第二章 专题强化1 匀变速直线运动的平均速度公式 位移差公式 逐差法求加速度（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一物理必修第一册学习笔记（人教版 浙江专版）

本高中物理讲义聚焦匀变速直线运动的三大核心知识点，系统梳理平均速度公式（含中间时刻瞬时速度推导）、位移差公式（Δx=aT²及推论）和逐差法求加速度的脉络，通过公式推导、对比分析（如中间时刻与中间位置速度比较）构建完整学习支架。 该资料突出科学思维培养，采用解析法与图像法推导公式，结合无人机运动、小球下滑等实例强化科学推理与模型建构。课中辅助教师引导学生理解公式本质，课后专题强化练（含实验数据处理题）助力学生查漏补缺，提升解决实际问题能力。

专题强化1　匀变速直线运动的平均速度公式 位移差公式　逐差法求加速度 [学习目标]　1.理解平均速度公式，并能用平均速度公式解决相关问题(难点)。2.理解位移差公式并能解决相关问题(重点)。3.理解逐差法的意义并会用逐差法进行数据处理求加速度(重难点)。 一、平均速度公式 如图所示，一物体做匀变速直线运动，初速度为v0，末速度为v，这段时间中间时刻的瞬时速度为，试推导==。 答案　方法一　解析法 中间时刻的瞬时速度=v0+at，该段时间的末速度v=v0+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式可得===v0+at=，又=v0+at===，即==。 方法二　图像法 0~t时间内的位移x=t 平均速度== 中间时刻的瞬时速度的大小对应梯形中位线与图像交点的纵坐标，故==。 1.匀变速直线运动的平均速度公式：== (1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。 (2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式，即=，=。 2.三个平均速度公式的比较 =适用于任何运动； =及=仅适用于匀变速直线运动。 若一物体做匀加速直线运动，初速度为v0，末速度为v，位移为x，这段位移中间位置的瞬时速度为。比较与的大小。 答案　方法一　定性分析法 实际运动过程以匀加速直线运动为例，速度先慢后快， 前时间内的位移x1<，故<。 方法二　公式法 如图，-=2a v2-=2a 得= 则->0 故> 方法三　图像法 由图知>。 (1)匀变速直线运动中间位置的瞬时速度公式：=。 (2)对于匀变速直线运动，中间位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即>。 例1　小张通过无人机来拍摄城镇的风景，t=0时刻，无人机由静止起飞，沿竖直方向做匀加速直线运动，t1=6 s时无人机达到最大速度，此时距地面的高度为54 m，然后匀减速直线上升，t2=15 s时无人机的速度恰好减为0，悬停在空中拍摄取景。求： (1)无人机上升过程中的最大速度； (2)无人机悬停时距地面的高度。 答案　(1)18 m/s　(2)135 m 解析　(1)无人机做匀加速直线运动阶段有 h1=t1， 所以无人机上升过程中的最大速度为 vmax=18 m/s (2)无人机做匀减速直线运动阶段有 h2=(t2-t1)=×9 m=81 m， 所以无人机悬停时距地面的高度为 h=h1+h2=54 m+81 m=135 m。 二、位移差公式 1.如图所示，一物体做加速度为a的匀变速直线运动，取任意两个连续相等的时间T，它们的位移分别为x1、x2，通过A、B、C时的速度分别为v0、v1、v2，试推导x2-x1=aT2。 答案　v1=v0+aT x1=v0T+aT2 x2=v1T+aT2 x2与x1的位移差： Δx=x2-x1=(v1-v0)T=aT2 2.对于加速度大小恒定的匀变速直线运动，若已知连续相等的时间内通过的位移分别为x1、x2、x3、x4，则x4-x1=　　　　。   答案　由x2-x1=aT2 x3-x2=aT2 x4-x3=aT2 得x4-x1=3aT2。 位移差公式：Δx=aT2 1.内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差恒定，即Δx=aT2。 2.推论：对于不连续的相等时间内的位移差，xm-xn=(m-n)aT2，其中m>n。 3.如果Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。 例2　一小球沿固定斜面匀加速下滑，依次经过A、B、C三点。已知A、B两点间的距离为6 m，B、C两点间的距离为10 m，小球经过AB和BC两段位移所用的时间均为2 s，则小球经过B点时的速度大小和加速度大小分别为(　　) A.4 m/s，1 m/s2 B.3 m/s，1 m/s2 C.2 m/s，2 m/s2 D.1 m/s，2 m/s2 答案　A 解析　根据匀变速直线运动中间时刻速度等于该段过程的平均速度，则小球经过B点时的速度大小vB== m/s=4 m/s，根据匀变速直线运动推论Δx=aT2，可得加速度大小为a== m/s2=1 m/s2。故选A。 例3　某自动化设备从固定斜面的顶端O点每隔0.1 s静止释放一个同样的小球，释放后小球做匀加速直线运动。在连续释放多个小球后，某时刻设备监测人员发现斜面上A、B、C三点刚好各有一个小球，而OA之间因为有障碍物遮挡导致看不到小球(障碍物不影响小球在斜面上的运动)。已知xAB=15 cm，xBC=20 cm。求： (1)小球的加速度大小； (2)小球在C点的速度大小； (3)该时刻斜面上A点上方还有几个小球？ 答案　(1)5 m/s2　(2)2.25 m/s　(3)2 解析　(1)由Δx=aT2 小球的加速度为a== m/s2=5 m/s2 (2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知 vB== m/s=1.75 m/s 小球在C点的速度为vC=vB+aT 代入数据得vC=2.25 m/s (3)由vA=vB-aT 得小球在A点的速度为vA=1.25 m/s 则小球从静止释放到运动到A点所需时间 tA==0.25 s 由于=2.5 故A点上方还有2个球。 三、逐差法求加速度 一物体做匀加速直线运动，已知连续相等时间T内的六段位移如图所示。某同学计算物体加速度时，选取纸带上两段位移x1、x2，利用公式x2-x1=aT2计算物体的加速度，你认为这种方法有何不妥？ 答案　偶然误差较大，没有充分利用实验数据。 纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，将它们分为三组，由xm-xn=(m-n)aT2得，a1=，a2=， a3=，a==。 此式把各段位移都利用上，有效地减小了仅有两次位移测量所带来的偶然误差，这种方法称为逐差法。 技巧：此种情况也可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移s1=x1+x2+x3，s2=x4+x5+x6，时间间隔Δt=3T，即a==。 如图所示，类比写出已知连续4个相同时间T内的位移，利用逐差法求加速度公式。 答案　a=。 例4　(2025·杭州市高一校考改编)如图一条点迹清晰的纸带，已知打点计时器每隔0.02 s打一个点，纸带左端与小车连接，该同学选择A、B、C、D、E、F六个计数点，对计数点进行测量的结果记录在图中。 (1)根据实验数据可以判断小车做　　　　　直线运动。(选填“匀加速”或“匀减速”)  (2)打下C点时小车的瞬时速度大小为　　　　　 m/s。(结果保留一位小数)  (3)小车运动的加速度大小为　　　　　　　　　 m/s2。(结果保留一位小数)  答案　(1)匀加速　(2)0.7　(3)5.0 解析　(1)由纸带上数据可知 xAB=1.60 cm， xBC=4.00 cm-1.60 cm=2.40 cm， xCD=7.20 cm-4.00 cm=3.20 cm， xDE=11.20 cm-7.20 cm=4.00 cm 则有xBC-xAB=xCD-xBC=xDE-xCD=0.80 cm 可知小车在连续相等时间内的位移差相等，且相等时间内通过的位移逐渐增大，所以小车做匀加速直线运动。 (2)根据匀变速直线运动中间时刻速度等于该段过程的平均速度，可知打下C点时小车的瞬时速度大小为 vC== m/s=0.7 m/s (3)相邻计数点时间间隔为 T=2×0.02 s=0.04 s 根据逐差法可得小车运动的加速度大小为 a== m/s2=5.0 m/s2。 专题强化练 [分值：60分] 　[1~5题，每题4分] 1.某汽车(视为质点)在平直的公路上做初速度为零的匀加速直线运动，运动一段时间后到达A点，从A点开始计时，汽车从A点运动到B点和从B点运动到C点的时间均为2 s，已知A、B两点间的距离和B、C两点间的距离分别是20 m、30 m，汽车在B点的速度大小为(　　) A.15 m/s B.12.5 m/s C.8 m/s D.4 m/s 答案　B 解析　根据某段时间中点的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，可得汽车在B点的速度大小为vB== m/s=12.5 m/s，故B正确。 2.利用打点计时器测定物体做匀变速直线运动的加速度时，在纸带上所打的一系列点，如图所示，各相邻的计数点的距离分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ…，各相邻的计数点的时间间隔为T，则下面各关系式中不正确的是(　　) A.xⅡ-xⅠ=aT2 B.xⅢ-xⅠ=2aT2 C.xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ D.xⅢ-xⅡ= 答案　D 解析　对于匀变速直线运动，连续相等时间内的位移之差是恒量，即Δx=aT2，对应于该题有xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=aT2，而xⅢ-xⅠ=xⅢ-xⅡ+xⅡ-xⅠ=2aT2，A、B、C正确，D错误。 3.一滑雪运动员不借助滑雪杖，以10 m/s的速度由坡底冲上一足够长的斜坡，当他返回坡底时测得速度大小为8 m/s。已知上坡和下坡两个阶段运动员均沿同一直线做匀变速直线运动，则运动员上坡和下坡所用的时间之比为(　　) A.5∶4 B.4∶5 C.2∶3 D.3∶2 答案　B 解析　设运动员上坡的路程为x，上坡时所用时间为t1，下坡时所用时间为t2，则有x=(0+v0)t1=5t1 (m)，x=(0+v)t2=4t2 (m)，联立解得t1∶t2=4∶5，故选B。 4.(2024·宁波市高一期中)校运会时，高空无人机在完成拍摄任务后返回地面，某一段过程可视为做匀加速直线运动。该过程中，前0.5 s内的位移为3.5 m，前1 s内的位移为8 m，则其加速度的大小为(　　) A.3.5 m/s2 B.4 m/s2 C.7 m/s2 D.条件不足，无法求解 答案　B 解析　根据题意可知0.5~1 s内的位移为x2=8 m-3.5 m=4.5 m，根据匀变速直线运动规律Δx=aT2可知加速度为a= m/s2=4 m/s2。故选B。 5.(2025·嘉兴市高一校考)一辆长为1.2 m的电动小车沿水平面向右做匀变速直线运动，监测系统每隔2 s拍摄一次，得到一张频闪照片，用刻度尺测量照片上的长度，如图所示，则小车的加速度大小约为(　　) A.0.01 m/s2 B.0.5 m/s2 C.1.0 m/s2 D.1.75 m/s2 答案　C 解析　小车在照片上前2 s运动的长度为3.0 cm，后2 s在照片上运动的长度为7.0 cm，根据小车在照片上的长度为1.2 cm可得前后2 s实际运动的距离分别为x1=×3.0 cm=3 m，x2=×7.0 cm=7 m，根据匀变速直线运动推论有a== m/s2=1.0 m/s2。 6.(8分)某实验小组同学在做“测定匀变速直线运动加速度”的实验，装置如图甲所示： (1)(2分)图甲中的电火花计时器使用的交流电源电压为　　　　 V；  (2)(6分)交流电源的频率为50赫兹，实验中得到的纸带如图乙所示，图中的点为计数点，在每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出，则打下A点到E点的时间间隔为　　　　 s；打下B点时，小车的瞬时速度为　　　　 m/s；小车运动的加速度为　　　　 m/s2(后两空结果保留两位有效数字)。  答案　(1)220　(2)0.4　0.16　0.81 解析　(1)题图甲中的电火花计时器接电压为220 V的交流电源； (2)每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出，则打下A点到E点的时间间隔为t=4×5×=0.4 s 打下B点时，小车的瞬时速度为vB==×10-2 m/s≈0.16 m/s 小车运动的加速度为a==×10-2 m/s2≈0.81 m/s2 7.(10分)(2025·浙江省严州中学高一月考)高速公路上避险车道是为了让刹车失灵的车辆冲上做匀减速直线运动而减少重大交通事故。如图所示，避险车道的斜坡长200 m。某大货车刹车失灵冲上该避险车道，经过10 s沿斜坡向上运动150 m而停止运动，求： (1)(3分)该车沿斜坡运动的平均速度大小； (2)(4分)该车冲上避险车道时的初速度大小； (3)(3分)该车冲上斜坡过程的加速度大小。 答案　(1)15 m/s　(2)30 m/s　(3)3 m/s2 解析　(1)根据平均速度公式，可得该车沿斜坡运动的平均速度大小为 == m/s=15 m/s (2)根据平均速度推论 = 可知该车冲上避险车道时的初速度大小为v0=2=30 m/s (3)根据加速度的定义式，可知该车冲上斜坡过程的加速度为 a==-3 m/s2 加速度的大小为3 m/s2。 　[8~10题，每题5分] 8.(2025·杭州市高一校考)“科技冬奥”是北京冬奥会馆的一大亮点，上百个机器人提供消杀、送餐、导引、清洁等服务。已知一机器人以初速度v匀减速至目的地送餐，运动时间为t，则(　　) A.该机器人在位移中点的速度为v B.该机器人在中间时刻的速度为v C.该机器人在这段时间内前进的距离为vt D.该机器人在前一半时间内和后一半时间内前进的位移之比为1∶1 答案　C 解析　该机器人在位移中点的速度为=v，A错误；该机器人在中间时刻的速度为==，B错误；该机器人在这段时间内前进的距离为x=t=vt，C正确；若该机器人在匀速运动时，前一半时间内和后一半时间内前进的位移之比为1∶1，由于机器人并不是匀速运动，所以比值不是1∶1，D错误。 9.(2025·杭州市高一期中)一辆小车(可视为质点)在水平地面上做匀减速直线运动，第3 s内的位移大小是5 m，第4 s内的位移大小是3 m，下列说法正确的是(　　) A.小车在2 s末到4 s末的平均速度大小为8 m/s B.小车的总位移大小为25 m C.小车的加速度大小为1 m/s2 D.小车的初速度大小为8 m/s 答案　B 解析　2 s末至4 s末这两秒内小车的平均速度是== m/s=4 m/s，故A错误；小车的加速度的大小a=||=|| m/s2=2 m/s2，故C错误；第3 s末小车的瞬时速度等于第3 s和第4 s这两秒内的平均速度，即4 m/s，根据速度时间关系可得v3=v0-at3，解得初速度v0=10 m/s，故D错误；小车的总位移大小x=，代入数据可得x=25 m，故B正确。 10.(2025·温州市高一期中)如图所示，假设“运-20”起飞前沿地面做匀加速直线运动，加速过程中连续经过两段均为120 m的测试距离，用时分别为2 s和1 s，则“运-20”的加速度大小是(　　) A.35 m/s2 B.40 m/s2 C.45 m/s2 D.50 m/s2 答案　B 解析　第一段的平均速度v1== m/s=60 m/s，第二段的平均速度v2== m/s=120 m/s，每段中间时刻的速度等于该段的平均速度，则a== m/s2=40 m/s2，故选B。 11.(7分)(2025·杭州市高一校考)在做“研究匀变速直线运动”的实验时，某同学得到一条用打点计时器打下的纸带如图所示，并在其上取了A、B、C、D、E、F、G等7个计数点，每相邻两个计数点之间还有4个点(图中没有画出)，打点计时器接周期为T=0.02 s的交流电源，经过测量得：d1=3.62 cm，d2=8.00 cm，d3=13.20 cm，d4=19.19 cm，d5=25.99 cm，d6=33.61 cm。(结果均保留两位有效数字) (1)(2分)物体在B点的瞬时速度大小vB=　　　　m/s；  (2)(3分)物体的加速度大小a=　　　　m/s2；  (3)(2分)如果当时电源中交变电流的频率是f=51 Hz(f=)，而做实验的同学并不知道，那么加速度的测量值与实际值相比　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。  答案　(1)0.40　(2)0.80　(3)偏小 解析　(1)每相邻两个计数点之间还有4个点，打点计时器接周期为T=0.02 s的交流电源，则相邻两个计数点间的时间间隔为 T'=5T=0.10 s，打点计时器打B点时，物体的速度vB== m/s=0.40 m/s (2)物体的加速度为 a=== m/s2≈0.80 m/s2 (3)如果当时电源中交变电流的频率是f=51 Hz，而做实验的同学并不知道，那么实际打点周期小于测量的打点周期；据Δx=aT2得，真实的加速度大于测量的加速度，即加速度的测量值与实际值相比偏小。 学科网（北京）股份有限公司 $