第二章 3 匀变速直线运动的位移与时间的关系（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一物理必修第一册学习笔记（人教版 提高A版）

3　匀变速直线运动的位移与时间的关系

[学习目标]　1.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系，并会用公式x=v0t+at2解决匀变速直线运动的问题(重点)。2.知道v-t图像与时间t轴围成的面积表示物体在这段时间内的位移。3.会推导匀变速直线运动的速度与位移的关系式，并会应用公式v2-=2ax解题(难点)。

一、匀变速直线运动的位移

1.物体做匀速直线运动，其v-t图像与t轴围成的矩形面积有什么意义？

答案　做匀速直线运动的物体在时间t内的位移大小对应着v-t图像与t轴围成的矩形面积，即v-t图像与t轴围成的矩形面积表示物体的位移大小。

2.如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v-t图像。

(1)如图甲所示，把物体的运动分成5段，每一段时间内，看成匀速直线运动，试着在图中表示出这5小段的位移之和。

(2)如图乙所示，如果把过程分割为更多的小段，和甲图相比，哪种情形更接近整个过程的位移？

(3)依次类推，如果把过程分割成无数个小段，能否用梯形的面积代表物体在这段时间的位移？

(4)梯形面积为多少？试结合v=v0+at推导出位移x与时间t的关系。

答案　(1)位移为图中矩形面积之和，如图所示。

(2)图乙更接近整个过程中的位移。

(3)可以。

(4)S=t=t=v0t+at2，则x=v0t+at2。

1.匀变速直线运动位移与时间的关系式：x=v0t+at2；

当v0=0时，x=at2(由静止开始的匀加速直线运动)，此时x∝t2。

2.适用范围：仅适用于匀变速直线运动。

如果物体做匀减速直线运动，使用x=v0t+at2分析问题时要注意什么？

答案　若以初速度方向为正方向，则加速度代入数据时取负值。

公式的矢量性

公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向。一般选v0的方向为正方向。当物体做匀加速直线运动时，a取正值。当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正、负表示其方向。

例1　一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0=5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求：

(1)物体在前3 s内的位移大小；

(2)物体在第3 s内的位移大小。

答案　(1)12.75 m　(2)3.75 m

解析　(1)取初速度方向为正方向

v0=5 m/s，a=-0.5 m/s2

前3 s内物体的位移为x3=v0t3+a=5×3 m+×(-0.5)×32 m=12.75 m。

(2)同理，前2 s内物体的位移

x2=v0t2+a=5×2 m+×(-0.5)×22 m=9 m

因此第3 s内物体的位移

x=x3-x2=12.75 m-9 m=3.75 m。

应用位移与时间的关系式解题的步骤：

(1)规定正方向(一般以初速度的方向为正方向)。

(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示。

(3)根据位移与时间的关系式或其变形公式列式、求解。

(4)根据计算结果说明所求量的大小和方向。

例2　(多选)(2024·株洲市高一期中)一个物体从静止开始做直线运动，其v-t图像如图所示，下列选项正确的是(　　)

A.在0~6 s内，物体离出发点最远为40 m

B.在0~6 s内，物体经过的路程为40 m

C.0~2 s内的速度方向与4~5 s内的速度方向相反

D.0~2 s内的加速度方向与4~5 s内的加速度方向相反

答案　BD

解析　在0~5 s内，物体沿正向运动，5~6 s沿负向运动，故5 s末离出发点最远，根据v-t图像与t轴围成的面积表示位移，可得最远距离为smax=×(2+5)×10 m=35 m，故A错误；在0~6 s内，物体经过的路程为s=smax+×10×1 m=40 m，故B正确；

0~2 s内的速度方向与4~5 s内的速度方向相同，均沿正方向，故C错误；0~2 s内物体做沿正方向做加速运动，加速度方向沿正方向，4~5 s内物体沿正方向做减速运动，加速度方向沿负方向，0~2 s内的加速度方向与4~5 s内的加速度方向相反，故D正确。

1.对于任意形状的v-t图像，其与时间轴围成的“面积”表示物体的位移。

2.“面积”在时间轴上方表示位移为正，“面积”在时间轴下方表示位移为负。

二、匀变速直线运动速度与位移的关系

试由x=v0t+at2和v=v0+at，推导速度与位移的关系式。