河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（8）-函数的应用

**基本信息** 聚焦函数应用核心，整合零点问题与实际建模，通过分层题型培养数学建模与逻辑推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |零点问题|10题（单选1-2、6-8等）|判断零点个数、区间，结合函数图像|从零点概念到存在性定理，再到复合函数零点分析| |实际应用|5题（单选3-5、解答15-16）|利润、折扣、火箭燃料等建模|建立函数关系解决实际问题，体现数学应用意识| |数值方法|3题（单选7、填空14、解答18）|二分法、牛顿法求近似解|从理论到数值计算，培养数学思维严谨性| |综合应用|2题（解答17、19）|奇偶性与零点、图像与不等式|综合函数性质，提升数学语言表达能力|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（8） 范围：函数的应用 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．函数在上（   ） A．有三个零点 B．有两个零点 C．有一个零点 D．没有零点 2．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 3．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的燃料占比（指火箭燃料质量与火箭总质量的比值）与火箭的最大速度满足关系式为正常数.已知火箭的燃料占比为时，火箭的最大速度为，若使火箭的最大速度为，则此时火箭的燃料占比为（    ） A． B． C． D． 4．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 5．某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 6．下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 7．用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： -2 -1 0 1 2 3 16.1 -0.01 -4.92 -5.5 2.4 -3.2 则函数一定有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，，的零点依次为a，b，c，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数恰有两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解集为 C．不等式的解集为 D．的大小关系是 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知为函数的一个零点，则_________． 13．已知函数则的零点之和为_____________． 14．若函数的一个正数零点附近的函数值在用二分法逐次计算时，可参考数据如下表:那么方程的一个近似解精确到为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 16．(本小题15分）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 17．(本小题15分）已知函数（且）为奇函数. (1)求实数的值并解不等式； (2)若函数在区间有两个不同的零点，求实数的取值范围. 18．(本小题17分）用牛顿法求方程在区间内的近似解，要求： (1)验证该区间存在唯一实根： (2)取初始值，完成两次迭代计算； (3)估算第2次迭代结果的绝对误差(保留4位小数). 19．(本小题17分）已知函数， (1)画出函数的示意图； (2)若函数，求使不等式成立的的取值范围； (3)讨论函数（）的零点的个数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C A B B A ACD ACD 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】由于，令得，1， 因此在上仅有一个零点． 2．D 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 3．B 【详解】由题意可知，即， 当火箭的最大速度为时，，故此时火箭的燃料占比为. 4．C 【详解】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得，故函数解析式为，所以当时，．故选：C. 5．A 【详解】设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元， 当时，； 当时，，优惠金额； 当时，， 优惠金额为，而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此，解得，所以王先生购物实际付款（元）. 故选：A 6．B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. 7．B 【详解】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数，因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为，所以， 所以函数的零点落在区间内，即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. 8．A 【详解】 解法1：令得．由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知． 解法2：当时，．令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除B、D选项． 当时，，令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A． 9．ACD 【详解】由对应值表可得： ，，因为，所以函数在上存在零点，故A正确； ，，因为，所以函数在上存在零点，故C正确； ，，因为，所以函数在上存在零点，故D正确. 故选：ACD. 10．ACD 【详解】由，， ，的零点a，b，分别为、图象交点的横坐标，通过上面函数图象可得：， 而，即，所以，，正确，错误； 故选：ACD 11．ABD 【详解】对于A：因为是函数的两个零点，所以，故A正确； 对于B：方程或，所以方程的解集为，故B正确； 对于C：因为函数恰有两个零点，所以， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于D：先画的图像，把向下平移一个单位得的图像如下： 由图可知，故D正确.故选：ABD. 12． 【详解】由已知可得，所以. 13．1 【详解】当时，令，得；当时，令，得, 所以的零点之和为． 14． 【详解】显然是定义域在R上的连续函数，根据函数零点(或方程的解)的二分法近似求法原理，第1次操作：，有零点的区间长度为； 第2次操作：， 有零点的区间长度为； 第3次操作：， 有零点的区间长度为； 第4次操作：， ，有零点的区间长度为， 此时区间的长度小于精确度；则方程满足要求的近似解. 故答案为： 15．【详解】（1）投入成本为，出厂价为，年销售量为， 则， 整理得． （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有， 即，解得， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 16．【详解】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元.由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 17．【详解】（1）由是定义域为的奇函数，得，即, ，，所以，经检验满足题意； 由，可得，所以，即，所以不等式的解集为； （2）令，由得， ， 等价于， 即，， 令， ，则，代入得， 函数在单调递减，在单调递增，最小值为，当 时，， 要使方程有两个不同解，实数的取值范围为. 18．【详解】（1）验证区间内存在唯一实根：因为函数在区间上连续， 且，， 由介值定理可知，在区间内至少存在一个实根. 唯一性验证：求导得，在区间内，， 故函数在区间[2，3]上单调递增， 因此函数在该区间内只有一个实根. （2）第一次迭代： 第二次迭代：计算， ， 则 （3）估算第2次迭代结果的绝对误差 计算，可知近似解精度已达量级. 因此，第2次迭代结果的绝对误差约为 (保留4位小数). 19．【详解】（1）由在上单调递减，值域为， 由在上单调递减，在上单调递增， 在上值域为，在上值域为，且时， 所以在上单调递增且值域为，在上单调递减且值域为，在上单调递增且值域为， 综上，的大致图象如下： （2）由，则， 所以或， 所以不等式成立的的取值范围为； （3）令， 结合（1）函数图象及（2）结论， 当时，的零点个数为0， 当时，的零点个数为1， 当或时，的零点个数为2， 当或2时，的零点个数为3， 当时，的零点个数为4. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $