3.2 代数式的值-【重难点手册】2026-2027学年七年级上册数学（人教版·新教材）

重难点手册七年级数学上册®O 方法二如图2所示，把一个面积为1的正 方形分成两个面积为2的长方形，接着把其 中一个面积为，的长方形等分成两个面积为 }的正方形，再把其中一个面积为的正方形 等分成两个面积为g的长方形，…，由图形 示的规体++日+品十品十 163 6464 4 蓝 32 图2 [变式5]552.提示：13=12,13+23=(1+ 2)2=32,13+23+33=(1+2+3)2=62,13十 23十33十43=(1+2+3十4)2=102.根据数 据可分析出，规律为从1开始，连续n个数 的立方和=(1+2+…十n)2,所以13+23+ 33+…+103=(1+2+…+10)2=552. [变式6]如图所示，将a,b,一a,一b四个数 在数轴上表示出来。 -a0 a -6 '.b<-a<a<-b. [变式7刀D提示：c=10000+?026, 2025,d= 10000 2025202>1>2026 、2025 2026·2025 .∴.c> d.又，a与c的分母相同，a的分子大于c 的分子，∴.a>c,同理，d>b,∴.a>c> d>b.故选D. 130 第三章代数式 3.1列代数式表示数量关系 [变式1门(-1)+1 (2n-1)(2n+1)1 [变式2]D[变式3]2mx". 3.2代数式的值 [变式1]B提示：由已知得4y2-2y+5= 7,.4y2-2y=2,∴.2y2-y=1, .2y2-y+1=2. [变式2]23.提示：输入x=5时，x>3,故 m=52-5十3=23，∴.输出的结果为23. 第三单元复习归纳 [变式1门当x≤30时，上网费用=60x× 3 0.22十4.8x=9.2x(元)；当x>30时，上网费 用=0X×a2+48X0+0,0× 3 0.11十3(x-30)=5.2x十120（元）. [变式2]-|a-1(答案不唯一). [变式3]A提示：2+ 3b,3(a-b)3a 2 2 [变式4](1)500÷20=25(cm),500÷25= 20(cm),500÷50=10(cm),500÷75≈ 6.67(cm). 水的高度分别是25cm,20cm,10cm,6.67cm. (2S-2,5与成反比例关系 [变式5]D提示：.a-2b2=3,.-a+ 2b2=-3,∴.-2a+4b2=-6,∴.2030 2a+4b2=2030-6=2024. [变式6]C提示：由已知得a×13十b×1+ 7=4,即a+b+7=4,所以a+b=-3,所以 当x=-1时，a×(-1)3+b×(一1)+7= a-b+7=3+7=10.重难点手册 七年级数学上册®① 3.2 代数式的值 重点和难点 课标要求 重点：了解求代数式值的意义，并掌握当字母取具体数 1.了解代数式求值的意义，会求代数式的值. 时，能准确地求出代数式的值 2.熟练掌握求代数式的值的一般步骤， 难点：理解用字母表示数与求代数式的值的关系， 01必备知识 梳理 知识点1 代数式的值 (3)代数式中字母的取值必须确保做到以下两 般地，用数值代替代数式中的字母，按 点：①使代数式有意义；②使它所表示的实际数量 照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作 有意义 代数式的值.当字母取不同的数值时，代数式 知识点2 求代数式的值的一般步骤 的值一般也不同， 求代数式的值的一般步骤如下： 例1(2025·武汉十一崇仁初级中学月 第一步“代入”，用具体的数值代替代数式 考)当m=一2，一1,0,1,2时，分别求出代数式 中的字母，其他的运算符号和原来的数都 3m+5与一3(m+5)的值，并回答下列问题： 不变； (1)随着m值的逐渐变化，两个代数式的 第二步“计算”，按照代数式指明的运算顺 值如何变化？ 序，计算出结果 (2)当代数式一3m+5的值为23时，代数 式-3(m十5)的值是多少？ 例2根据下列x,y的值，分别求代数式 解析当m=-2,-1,0,1,2时，-3m十5的值 x2+2xy十y2的值 分别是11,8,5,2，-1； (1)x=2,y=-3; (2)x=2y=-4. 当m=-2,-1,0,1,2时，-3(m+5)的值分别 是-9，-12，-15，-18，-21. 解析(1)当x=2,y=-3时，x2十2xy十y2 (1)随着m值的逐渐增大，代数式-3m十5与 22+2×2×(-3)+(-3)2=1 -3(m十5)的值逐渐减小. (2②)当x=豆y=-4时x2+2xy+y2-(})》月 (2)当-3m+5的值为23时，m=一6，将m= -6代入代数式-3(m+5)可得-3×(-6+5)=3， +2X 2×(-4)+(-4)2=4 1 故此时代数式一3(m+5)的值是3. 易错点代入求值时不注意符号和括号 明概念〕山 例已知x= 1 0y=3,求代数式-4xy十 ()代数式表述的是问题的一般规律，代数式的 值是这个规律下的特殊情形，故是两个不同的概念 2y的值. (2)一个代数式的值是由代数式中字母的取值 错解 当x=一 2y=3时，-4xy十2y= 决定的，所以代数式的值一般不是一个固定的数， 它会随着代数式中字母取值的变化而变化. 4× 2X3+2X3=9. 第白章 代数式 错因导致上述错误的原因是所给字母的值 (2)代数式中原来省略的乘号，代入数字后出 是负分数，代入求值时没有加括号 现数字与数字相乘，必须添上乘号“×” 正解 当x= 2y=3时，-4x2y+2y (3)代数式的值是由所含有的字母取值决定 的，所以在代入前必须写出“当…时”，表示代数 4×(2》 ×3+2×3=3. 式的值是在这种情况下求得的. 提个醒 (4)遇到分数或负数的平方（立方或幂），代入 (1)用数值代替字母，原式中的运算符号、顺序 时要将这个分数或负数用括号括起来，这样可以使 都不能改变。 运算变得更清楚， 02关键能力 题型1运用代入法求代数式的值 例5求解下列问题： (1)若a2+a=6,则代数式2a2+2a+ 代入法分直接代入法和间接代入法.直接 2026的值是 代入法是指直接代入求值.间接代入法是指间 (2)已知代数式x2一3x+2=一1，则代数 接代入求值，就是根据已知条件，先求出相关 式2026+6x-2x2的值是 字母的值，再代人求值 解析(1)将a2十a-6代入2a2+2a+2026,得 例3(2026·华中师大一附中检测)已知 2a2+2a+2026=2(a2+a)+2026=2×6+2026= a=3,b=-5,c=-2,求代数式(a十b)2 2038. 女的值 (2).x2-3x+2=-1,∴.x2-3x=-3, .3x-x2=3, 解析当a=3,b=-5,c=-2时，代数式(a十 .2026+6.x-2x2=2026+2(3x-x2)=2026 62-子c=(3-5)2-}×(-2)=6. +2×3=2032. 案(1)2038.(2)2032. 例4已知a=2,b=3,且ab<0,a> ●变式1如果代数式4y2-2y+5的值为 b,求ab-4a2+2的值 7,那么代数式2y2一y+1的值为( 解析：ab<0,a>b,.a>0,b<0. A.-2 B.2 C.3 D.4 |a|=2,lb|=3, ∴.a=2,b=-3. 题型3 与程序有关的求代数式的值 ∴.当a=2,b=-3时，代数式ab-4a2+2=2× 例6(2026·武汉武钢实验学校检测)程 (-3)-4X22+2=-20. 序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九 题型2运用整体思想求代数式的值 章算术》中的“更相减损术”.根据如图所示的 若代数式的求值问题中没有直接给出字 计算程序，当输入x=2时，输出结果是多少？ 母的值，或者不能求出单个字母的值，而是已 结果不为正数 知一个代数式的值求另外一个代数式的值，此 输人 计算x2-7 输出结果 结果为正数 时可以借助整体代入法求代数式的值！ 解析输入x=2时，x2一7=4一7 -3<0,故 55 重难点手册 七年级数学上册®① 需重新输入； 炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价 输入x=一3时，x2一7=9-7=2>0，将结果输出。 200元.“双十一”期间商场决定开展促销活动， 故输出结果为2. 活动期间向客户提供两种优惠方案 ◆变式2如图，程序框图的算法思路源于 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90% 术”，执行该程序框图，如果输人x的值为5，那 付款 么输出m的值为 现某客户要到该商场购买微波炉2台，电 磁炉x台(x>2). (1)若该客户按方案一购买，需付款 x>3 元，若该客户按方案二购买，需付款 -x+3 元；（以上两空均用含x的代数式表示） (2)当x=5时，通过计算说明此时按哪种 输出m 方案购买较为合算？ 解析(1)若该客户按方案一购买，需付款800× 记方法 2十(x一2)×200=(200x+1200)元，若该客户按方 利用程序转换求值的方法：先确定程序所给的 案二购买，需付款(800×2十200x)X90%=(180x十 运算和运算顺序，再根据运算顺序写出输出的结 1440)元. 果，接着检查输出的结果是否满足条件，若结果满 (2)当x=5时， 足条件就直接输出结果，若结果不满足条件，将结 方案-：200×5十1200=2200（元）， 果重新代入程序继续求值，直到满足条件为止， 方案二：180×5+1440=2340（元）. 因为2200<2340，所以按方案一购买较合算 题型 与实际问题有关的列代数式求值 答案(1)(200x+1200);(180x+1440). 例7某电器商销售一种微波炉和电磁 (2)见解析 03热点考向聚焦 考向/1 求代数式的值 可得代数式的值为13. 答案A 例8(2025·扬州中考)若a2-2b十1= 例10当x=1时，多项式a.x5+bz3+cx 0,则代数式2a2-4b+3的值是 一1的值是5，则当x=一1时，它的值是 解析由a2-2b+1=0,可得a2-2b=一1， ( 然后整体代入，得2a2-4b+3=2(a2-2b)+ A.-7 B.-3 3=2×(-1)+3=1. C.-5 D.7 答案1. 解析：当x=1时，多项式a.x5十bx3十cx-1 例9(2023·无锡中考)当a=2,b=一3 的值是5，∴.a十b十c-1=5,∴.a十b十c=6. 时，代数式(a-b)2+2ab的值为(). 当x=-1时，多项式ax5+bx3+cx-1=-a A.13 B.27 C.-5 D.-7 b-c-1=-(a+b+c)-1=-6-1=-7. 解析将a=2,b=-3直接代入(a-b)2+2ab 答案A 56 第章 代数式 考向2 由数字找规律 (2)当a=3,b=2时，S=6-3-2+1=2. 例13团团圆圆家买了一套住房，建筑平 例1门(2023·恩施州中考)观察下列两行 面图（单位：米）如图所示 数，探究第②行数与第①行数的关系： 16 -2,4,-8,16,-32,64,… ① 厨房 0,7,-4,21,-26,71,… ② 客厅 根据你的发现完成填空：第①行数的第10 次卧 主卧 生 个数为 ;取每行数的第2023个数，则 这两个数的和为 (1)用含有a,b的代数式表示主卧的面积 解析观察可得，第①行数的第n个数为（一2）”， 将n=10代入得第10个数为(-2)10=1024. 为 平方米，次卧的面积为 平 第②行数的第n个数为（一2）”十(n十1)，将n= 方米，客厅的面积为 平方米；（以上三 2023代入可得第②行的第2023个数为(-2)223+ 空均直接填写答案) 2024.因为第①行的第2023个数为（一2）223，所以 (2)团团圆圆的爸爸想把主卧、次卧铺上 两个数的和为(-2)2023十(-2)2023+2024=-22024 木地板，其余部分铺瓷砖，已知每平方米木地 +2024. 板的费用为200元，每平方米瓷砖的费用为 答案1024：-224+2024. 100元，当a=5,b=4时，求整个房屋铺完地面 考向3 实际问题中的代数式求值 所需的总费用。 点拨(1)可通过图中已知数据求解.(2)可先分 例12（经典·贵阳中考）如图是一个长为 别求出各部分的费用，再计算总费用， α，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边 解析(1)由图可得，主卧的面积：[5(b十3)]平 长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形 方米. 次卧的面积：b×(16一3一5一2)=6b平方米 客斤的面积：aX(16-5一2)=9a平方米， (2)由题意得铺设主卧的费用为200×5(b十3)= 200×5×(4+3)=7000元 铺设次卧的费用为200×66=200×6×4=4800元， (1)用含字母a,b的代数式表示矩形中空 铺设客厅的费用为100×9a=100×9×5=4500元， 白部分的面积； 铺设厨房的费用为100×7(a一3)=100×7× (2)当a=3,b=2时，求矩形中空白部分 (5-3)=1400元， 的面积 铺设卫生间的费用为100×3b=100×3×4 点遐(1)空白部分的面积=矩形的面积一两个 :1200元 阴影平行四边形的面积十中间重叠平行四边形的面 .∴.7000+4800十4500+1400+1200=18900元. 积.(2)将a=3,b=2代入(1)中所求代数式即可. 答：整个房屋铺完地面所需的总费用为18900元. 解析(1)S=ab-a-b+1. 答案(1)5(b十3)；6b;9a.(2)见解析. 57