2026年暑假预习成果检测（1-3章） 青岛版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦八年级几何与代数综合预习检测，以“倍长中线法”为核心提炼辅助线策略，构建“概念-判定-应用”逻辑链，强化推理与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|选择2/5/10、解答19/20/22|全等判定（SAS/SSS）、尺规作图、倍长中线法|从命题真假判断到三角形稳定性应用，通过中点构造全等实现线段转化| |代数综合|选择7/8/9、填空14/15、解答16/17/18/21|分式性质、分式方程解法（含增根处理）|从分式值变化到方程求解，结合错误案例强化运算严谨性|

2026-2027学年第一学期八年级第二章实数单元试卷 （考试时间：60分钟；满分100分） 一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．下列命题中，是真命题的是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．相等的角是对顶角 D．如果两个角互补，那么它们是邻补角 【答案】B 【详解】解：只有两条平行线被第三条直线所截，内错角相等， 故选项A错误； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线的性质， 故选项B正确； 相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角也相等，但不是对顶角， 故选项C错误； 互补仅要求两个角的和为，邻补角还要求两个角位置相邻（有公共顶点和公共边），两个不相邻的角也可以互补， 故选项D错误． 2．如图，小明将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上，两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴． 3．如图，在的方格纸中，的度数为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，根据方格特点证明，得到，即可得出． 【详解】解：如图， 由方格可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．2026年4月，第十九届寒食清明主题文化活动在山西省介休市顺利举办．本次活动融合非遗展演、民俗体验、全民健身等多元内容，让群众沉浸式感受清明传统文化的独特魅力．活动现场设置了广告展板（如图），以便在户外大风天气中保持展板稳定，其蕴含的数学道理是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【详解】解：活动现场设置了广告展板（如图），以便在户外大风天气中保持展板稳定， 其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 5．如图，已知，添加下列条件仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加条件，结合，，可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，，可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合，，可利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，，不可利用证明，故D符合题意； 6．如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可解决问题． 【详解】解：由作图可知，，，又， ∴， ∴，即， 故选项A，B，D正确， ∵以点O为圆心，适当长为半径画弧时的半径和以点C为圆心，大于的长为半径画弧时的半径不一定相等， ∴不一定成立，故选项C错误，符合题意． 7．把分式中、的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的9倍 D．缩小为原来的 【答案】D 【分析】将x，y扩大后的结果代入原分式，化简后和原分式比较，即可得到分式值的变化． 【详解】解：∵原分式为， ∴将，都扩大为原来的3倍后，新的分子为，新的分母为 ∴新分式为，即新分式的值是原分式值的， ∴分式的值缩小为原来的． 8．要使分式有意义，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件：分式分母不为零，列出不等式求解，即可得到结果． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 9．若关于的方程有增根，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分式方程的增根是使原方程分母为0的根，先确定可能的增根，再将分式方程化为整式方程，将增根代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：∵ 原方程最简公分母为 ∴ 原方程有增根，则增根满足 ， 得 或 ， 方程两边同乘 去分母得： 整理得： 将 代入整式方程得：，解得 将 代入整式方程得：，解得 ∴ 的值为或． 10．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．用反证法证明“如果，那么”时，第一步应假设______． 【答案】 【分析】本题考查反证法的基本步骤，反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，找出原结论的否定即可得到结果． 【详解】解：反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，本题原命题的结论为， 的否定为 因此第一步应假设． 12．如图，已知平分，连接、，若要判定，则需要添加的条件是：________．（只写一个） 【答案】（或或，答案不唯一） 【分析】根据题意，可以选择判定，也可以选择、判定，据此写出一个条件即可． 【详解】解：是的角平分线， ， 又， 当添加或或时，，分别属于、、的判定条件，答案不唯一，选择一种即可． 13．如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用判定，从而得出对应边相等． 【详解】解：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 14．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】将已知等式拆分变形，整理后即可计算得到的值． 【详解】解：， ， 即， 移项得， 等号两边都除以2得． 故答案为． 15．一组代数式，，，，满足下面关系：，，，以此类推，若，则为_________ 【答案】 【分析】先根据已知递推关系计算前几项代数式的值，观察得到这组代数式的循环周期，再计算2025除以周期的结果，根据循环规律得到的值． 【详解】解：已知，根据题意依次计算得： ， ， ， 因此可得这组代数式的循环周期为3． ，即2025能被3整除， ． 三．解答题(本大题有7小题，共55分) 16．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 17．先化简代数式，再选取一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式（答案不唯一，不能取） 【详解】解：原式 ， 要使原代数式有意义，则，，， 取，代入得原式． 18．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 19．如图，在中，点在上． (1)过点向的右侧作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)取中点，连接并延长，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)在（1）（2）的条件下，与全等吗？说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)全等，理由详见解析 【分析】本题考查尺规作图中的作一个角等于已知角和作已知线段的垂直平分线以及全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的规范和步骤是解题关键． （1）按照尺规作图的要求，在点C右侧作即可； （2）按照尺规作图的要求，先作出线段的垂直平分线，其与的交点即为点O，再连接并延长即可； （3）在（1）（2）的基础上，用“AAS”判定全等即可． 【详解】（1）如图所示， （2）如图所示， （3）结论：， 证明：由（1）可知，， ∴，， 由（2）可知，点O是中点， ∴， 在和中， ∴． 20．如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可得证； （2）根据三角形外角的定义及性质得，再根据全等三角形的性质得，最后根据角的和差可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的定义及性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21．以下是某同学解方程的过程． 解：方程两边同乘以________， 得① 去括号，得② 解得③ 检验：当时，…④ 所以，原分式方程的解为⋯⑤ (1)该同学的解法从第________步开始出现错误；（填序号） (2)第①步的横线上，应填写的最简公分母是________； (3)写出原分式方程正确的解答过程； 【答案】(1)① (2) (3)正确解答过程： 整理： 两边同乘： 去括号 移项合并， 解得 检验：时， 所以，原分式方程的解为： 【详解】（1）解：该同学的解法从第①步开始出现错误； （2）解：第①步的横线上，应填写的最简公分母是； （3）略 22．【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    (1)的取值范围是________； (2)【灵活运用】如图3，和中，，，，．点为的中点，试说明； (3)【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：延长至点，使，连接． ∵点为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴； (3) ，， 理由如下：如图，在的延长线上截取，连接， 则． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，． 【分析】（1）延长到，使，连接，构造，则可得．在中，根据三角形三边之间关系可得，进而可得． （2）延长至点，使，连接．构造，则可得，，进而可得，．再根据可得，则可得． （3）在的延长线上截取，连接，构造，则可得，，则可得，，进而可得．再根据证明，则可得，，故． 【详解】（1）解：如图2，延长到，使，连接， ∵点为的中点， ∴ 在和中 ∴， ∴ 在中， ∴ 即 ∴ 即； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 第7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期八年级年级暑假预习成果检测（1-3章） （考试时间：60分钟；满分100分） 一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．下列命题中，是真命题的是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．相等的角是对顶角 D．如果两个角互补，那么它们是邻补角 2．如图，小明将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上，两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在的方格纸中，的度数为(     ) A． B． C． D． 4．2026年4月，第十九届寒食清明主题文化活动在山西省介休市顺利举办．本次活动融合非遗展演、民俗体验、全民健身等多元内容，让群众沉浸式感受清明传统文化的独特魅力．活动现场设置了广告展板（如图），以便在户外大风天气中保持展板稳定，其蕴含的数学道理是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 5．如图，已知，添加下列条件仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 7．把分式中、的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的9倍 D．缩小为原来的 8．要使分式有意义，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9．若关于的方程有增根，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 10．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．用反证法证明“如果，那么”时，第一步应假设______． 12．如图，已知平分，连接、，若要判定，则需要添加的条件是：________．（只写一个） 13．如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 14．已知，则的值为________． 15．一组代数式，，，，满足下面关系：，，，以此类推，若，则为_________ 三．解答题(本大题有7小题，共55分) 16．（8分）计算： (1) (2) 17.（6分）先化简代数式，再选取一个你喜欢的数作为的值代入求值． 18.（6分）解分式方程： (1)； (2)． 19.（8分）如图，在中，点在上． (1)过点向的右侧作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)取中点，连接并延长，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)在（1）（2）的条件下，与全等吗？说明理由． 20.（6分）如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．（9分）以下是某同学解方程的过程． 解：方程两边同乘以________， 得① 去括号，得② 解得③ 检验：当时，…④ 所以，原分式方程的解为⋯⑤ (1)该同学的解法从第________步开始出现错误；（填序号） (2)第①步的横线上，应填写的最简公分母是________； (3)写出原分式方程正确的解答过程； 22．（10分）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    (1)的取值范围是________； (2)【灵活运用】如图3，和中，，，，．点为的中点，试说明； (3)【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $