概率 做几次试验得到的频率就是概率 只有大量重复试验，频率才稳定接近概率 转盘概率 直接分割份数计数 扇形面积不等时，结果不等可能，不能直接数份数 列举结果 分不清有序、无序（如 (1,2) 和 (2,1)） 先后抽取属于有序结果，树状图必须分开列出 题型1.事件的分类 【典例】下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．经过路口，恰好遇到绿灯 B．打开电视，正在播放新闻 C．明天早晨的太阳从东方升起 D．射击运动员射击一次，命中九环 【跟踪专练1】下列事件中，是随机事件的为（     ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．画一个三角形，其内角和为 C．寒来暑往 D．从只有红球的袋子中摸出黑球 【跟踪专练2】小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 题型2.事件发生可能性大小的判定 【典例】下列诗句所描述的事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 【跟踪专练1】把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张． 下面描述正确的是（     ） A．一定能摸出3 B．不可能摸出5 C．摸出3的可能性最小 D．摸出1的可能性最大 【跟踪专练2】下列事件： ①购买一张福利彩票，中大奖． ②甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏，甲出“石头”获胜． ③在标准大气压下，温度低于0时，冰融化． ④从13个不同的“苏嘟嘟”（分别对应苏超的13支球队）盲盒中任意抽取1个，抽中徐州队吉祥物“虎嘟嘟”． 按照事件发生的概率从小到大排列，对应事件的顺序是（     ） A．②④①③ B．③①④② C．①②④③ D．③①②④ 题型3.调整条件是事件可能性相等 【典例】有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【跟踪专练1】一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 【跟踪专练2】袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 题型4.列举随机实验的所有可能结果 【典例】把10个相同的球放入编号为1，2，3的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有（　　　）种． A．10 B．15 C．20 D．25 【跟踪专练1】小花从3种不同款式的帽子和2种不同款式的围巾中分别选一顶帽子和一条围巾搭配，可能出现的组合有（　　　） A．7种 B．6种 C．5种 D．4种 【跟踪专练2】第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为__________ ． 题型5.判定试验结果是否等可能 【典例】抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【跟踪专练1】在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 【跟踪专练2】在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 题型6.判断几个事件概率大小关系 【典例】一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 【跟踪专练1】某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为_____． 【跟踪专练2】投掷一枚普通的正方体骰子，有下列事件： ①掷得的点数是6 ；②掷得的点数是奇数 ；③掷得的点数不大于4；④掷得的点数不小于2；这些事件发生的可能性由大到小排列正确的是（　　） A．①②③④ B．④③②① C．③④②① D．③②④① 题型7.概率的意义理解 【典例】某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为__________． 【跟踪专练1】动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 _______． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．367人中至少有2人生日相同 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是 C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨 D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中 题型8.频率与概率关系说法正误 【典例】在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其_______的估计值． 【跟踪专练1】以下说法正确的是（    ） A．在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值 B．在做抛瓶盖的试验时，每名同学尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后再汇总全班同学的数据进行估计概率 C．在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的 D．在做抛瓶盖的试验时，如果上一次试验盖口向上，那么进行下一次试验时盖口向上的可能性会减小 【跟踪专练2】下列说法正确的是______（填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 题型9.求某事件的频率 【典例】假期将至，学校向全校师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“河”字出现的频率为________． 【跟踪专练1】在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【跟踪专练2】据气象预报，高新区未来天中“最高温度为”将出现天，那么这天中出现“最高温度为”的频率是________． 【跟踪专练3】如图1，在面积为的正三角形内部有一块不规则石块（阴影部分）．为测算石块的面积，小红利用计算机进行模拟实验：在三角形区域内随机投放点，记录点落在石块上的频率，绘制的频率折线图如图2，根据图中信息，估计石块的面积约是（    ） A． B． C． D． 题型10.由频率估计概率 【典例】某批乒乓球的质量检验结果如下表，从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是________．（精确到） 抽取的乒乓球数 次品的频数 次品的频率 【跟踪专练1】某种油菜籽在相同条件下发芽实验的结果如下： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率（精确到） 则这种油菜籽发芽的概率的估计值是_________（精确到）． 【跟踪专练2】某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（     ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.401 0.410 0.413 0.412 0.413 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 题型11.频率估计概率的综合应用 【典例】小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390 钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39 根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（   ） A．540 B．555 C．570 D．585 【跟踪专练1】一个盒子中装有颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在左右，若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，则摸到黄色幸运星的可能性约为__________． 【跟踪专练2】一个口袋里只有黑球10个和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中共有球的个数是（    ） A．6 B．10 C．15 D．25 题型12.列举法求概率 【典例】先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则一次正面向上、一次反面向上的概率是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响、小乐收集了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是_____． 【跟踪专练2】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】在数学活动课上，老师将4种生活图案制成如图所示的无差别卡片，将卡片置于暗箱中摇匀后随机抽取2张，抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的概率为（     ） A． B． C． D． 题型13.列表法或树状图法求概率 【典例】九年级体育中考球类选考为篮球、排球、足球三项中选一项，则应届生小华和小明选中同一个球类的概率是（     ） A． B． C． D．1 【跟踪专练1】某社区举办了“新税法知多少”的竞答活动，并对答对问题的人员发放小礼品．现打算从报名参加知识竞答活动的三男两女中随机抽取人参加知识竞答，则抽取到的两人刚好是男女的概率是______． 【跟踪专练2】如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（  ） A． B． C． D． 题型14.游戏公平性 【典例】如图，若干名同学玩扔石子进筐游戏，图①、图②分别是两种游戏方式．关于这两种方式的“公平性”有下列4种说法，其中正确的是（    ） A．两种均公平 B．两种均不公平 C．仅图①公平 D．仅图②公平 【跟踪专练1】如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 【跟踪专练2】在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 题型15.由概率公式计算概率 【典例】如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针指向扇形中的数不小于4”的概率为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某学校在开展“端阳有信•香囊藏香”的主题活动时，准备了25个颜色、外形、大小完全一致的香囊，其中有15个是菖蒲香囊，有10个是艾草香囊．若小丽从中随机抽取1个香囊，则抽到艾草香囊的概率为______． 【跟踪专练2】一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 题型16.由概率作判断 【典例】甲、乙两个工厂生产相同的产品，甲厂的产品出现次品的可能性是10％，乙厂的产品出现次品的可能性是7％，则产品质量较好的是（    ） A．甲厂 B．乙厂 C．两个工厂相同 D．不确定 【跟踪专练1】在一个不透明的袋子中装有3个红球、3个白球和2个黑球，它们除颜色外其它均相同，现添加1个同种型号的球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，则添加的球是（    ） A．红球 B．白球 C．黑球 D．任意颜色 【跟踪专练2】李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（    ） A．摸到黄球、红球的概率均为 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率均为 C．摸到黄球、红球、白球的概率分别为、、 D．摸到黄球、红球、白球的概率都是 题型17.已知概率求数量 【典例】在一个不透明的口袋里装有若干个只有颜色不同的球，如果口袋里装有6个红球，从中任意摸取一个，且摸出红球的概率是，那么袋中共有球（     ） A．6个 B．12个 C．18个 D．24个 【跟踪专练1】一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 【跟踪专练2】布袋中装有n个质地和大小都相同的小球（只有颜色不同），其中红球有5个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 题型18.几何概率 【典例】如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 【跟踪专练2】一个转盘被等分为若干个扇形，其中部分被涂上红色，其余为白色．小明自由转动转盘，当转盘停止时，记下指针落在区域的颜色，通过大量重复试验，指针落在红色区域的频率如图所示，则符合这一结果的转盘最有可能是（     ） A． B． C． D． 题型19.概率综合应用 【典例】如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 【跟踪专练2】某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【跟踪专练3】如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 【跟踪专练4】在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 解答题 1．将A，B，C，D，E这五个字母分别写在5张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个盒子中．混合均匀后从中任意抽取一张，会出现哪些可能的结果？它们是等可能的吗？ 2．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． (1)转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针指向红色区域是 事件； （填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)转动转盘，指针指向哪种颜色的可能性最大？指向哪种颜色的可能性最小？ (3)能否通过改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？请写出你的方案． 3．在投掷正方体骰子时，同学甲说：“6，6，6，…啊！真的是6！你只要一直想某个数，就会掷出那个数．” 同学乙说：“不对，我发现我越是想要某个数就越得不到这个数，倒是不想它反而会掷出那个数．” 这两位同学的说法正确吗？ 4．某学校八年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，并参与该活动．当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，如表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数m 60 122 180 240 a 600 落在“书画”区域的频率 b (1)完成上述表格：________；________； (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是________（精确到）； (3)转动该转盘一次，当转盘停止时，请你估计指针落在“手工”区域的概率． 5．某校组织学生去革命纪念馆参观，现有延安革命纪念馆、西安事变纪念馆、渭华起义纪念馆三个纪念馆可供选择，以班级为单位，在这三个纪念馆中随机选择一个纪念馆进行参观，1班的班主任准备了一些除颜色不同外其余都相同的小球，其中红球10个、黑球18个、白球12个，将这些小球放入不透明的箱子中摇匀后，班长从中随机摸出一个小球，若摸到红球，则全班去延安革命纪念馆参观；若摸到黑球，则全班去西安事变纪念馆参观；若摸到白球，则全班去渭华起义纪念馆参观． (1)事件“班长摸到蓝球”为 事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)求1班去渭华起义纪念馆参观的概率． 6．小明和小军利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： Ⅰ．两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． Ⅱ．当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； Ⅲ．比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 请根据上述规则回答下列问题： (1)掷一次骰子得到的点数为1的概率是_________； (2)小明第一次掷出的点数是6，如果他决定掷第二次，则最终得分为0的概率是多少？ (3)已知小军前两次掷出的点数和为8，此时他并不知道小明掷的点数．如果你是小军，你会掷第三次吗？请用所学的概率知识说明理由． 7．某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D（字母A，B，C，D分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书． (1)将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为_________； (2)将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率． 8．亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11随机事件的概率暑假预习讲义 ① 分清三类基础事件：精准区分必然事件、不可能事件、随机事件（不确定事件）；明确前两者属于确定事件，结合生活实例判断事件类型，了解随机事件结果无法提前预判。 ② 熟记概率取值范围：必然事件概率P=1，不可能事件概率P=0，随机事件概率取值0＜P(A)＜1，能够依据概率数值判断事件发生可能性大小。 ③ 理解等可能试验特征：掌握古典概型两大特点：所有结果有限、每种结果发生可能性均等，熟记古典概率计算公式：P(A)= ④ 会用枚举法列举全部结果：针对掷硬币、掷骰子、摸球等简单题型，使用直接列举法梳理所有基本事件，不重复、不遗漏统计有利结果数量。 ⑤ 了解频率与概率关系：明白重复试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定趋近于概率，可以利用频率估算随机事件的概率。 ⑥ 简单判断游戏公平性：通过计算双方获胜概率，对比概率数值判断游戏规则是否公平，能简单修改规则实现游戏公平。 ⑦ 梳理本章高频易错点：列举基本结果出现重复或遗漏、混淆频率与概率概念、错误判定试验是否为等可能事件、仅凭单次试验结果判断事件概率；建立随机思维，理性看待生活中的概率现象。 预习必备 知识梳理 1.事件的分类 2随机事件发生的可能性大小 3.频率的概念 4.用频率估计概率 5.频率与概率的区别与联系 6.列举法求概率 7.几何概率 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.事件的分类 2.事件发生可能性大小的判定 3.调整条件是事件可能性相等 4.列举随机实验的所有可能结果 5.判定试验结果是否等可能 6.判断几个事件概率大小关系 7.概率的意义理解 8.频率与概率关系说法正误 9.求某事件的频率 10.由频率估计概率 11.频率估计概率的综合应用 12.列举法求概率 13.列表法或树状图法求概率 14.游戏公平性 15.由概率公式计算概率 16.由概率作判断 17.已知概率求数量 18.几何概率 19.概率综合应用 强化题型 解答题8题 知识点01：事件的分类（核心概念，必考辨析） 在一定条件下进行试验： 必然事件：每次试验一定发生的事件；发生可能性 100%。 不可能事件：每次试验一定不发生的事件；发生可能性 0。 ✅必然事件、不可能事件统称为确定事件 随机事件（不确定事件）：在试验中，可能发生，也可能不发生的事件。 事件辨析对照表 事件类型 发生可能性 举例 必然事件 可能性 = 1（100%） 太阳从东方升起；掷一枚普通骰子，点数≤6 不可能事件 可能性 = 0 掷骰子出现点数 7；常温下水结冰（标准大气压） 随机事件 0＜可能性＜1 掷硬币正面朝上；抽奖中奖 ⚠️关键提醒： 事件是否随机，依赖 “试验条件”；条件改变，事件类型可能改变。 知识点02：随机事件发生的可能性大小 1.随机事件发生可能性有大小之分； 2.可能性大小可以定性比较，但不能直接等同于概率； 3.试验结果等可能时，结果数量越多，对应事件发生可能性越大。 知识点03：频率的概念 频数：试验中，某个事件出现的次数； 频率：频率= 公式：频率= m：事件发生频数，n：试验总次数 ⚠️频率是比值，可以用小数、分数、百分数表示；每一组试验频率随试验改变，是变化值。 知识点04：用频率估计概率 1. 适用场景 当随机试验的所有结果不具备等可能性，无法用列表法、树状图求出理论概率时，我们利用大量重复试验，用稳定后的频率估计概率。 典型例子：种子发芽率、产品次品率、篮球运动员投篮命中率、不规则几何体落地朝向。 2. 核心结论 在相同条件下进行大量重复试验，当频率逐渐稳定后，可以用这个稳定的频率作为事件发生概率的近似值。 P(A)稳定后的频率 3. 重要注意事项 ① 所有试验必须在完全相同的条件下开展； ② 少量试验的频率不能用来估计概率，只有试验次数足够多，频率才会稳定； ③ 通过频率估计得到的概率是近似值，不是精确理论值。 4. 两大常用拓展计算模型 （1）估算事件发生次数： 预计发生次数=总试验次数估计概率 （2）估算总体数量（抽样调查题型）： 总体数量= 知识点05：频率与概率的区别与联系 对比项目 频率 概率 属性 试验值，数值会变化 理论值，固定不变 影响因素 随试验总次数改变 不受试验次数影响 取值范围 0频率1 0P(A) 1 内在关系 试验次数越多，频率越接近概率 大量重复试验下，可用稳定频率估算概率 知识点 06 用列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率。 （1） 直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2） 列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素。 知识点 07几何概率（几何概型） 1. 几何概率定义 一般地，如果试验的结果有无限多个，并且每个结果出现的可能性大小相等，所有结果均匀分布在线段、平面、扇形等几何区域内，我们利用几何图形的长度、面积、角度的比值计算随机事件发生的概率，这类概率称为几何概率。 2. 几何概率通用公式 P(A)= 度量可对应线段长度、平面图形面积、扇形圆心角度数。 3. 三类常见几何概率模型 （1）线段型：(P(A)= （2）面积型（覆盖率）：P(A)= （3）转盘扇形型：P(A)= 4. 几何概率核心前提 ① 试验结果有无穷多个； ② 落点均匀分布，任意区域可能性与区域度量成正比。 知识点08:核心公式 + 概念速记卡 1.频率公式：频率 = （m = 发生次数，n = 试验次数）) 2.等可能事件概率：P (A)=（m = 事件 A 结果数，n = 总等可能结果数） 3.几何概率：P (A)= 4.概率范围：必然事件 P=1，不可能事件 P=0，随机事件 0＜P＜1 知识点09：高频易错点汇总表格 易错问题 错误认知 正确理解 事件判断 “大概率事件” 是必然事件 概率接近 1 依旧属于随机事件，不一定发生 概率含义 P(A)=，试验两次必有一次发生 概率是长期趋势，少量试验结果无法保证 放回 vs 不放回 两种情况总结果数一样 不放回试验，第二次总样本数量减少 频率与概率 做几次试验得到的频率就是概率 只有大量重复试验，频率才稳定接近概率 转盘概率 直接分割份数计数 扇形面积不等时，结果不等可能，不能直接数份数 列举结果 分不清有序、无序（如 (1,2) 和 (2,1)） 先后抽取属于有序结果，树状图必须分开列出 题型1.事件的分类 【典例】下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．经过路口，恰好遇到绿灯 B．打开电视，正在播放新闻 C．明天早晨的太阳从东方升起 D．射击运动员射击一次，命中九环 【答案】C 【分析】必然事件是一定会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、经过路口遇到的信号灯颜色不确定，该事件是随机事件，不符合要求； B、打开电视播放的内容不确定，该事件是随机事件，不符合要求； C、太阳每天早晨一定从东方升起，该事件一定发生，是必然事件，符合要求； D、 射击运动员射击一次的命中结果不确定，该事件是随机事件，不符合要求． 【跟踪专练1】下列事件中，是随机事件的为（     ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．画一个三角形，其内角和为 C．寒来暑往 D．从只有红球的袋子中摸出黑球 【答案】A 【分析】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件．根据定义，判断各选项的事件类型，即可选出正确答案． 【详解】解：A选项，投掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，故该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件； B选项，∵任意三角形的内角和都为，∴画一个三角形，其内角和为是必然事件； C选项，寒来暑往是固定的自然规律，是必然事件； D选项，从只有红球的袋子中不可能摸出黑球，是不可能事件． 【跟踪专练2】小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 【答案】B 【分析】先计算不放回抽取两根竹签的数字和的取值范围，再根据随机事件的定义判断各选项． 【详解】解：不放回抽取两根竹签，数字和的最小值为，最大值为， ∵ 数字和小于3一定不发生， ∴ A是不可能事件，故A不符合题意； ∵ 数字和等于3可能发生，也可能不发生， ∴ B是随机事件，故B符合题意； ∵ 数字和等于8、大于8均一定不发生， ∴ C、D是不可能事件，故C、D不符合题意． 题型2.事件发生可能性大小的判定 【典例】下列诗句所描述的事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 【答案】C 【分析】不可能事件发生的可能性为，是所有事件中最小的，以此为突破口判断各选项的事件类型即可． 【详解】解：A选项“黄河入海流”与D选项“红豆生南国”均为必然事件，发生的可能性为； B选项“大漠孤烟直”是随机事件，发生的可能性在与之间； C选项“手可摘星辰”是不可能事件，发生的可能性为． ∴ 发生可能性最小的是C选项对应的事件． 【跟踪专练1】把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张． 下面描述正确的是（     ） A．一定能摸出3 B．不可能摸出5 C．摸出3的可能性最小 D．摸出1的可能性最大 【答案】D 【详解】解：A、可能摸出3，也可能摸不出3，原说法错误； B、可能摸出5，也可能摸不出5，原说法错误； C、5的数量最少，摸出5的可能性最小，原说法错误； D、1的数量最多，摸出1的可能性最大，原说法正确. 【跟踪专练2】下列事件： ①购买一张福利彩票，中大奖． ②甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏，甲出“石头”获胜． ③在标准大气压下，温度低于0时，冰融化． ④从13个不同的“苏嘟嘟”（分别对应苏超的13支球队）盲盒中任意抽取1个，抽中徐州队吉祥物“虎嘟嘟”． 按照事件发生的概率从小到大排列，对应事件的顺序是（     ） A．②④①③ B．③①④② C．①②④③ D．③①②④ 【答案】B 【分析】先计算每个事件发生的概率，再将概率从小到大排序即可得到结果． 【详解】分别计算各事件的概率： ③在标准大气压下，温度低于0时，冰融化，是不可能事件，概率为； ④从13个等可能的盲盒中抽取1个指定盲盒，抽中徐州队吉祥物“虎嘟嘟”的概率为； ②甲出“石头”时，乙共有3种等可能出法，仅乙出剪刀时甲获胜，此时概率为； ①购买福利彩票中大奖是小概率事件，概率远小于； 因此按照事件发生的概率从小到大排列，对应事件的顺序是③①④②， 故选：B． 题型3.调整条件是事件可能性相等 【典例】有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【答案】D 【分析】需使不可能事件与必然事件的数量相等，从而概率相同. 【详解】解：原卡片中不可能事件有3个（水中捞月、一步登天、刻舟求剑），必然事件有2个（水满则溢、水涨船高），增加一张卡片后总数为6张；若新增卡片为必然事件，则必然事件数量变为3，与不可能事件数量3相等，此时两者的概率均为； 选项D“瓮中捉鳖”是必然事件，满足条件； 故选：D. 【跟踪专练1】一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 【答案】2 【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解． 【详解】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大， ∴n的最小值等于3+1-2=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解． 【跟踪专练2】袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据概率公式求出白球的取值范围即可得出结论． 【详解】解：若要使取到白球的概率较大，则白球的个数＞红球的个数 由各选项可知，只有D选项符合 故选D． 【点睛】此题考查的是比较概率的大小，掌握概率公式是解决此题的关键． 题型4.列举随机实验的所有可能结果 【典例】把10个相同的球放入编号为1，2，3的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有（　　　）种． A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】首先保证放入和编号相同的球数，只需分析剩下的球的不同方法即可． 【详解】解：先放1，2，3的话，那么还剩下4个球，4个球放到3个不同的盒子里，情况有： 0，0，4，分别在1，2，3号盒子中的任意一个中放4个，共3种情况； 0，1，3，分别在1，2，3号盒子中的任意两个中放3个和1个，共6种情况； 0，2，2，分别在1，2，3号盒子中的任意两个中放2个，共3种情况； 1，1，2分别在1，2，3号盒子中的任意两个中放2个和1个，共3种情况； ∴3+6+3+3=15种． 故选：B． 【点睛】本题考查了学生的分析能力．此题与生活实际联系比较密切，解题的关键是要注意仔细分析题目，做到不重不漏． 【跟踪专练1】小花从3种不同款式的帽子和2种不同款式的围巾中分别选一顶帽子和一条围巾搭配，可能出现的组合有（　　　） A．7种 B．6种 C．5种 D．4种 【答案】B 【分析】利用画树状图分析所有可能情况，有3种不同款式的帽子为A、B、C，第一层，三个分支，有2种不同款式的围巾为D、E，是第二层，在每个分支上再画两个小分支即可知道所有的情形． 【详解】设3种不同款式的帽子为A、B、C，2种不同款式的围巾为D、E， 画树状图为： ， ∴可能出现的组合有6种， 故选择：B． 【点睛】本题考查树状图表示组合问题，掌握树状图的画法与分支以及层次是解题关键． 【跟踪专练2】第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为__________ ． 【答案】12 【分析】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为，共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键． 【详解】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为， 则将三个吉祥物进行排列，有： ，，，，，， 共种站法， 再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有： ，，，，， 共有种不同的站法， 故答案为：12． 题型5.判定试验结果是否等可能 【典例】抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等可能事件的概率概念，根据质地均匀硬币的性质即可判断结果． 【详解】∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相等； 故选：C． 【跟踪专练1】在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可． 【详解】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等． 选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物； 选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物． 【跟踪专练2】在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 题型6.判断几个事件概率大小关系 【典例】一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件发生的概率，如果一件事有n种可能，而这些事件的可能性相同，其中事件A出现了m种情况，则事件A发生的概率为：． 【详解】解：解：任意摸出一个球，为红球的概率是：， 任意摸出一个球，为黑球的概率是：， 任意摸出一个球，为白球的概率是：， 故可能性最大的为：摸出的是黑球， 故答案为：B． 【跟踪专练1】某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率是必然事件， ∴两个人出生月份相同的概率为， 故答案为：． 【跟踪专练2】投掷一枚普通的正方体骰子，有下列事件： ①掷得的点数是6 ；②掷得的点数是奇数 ；③掷得的点数不大于4；④掷得的点数不小于2；这些事件发生的可能性由大到小排列正确的是（　　） A．①②③④ B．④③②① C．③④②① D．③②④① 【答案】B 【分析】根据题意得，①掷得的点数是6包含一种情况；②掷得的点数是奇数包括3种情况；③掷得的点数不大于4包括4种情况；④掷得的点数不小于2包括5种情况，分别比较情况数的大小即可选得答案. 【详解】根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共6种情况； 而①掷得的点数是6包含1种情况；②掷得的点数是奇数包括3种情况；③掷得的点数不大于4包括4种情况；④掷得的点数不小于2包括5种情况 故发生的可能性由大到小的顺序排为④③②① 故选：B 【点睛】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等；解答本题时，根据题意，易得这些事件的总情况数目相同，只需比较其包含的情况数目. 题型7.概率的意义理解 【典例】某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为__________． 【答案】 【分析】此题考查了概率的意义，根据所有事件的概率和为1计算即可． 【详解】解：∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯， ∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1， ∵在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为， ∴遇到黄灯的概率为 故答案为： 【跟踪专练1】动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 _______． 【答案】 【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为，活到25岁的只数为， 故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为． 故答案为：． 【点睛】考查了概率的意义，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意在本题中把20岁时的动物只数看成单位1． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．367人中至少有2人生日相同 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是 C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨 D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中 【答案】A 【分析】根据概率的含义和随机事件的定义即可得出答案． 【详解】解：A. 一年有365天，则367人中至少有两人生日相同，故该选项正确； B.任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，故该选项错误； C.天气预报说明天的降水概率为90%，则明天不一定会下雨，故该选项错误； D.某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票不一定有1张中奖，故该选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了概率的含义，关键是要牢记概率表示事件发生的可能性大小． 题型8.频率与概率关系说法正误 【典例】在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其_______的估计值． 【答案】概率 【分析】本题考查了频率与概率，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值． 故答案为：概率． 【跟踪专练1】以下说法正确的是（    ） A．在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值 B．在做抛瓶盖的试验时，每名同学尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后再汇总全班同学的数据进行估计概率 C．在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的 D．在做抛瓶盖的试验时，如果上一次试验盖口向上，那么进行下一次试验时盖口向上的可能性会减小 【答案】B 【分析】根据频率与概率的关系，逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：∵用频率估计概率得到的是概率的近似值，即使试验次数足够多，也无法得到概率的精确值，∴A错误． ∵用相同规格瓶盖可以保证试验条件一致，汇总全班数据增大了试验次数，能提高估计的准确性，符合频率估计概率的试验要求，∴B正确． ∵随机事件发生的概率是固定的确定值，频率是每次试验得到的不确定数值，频率的不确定性不影响概率的确定性，∴C错误． ∵每次抛瓶盖试验都是独立事件，上一次试验的结果不会影响下一次结果发生的可能性大小，∴D错误． 【跟踪专练2】下列说法正确的是______（填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 【答案】③ 【分析】根据随机事件以及频率和概率的意义分别分析即可； 【详解】①买彩票中奖是个随机事件，但是中奖的可能性很小，此选项错误． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%，此说法错误，只有当实验次数较多时，才能用实验结果推算概率，是一个估计值，不是准确值； ③在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是0.48和0.51，此说法正确； ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是必然事件，此说法错误； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了概率的意义以及概率与频率的区别，正确区分他们是解题的关键． 题型9.求某事件的频率 【典例】假期将至，学校向全校师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“河”字出现的频率为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了频数与频率的运用，解题时注意：频率＝频数÷数据总数，即用“河”字出现的次数除以总的字的个数求解． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”，共有18个字，其中“河”字出现的次数为2次， ∴“河”字出现的频率为． 【跟踪专练1】在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】先根据图得到黄球出现的频率稳定在0.6附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n． 【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在0.6附近， ∴ 解得 n=3 故选：B． 【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式． 【跟踪专练2】据气象预报，高新区未来天中“最高温度为”将出现天，那么这天中出现“最高温度为”的频率是________． 【答案】 【分析】根据频率的定义，确定出现目标情况的频数和总天数，代入频率公式计算即可． 【详解】解：“最高温度为”出现的频数为，数据总数为， 因此频率． 【跟踪专练3】如图1，在面积为的正三角形内部有一块不规则石块（阴影部分）．为测算石块的面积，小红利用计算机进行模拟实验：在三角形区域内随机投放点，记录点落在石块上的频率，绘制的频率折线图如图2，根据图中信息，估计石块的面积约是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，点落在不规则石块上的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则石块的面积与正三角形的面积的比为0.35，即可求得不规则石块的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则石块上的频率稳定在0.35， ∴点落在不规则石块上的概率为0.35， ∴估计石块的面积约是， 故选：C． 题型10.由频率估计概率 【典例】某批乒乓球的质量检验结果如下表，从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是________．（精确到） 抽取的乒乓球数 次品的频数 次品的频率 【答案】 【分析】大量重复试验中，频率稳定后的值可作为概率的估计值，观察表格中试验次数增大后的频率即可得到结果． 【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增加，次品的频率逐渐稳定在，则任意抽取一只乒乓球是次品的概率估计值是． 【跟踪专练1】某种油菜籽在相同条件下发芽实验的结果如下： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率（精确到） 则这种油菜籽发芽的概率的估计值是_________（精确到）． 【答案】 【分析】当试验次数足够大时，频率稳定在某个常数附近，该常数即为概率的估计值，观察表格中频率的稳定范围即可求解． 【详解】解：观察表格可得，随着试验次数增加，这种油菜籽发芽的频率稳定在附近， ∴这种油菜籽发芽的概率的估计值为． 【跟踪专练2】某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（     ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.401 0.410 0.413 0.412 0.413 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 【答案】C 【分析】根据大量重复试验中频率逐渐稳定于概率的性质，观察表格中频率的变化趋势即可求解． 【详解】解：观察表格可知，随着累计抽测学生数不断增大，近视学生数与的比值逐渐稳定在， ∴对该区初中生近视概率的估计最合理的是． 题型11.频率估计概率的综合应用 【典例】小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390 钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39 根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（   ） A．540 B．555 C．570 D．585 【答案】D 【分析】本题考查了用频率估计概率；大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着试验次数的增多，钉尖着地的频率逐渐稳定到附近， ∴估计“钉尖着地”的概率为， ∴抛掷1500次时，估计次数为． 故选：D． 【跟踪专练1】一个盒子中装有颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在左右，若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，则摸到黄色幸运星的可能性约为__________． 【答案】 【分析】由频率与概率的关系列式求出盒中红色幸运星的个数即可得到答案． 【详解】解：设袋中红色幸运星有个， 根据题意得， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则袋中红色幸运星的个数为个， 若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，则摸到黄色幸运星的可能性为． 【跟踪专练2】一个口袋里只有黑球10个和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中共有球的个数是（    ） A．6 B．10 C．15 D．25 【答案】D 【分析】先计算出黄球频率，再频率的值接近于概率，再根据黄球的概率求解即可． 【详解】解：设袋中共有x个球，则黄球的个数为， ∵黄球的概率近似为＝， ∴，解得， 经检验：是分式方程的解． 故选D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率、分式方程的应用等知识点，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解答本题的关键． 题型12.列举法求概率 【典例】先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则一次正面向上、一次反面向上的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先后两次抛掷质地均匀的硬币，所有等可能的结果为：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共种， 其中满足“一次正面向上、一次反面向上”的结果有种， 即所求概率． 【跟踪专练1】造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响、小乐收集了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查用列举法求概率，先找出抽取两张卡片的所有等可能结果，再统计出含“指南针”的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：将造纸术、印刷术、指南针、火药四张卡片分别记为，，，，从四张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，，，，共种，其中两张卡片中含有“指南针”的结果为：，，，共种； ∴根据概率公式可得，所求概率为． 【跟踪专练2】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先列举出从4个素数中随机选取两个不同的数所有等可能结果，再找出和小于的结果数，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：∵不超过10的素数为，，，，共4个，随机选取两个不同的数，所有等可能的结果为：，，，，，，共6种，其中和小于10的结果有：，，，，共种， ∴所求概率为． 【跟踪专练3】在数学活动课上，老师将4种生活图案制成如图所示的无差别卡片，将卡片置于暗箱中摇匀后随机抽取2张，抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据物理变化的定义判断出4种图案中属于物理变化的有2种，然后列出所有等可能的结果，找出抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵镁条燃烧生成氧化镁，面包发霉生成新物质，均属于化学变化；玻璃破碎、钢条折弯只是形状改变，均属于物理变化， ∴4张卡片中，属于化学变化的有2张，属于物理变化的有2张，设2张化学变化的卡片分别为，2张物理变化的卡片分别为 ， 从4张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果有：共6种， 其中抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的结果只有这1种， ∴抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的概率． 题型13.列表法或树状图法求概率 【典例】九年级体育中考球类选考为篮球、排球、足球三项中选一项，则应届生小华和小明选中同一个球类的概率是（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出小华和小明选中同一个球类的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中小华和小明选中同一个球类的结果数为3， 所以小华和小明选中同一个球类的概率为． 【跟踪专练1】某社区举办了“新税法知多少”的竞答活动，并对答对问题的人员发放小礼品．现打算从报名参加知识竞答活动的三男两女中随机抽取人参加知识竞答，则抽取到的两人刚好是男女的概率是______． 【答案】/ 【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率． 【详解】解：由题意可得， ∵共有20种等可能的结果，其中抽取到的两人刚好是1男1女共有12种结果， ∴抽取到的两人刚好是1男1女的概率是：． 【跟踪专练2】如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数量，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中甲、乙两人座位相邻的情况有6种， 甲、乙两人座位相邻的概率为． 题型14.游戏公平性 【典例】如图，若干名同学玩扔石子进筐游戏，图①、图②分别是两种游戏方式．关于这两种方式的“公平性”有下列4种说法，其中正确的是（    ） A．两种均公平 B．两种均不公平 C．仅图①公平 D．仅图②公平 【答案】D 【分析】此题考查了游戏公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 对图①、图②分别是两种站立方式分别进行判断即可． 【详解】解：图①中，若干名同学到筐的距离不相等，则图①不公平； 图②中，若干名同学到筐的距离相等，则图②公平； 故选：D． 【跟踪专练1】如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查的是几何概率，根据图中阴影部分的面积与空白部分的面积相等，可知飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等，所以这个游戏对甲、乙来说公平． 【详解】解：由图可知，靶面上阴影部分的面积与空白部分的面积相等， 飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等， 这个游戏对甲、乙来说公平． 【跟踪专练2】在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，列举法等知识，利用排除法求解即可． 【详解】解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故A、B都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以一定是小金获胜， 故C正确； 若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故D不正确． 故选：C． 题型15.由概率公式计算概率 【典例】如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针指向扇形中的数不小于4”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：指针指向的可能情况有6种，而其中“指针指向扇形中的数不小于4”的情况有3种， 所以事件“指针指向扇形中的数不小于4”发生的概率为． 【跟踪专练1】某学校在开展“端阳有信•香囊藏香”的主题活动时，准备了25个颜色、外形、大小完全一致的香囊，其中有15个是菖蒲香囊，有10个是艾草香囊．若小丽从中随机抽取1个香囊，则抽到艾草香囊的概率为______． 【答案】 【分析】先确定所有等可能结果的总数，再确定抽到艾草香囊的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：所有等可能结果总数，抽到艾草香囊包含的结果数， ∴． 【跟踪专练2】一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个灰色小三角形的面积为，表示出相关图形的面积，最后利用简单概率公式求解． 【详解】解：设每个灰色小三角形的面积为，灰色区域的面积为，则每个小正方形的面积为，大正方形的面积为， ∴小球停在灰色区域的概率是． 题型16.由概率作判断 【典例】甲、乙两个工厂生产相同的产品，甲厂的产品出现次品的可能性是10％，乙厂的产品出现次品的可能性是7％，则产品质量较好的是（    ） A．甲厂 B．乙厂 C．两个工厂相同 D．不确定 【答案】B 【分析】根据次品出现的百分比可直接得到答案． 【详解】解：∵10%＞7%， ∴乙厂产品质量较好， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了可能性的大小，关键是掌握只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 【跟踪专练1】在一个不透明的袋子中装有3个红球、3个白球和2个黑球，它们除颜色外其它均相同，现添加1个同种型号的球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，则添加的球是（    ） A．红球 B．白球 C．黑球 D．任意颜色 【答案】C 【分析】首先根据概率求法，即可判定出添加的球使所有小球个数相同，即可得出答案． 【详解】解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是， ∴这三种颜色的球的个数相等， ∴添加的球是黑球， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，解答此类问题的关键是掌握概率求法． 【跟踪专练2】李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（    ） A．摸到黄球、红球的概率均为 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率均为 C．摸到黄球、红球、白球的概率分别为、、 D．摸到黄球、红球、白球的概率都是 【答案】B 【分析】分析各个选项中的概率之和即可选出不成功的选项． 【详解】A.； B.，不成立； C.; D.; 故选：B． 【点睛】本题考查简单事件的概率．一次试验中有n种等可能的结果，每种结果出现的概率之和为1． 题型17.已知概率求数量 【典例】在一个不透明的口袋里装有若干个只有颜色不同的球，如果口袋里装有6个红球，从中任意摸取一个，且摸出红球的概率是，那么袋中共有球（     ） A．6个 B．12个 C．18个 D．24个 【答案】C 【分析】根据概率公式，已知红球个数和摸出红球的概率，列式即可求出总球数． 【详解】解： 摸出红球的概率 = 红球个数总球数， 已知红球个数为，摸出红球的概率为， 可得总球数为 （个） 即袋中共有18个球． 【跟踪专练1】一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 【答案】3 【分析】根据概率公式，利用摸到白球的概率为建立关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：盒子中球的总个数为， 根据题意得， 交叉相乘得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的解． 故m的值为3． 【跟踪专练2】布袋中装有n个质地和大小都相同的小球（只有颜色不同），其中红球有5个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】利用概率公式列方程即可求解． 【详解】解：∵红球个数为，总球数为，摸出红球的概率为， ∴列方程得， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 因此的值为． 题型18.几何概率 【典例】如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形纸板面积为，空白部分面积为，空白部分所占面积是正方形纸板面积的，所以针尖落在空白区域的概率为． 【跟踪专练1】如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 【答案】 【分析】利用阴影部分的面积除以正方形的面积，即可得出结果. 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的面积为，以正方形各边为直径的半圆的半径为，四个半圆的面积和为 ， 阴影部分的面积等于四个半圆的面积和减去正方形的面积： ， ∴这个点取在阴影部分的概率是. 【跟踪专练2】一个转盘被等分为若干个扇形，其中部分被涂上红色，其余为白色．小明自由转动转盘，当转盘停止时，记下指针落在区域的颜色，通过大量重复试验，指针落在红色区域的频率如图所示，则符合这一结果的转盘最有可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据频率折线图，大量重复试验后，指针落在红色区域的频率稳定在附近，因此指针落在红色区域的概率约为； A：转盘分为3个相等扇形，1份红色，概率为，不符合； B：转盘分为4个相等扇形，1份红色，概率为，不符合； C：转盘分为5个相等扇形，1份红色，概率为，符合； D：转盘分为6个相等扇形，1份红色，概率为，不符合． 题型19.概率综合应用 【典例】如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由简单概率公式直接计算即可． 【详解】解：根据转盘中个扇形区域中有个红色区域，则中奖的概率为． 【跟踪专练1】小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 【答案】A 【分析】求出抽到每种作业本的概率，再比较大小即可． 【详解】解：∵总共有8个作业本，其中语文3本，数学2本，英语2本，物理1本， ∴， ， ， ， ∵， ∴抽到语文作业本的可能性最大，抽到物理作业本的可能性最小， ∴因此选项A正确，选项B，C，D错误． 【跟踪专练2】某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【答案】 【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快． 根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为． 【跟踪专练3】如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 【答案】② 【分析】获胜概率大即为方案发生的概率大，因此需要分别计算三种方案发生的概率，这10个数字中有5个奇数，3的倍数为3，6，9，不小于5的数为5，6，7，8，9，10，据此计算概率即可． 【详解】解：分别计算三种方案发生的概率： ①奇数的概率为； ②3，6，9是3的倍数，故不是3的倍数的概率为， ③大于等于5的数共有6个，故不小于5的概率为， ， 获胜概率最大的方案为方案②． 【跟踪专练4】在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 【答案】120 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 解答题 1．将A，B，C，D，E这五个字母分别写在5张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个盒子中．混合均匀后从中任意抽取一张，会出现哪些可能的结果？它们是等可能的吗？ 【答案】会出现摸到写有字母A的纸条、写有字母B的纸条、写有字母C的纸条、写有字母D的纸条、写有字母E的纸条这5种可能的结果，它们是等可能的． 【详解】解：略． 2．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． (1)转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针指向红色区域是 事件； （填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)转动转盘，指针指向哪种颜色的可能性最大？指向哪种颜色的可能性最小？ (3)能否通过改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？请写出你的方案． 【答案】(1)随机； (2)指针指向红色的可能性最大，指向黄色的可能性最小； (3)将1个红色区域改为黄色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【分析】（1）根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答； （2）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【详解】（1）解：第7次转动时指针指向红色区域是随机事件； （2）解：∵指针都指向红色区域的概率为， 指针都指向蓝色区域的概率为：， 指针都指向黄色区域的概率为：， ∴指针指向红色的可能性最大，指向黄色的可能性最小； （3）略． 3．在投掷正方体骰子时，同学甲说：“6，6，6，…啊！真的是6！你只要一直想某个数，就会掷出那个数．” 同学乙说：“不对，我发现我越是想要某个数就越得不到这个数，倒是不想它反而会掷出那个数．” 这两位同学的说法正确吗？ 【答案】两位同学的说法都不正确． 【分析】本题考查随机事件的性质，投掷正方体骰子是随机事件，每次掷出每个点数的概率相等，结果不受人的主观意愿影响，据此可判断两人的说法均错误． 【详解】解：投掷正方体骰子，共有6种等可能的结果，掷出1到6中任意一个点数的概率都为． 每一次投掷骰子都是独立的随机事件，结果是随机的，不会受人的主观意愿改变． 无论是一直想某个数，还是刻意不想某个数，都不能改变掷出对应点数的概率，也无法保证一定得到或一定得不到该点数． 因此两位同学的说法都是错误的． 4．某学校八年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，并参与该活动．当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，如表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数m 60 122 180 240 a 600 落在“书画”区域的频率 b (1)完成上述表格：________；________； (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是________（精确到）； (3)转动该转盘一次，当转盘停止时，请你估计指针落在“手工”区域的概率． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）根据实验次数很大时，频率的稳定值，就可以来估计获得“书画”奖品的概率； （3）根据指针落在“手工”区域的概率和指针落在“书画”区域的概率的和为1，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得； ； （2）解：根据实验次数很大时，频率将会接近，即假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是， （3）解：根据指针落在“手工”区域的概率和指针落在“书画”区域的概率的和为1， 故指针落在“手工”区域的概率为：． 5．某校组织学生去革命纪念馆参观，现有延安革命纪念馆、西安事变纪念馆、渭华起义纪念馆三个纪念馆可供选择，以班级为单位，在这三个纪念馆中随机选择一个纪念馆进行参观，1班的班主任准备了一些除颜色不同外其余都相同的小球，其中红球10个、黑球18个、白球12个，将这些小球放入不透明的箱子中摇匀后，班长从中随机摸出一个小球，若摸到红球，则全班去延安革命纪念馆参观；若摸到黑球，则全班去西安事变纪念馆参观；若摸到白球，则全班去渭华起义纪念馆参观． (1)事件“班长摸到蓝球”为 事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)求1班去渭华起义纪念馆参观的概率． 【答案】(1)不可能 (2) 【分析】（1）根据箱子中球的颜色判断事件类型即可； （2）根据概率公式，用符合条件的结果数除以所有可能的结果数，即可求出对应概率． 【详解】（1）解：箱子中只有红球、黑球、白球，没有蓝球，一定摸不到蓝球， 故事件“班长摸到蓝球”为不可能事件； （2）解：先计算小球的总数量：（个）， 摸到白球即去渭华起义纪念馆参观，白球共12个， 根据概率公式得：， 答：1班去渭华起义纪念馆参观的概率为． 6．小明和小军利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： Ⅰ．两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． Ⅱ．当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； Ⅲ．比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 请根据上述规则回答下列问题： (1)掷一次骰子得到的点数为1的概率是_________； (2)小明第一次掷出的点数是6，如果他决定掷第二次，则最终得分为0的概率是多少？ (3)已知小军前两次掷出的点数和为8，此时他并不知道小明掷的点数．如果你是小军，你会掷第三次吗？请用所学的概率知识说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不会掷第三次，理由： 小军第三次掷出的点数共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6； 其中导致小军得分增加的结果共有2种：1，2， （掷第三次得分增加）； 导致小军得分变为0的结果共有4种：3，4，5，6， （掷第三次得分为）； ， 如果我是小军，不会掷第三次． 【分析】（1）掷一次骰子共有6种等可能结果，点数为1只有1种，故概率为； （2）第二次掷出的点数有6种等可能结果，若最终得分为0，则需第二次点数大于4，即点数为5或6，共2种，故概率为； （3）第三次掷骰子共有6种等可能结果．分别求出得分增加和得分为0的概率，进行比较即可． 【详解】（1）解：掷一次骰子共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6， 故掷一次骰子得到的点数为1的概率是． （2）解：小明第二次掷出的点数共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6； 由题意，其中导致最终得分为0的结果共有2种：5，6， （最终得分为）． （3）略 7．某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D（字母A，B，C，D分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书． (1)将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为_________； (2)将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能的结果，再得出小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有四个球，且每个球被摸出的概率相同， ∴从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为； （2）解：列表如下： 小慧小智 由表格可知，一共有16种等可能的结果，其中小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的结果有7种， ∴小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率为． 8．亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜，即可求解； （2）转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5，根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜， 胡胡所得数字为5的概率为， 即胡胡获胜的概率为； （2）解：转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5， 画树状图如下： 由图可得，共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种， ∴亮亮获胜的概率为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $