暑假预习：面面角的向量求法、已知面面角求其他量专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦面面角向量求法及逆向应用，通过分层典例构建从基础求角到已知角求量的逻辑链条，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面面角的向量求法|3例+3变式|线面垂直证明、求面面角余弦值（三棱锥/柱/台）|从空间向量工具应用到几何量计算的推理过程| |已知面面角求其他量|3例+3变式|已知面面角求线段长、存在性问题（翻折/动点模型）|从空间向量工具应用到几何量计算的推理过程|

暑假预习：面面角的向量求法、己知面面角求其他量专项训练 暑假预习：面面角的向量求法、已知面面角求其他量专项训练 考点一 面面角的向量求法 考点目录 面面角的向量求法 已知面面角求其他量 例1.(2526高三下北京·阶段检测)把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中AB=AC=3, ∠BAC=∠BCD=90°，∠CBD=30°.将△ABC沿BC翻折至△PBC,使得二面角P-BC-D为直二面角. (1)证明：PB⊥平面PCD: (2)求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值. ABCD-ABC D AB//CD,AB=2,AD=CD=1 例2.(25-26高二下北京平谷期中)如图，在直四棱柱 中， DD=2,∠DAB=60,E,F AB,CC 分别为 的中点 暑假预习：面面角的向量求法、己知面面角求其他量专项训练 D C A 6 D E B EF/ ADDA (1)求证： 平面 DEF ADDA (2)求平面”与平面 夹角的余弦值 暑假预习：面面角的向量求法、己知面面角求其他量专项训练 BC-ABG中，4CL平面 ABBA∠AA,B,=60° 例3.(25-26高二下山东青岛'阶段检测)如图，在三棱台 AC=AB=AA=2AC=2 C AB,C⊥ ABC (1)求证：平面 平面 BBC BCA (2)求平面 与平面 的夹角的余弦值. 变式1.(2026~山东泰安模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC中，PALAB,CB⊥AB,且PA=2,AB=1, ac-.( (1)求PC长： (2)求平面PCB与平面PCA夹角的余弦值. 暑假预习：面面角的向量求法、己知面面角求其他量专项训练 变式2.(25-26高二下·辽宁朝阳期末)已知在三棱柱 8C-48G中，M上平 ABC AA=2AB=4 平面 ∠CAB=∠CBA=45,D,E分别是线段， CC AB 的中点. D B (1)求证：DE/平面ABC: (2)求二面角E-AD-B的余弦值. 变式3.(25-26高三下辽宁抚顺·阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/1CD,CD=2PD=2AB=4AD, 且PD,AD,BD两两垂直，点M满足PM-PC (1)证明：PA/平面MBD: (2)求平面PBC与平面MBD夹角的余弦值. 暑假预习：面面角的向量求法、己知面面角求其他量专项训练 考点二 己知面面角求其他量 例1.(2026吉林长春·一模)如图，底面为锐角三角形的直棱柱 6C-A8G中，C=Bc,M=B,点P在 AB 线段上，且满足 区，点P为B的中点 AD=AAB C B D E 3 (1)当2=4时，证明：DE1/平面ABC: (2)若平面A4C1与平面ABC所成角的余弦值为15· (i)求异面直线 B与CE所成角的大小： 4 (ii)己知直线CD与平面AB,C所成角的正弦值为5，求的值， 例2.(2025辽宁沈阳二模)斜三棱柱ABC-4BC,各棱长为4，∠4AB= =3,D为棱BB上的一点. B A D ® 暑假预习：面面角的向量求法、己知面面角求其他量专项训练 AB⊥AC (1)求证： V21 (2)若平面A4BB上平面ABC,且二面角A-AD-C的余弦值为7，求BD的长. 6 暑假预习：面面角的向量求法、己知面面角求其他量专项训练 例3.(252ǒ高=上山东泰安阶段检测如图0，在菱形BCD中，A-行且B=2.E为AD的中点，将 △1BE沿BE折起使D=V5 得到如图②所示的四棱锥4-BCDE,在四棱锥1-BCDE中，求解下列问愿： E D B 图① 图② (I)求证：BC⊥AB: PA (②)在线段4C上是否存在一点P,使得平面ABE与平面PBD夹角为6？若存在，请求出PC的值：若不存在，请 说明理由 变式1.(25-26高二上山东临沂期中)如图1，在△ABC中，∠C=90°，D,E分别是AC,AB上的两点，且 怎22，A0-EB-2将。ADD前起至△4DE的鼠，7面ADEDTE面AC=如测2所示 EB DC B D D 图1 图2 (1)求证：1/1平面BCD: A-DE-C 60° (2)若二面角 大小为 求D ABC 与平面 所成角： 暑假预习：面面角的向量求法、己知面面角求其他量专项训练 √65 (i)在线段AE上是否存在点N,使得平面CND与平面4BE的夹角的余弦值为13？若存在，求出N的位置： 若不存在，说明理由· 暑假预习：面面角的向量求法、己知面面角求其他量专项训练 ABCD-ABCD 变式2.(25-26高二上山东淄博阶段检测)如图，直四棱柱 的底面ABCD为直角梯形， ZBAD=ZADC AB=AD=1 AA=CD=2 2,点0为楼8上一动点 D C B D B BB CD (I)当点O为棱的中点时，证明：平面CD01平面 557 BO (2)若二面角B-CD-O的余弦值为57，求B0的值， 变式3.(25-26高二上北京顺义期末)四棱锥S-ABCD中，E为棱SC上一点，M,N分别为棱SB,SD的中 点，∠BAC=90°，∠ADC=90°，AD=DC,AB=2,AC=4. M (I)证明：BD1I平面MNE: 1 SE (②)若SA1平面ABCD,SM=2,平面MNE与平面sMC夹角的余弦值为，求sC·暑假预习：面面角的向量求法、已知面面角求其他量专项训练 暑假预习：面面角的向量求法、已知面面角求其他量专项训练 考点目录 面面角的向量求法 已知面面角求其他量 考点一 面面角的向量求法 例1．（25-26高三下·北京·阶段检测）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)因为二面角 为直二面角，即平面 平面 ， 又平面平面，，即 ，且 平面，所以 平面 . 因为平面，所以 . 由题意知，是由 翻折得到，且 ,所以，即， 又因为 ，平面，所以 平面. (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明 平面，从而得到，结合 即可证明结论； （2）取 中点，建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）在中，，所以， 分别取 的中点，连接. 因为 ，所以. 又因为平面平面 ，平面 平面，平面 ， 所以平面 .又因为，所以. 以 为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 在中，，所以 . 则, 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，得， 又因为平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 例2．（25-26高二下·北京平谷·期中）如图，在直四棱柱中，，分别为的中点 (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取中点，连接，证明，再由线面平行的判定得证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由法向量夹角的余弦得二面角的余弦． 【详解】（1）取中点，连接，因为是中点， 所以在四棱柱中，且， 又，而是中点，所以且， 所以且， 所以是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）因为，所以是等边三角形， 以等边的边的高所在直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图，由已知等边的高为， 则，，，，， 所以， 设平面的一个法向量是， 则,令，则， 设平面的一个法向量是， 则,令，则， ， 所以平面与平面夹角的余弦值是． 例3．（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）如图，在三棱台中，平面，，．    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)在三棱台中，， 因为，所以， 因为，所以, 所以， 即， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面； 所以平面平面； (2)． 【分析】（1）证明平面，结合面面垂直的判定即可证明； （2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以，，， 设平面的法向量，平面的法向量为， 则，令，解得：，， 则平面的法向量 由，解得：，令，， 则平面的法向量 设平面与平面的夹角为， 所以 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 变式1．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，且，，，． (1)求长； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）法一：构造矩形，再利用线面垂直的判定定理与性质定理结合勾股定理计算即可得；法二：借助空间向量线性运算及模长与数量积的关系计算即可得； （2）建立适当空间直角坐标系后，分别求出平面与平面的法向量，再用空间 向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）法一：过点作，且，连接，， ，， 在中，， 即， 且，，∴四边形为矩形， ，， 又，，平面，， 平面，又，平面， 平面，， ∴在中，； 法二：， ， ，，，，，， ， ； （2）法一：结合（1）法一，以为原点，，所在直线分别为轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， ，，， 设平面的一个法向量， 则，即， 取，得，，， ，， 设平面的一个法向量， 则，即， 取，得，，， ， 平面与平面夹角的余弦值为. 法二：以为原点，，所在直线为轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则，，， ，，， 又，， 又，， 即，得，则可得， ，，又， 设平面的一个法向量， 则，即， 取，得，， 设平面的一个法向量， 则，即， 取，得， ， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 变式2．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知在三棱柱中，平面，，，，分别是线段，的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接，． 因为在中，是线段的中点，是线段的中点， 所以，． 又在三棱柱中，，是线段的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面， 平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，利用线面平行判定定理证明结论； （2）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，求出对应平面的法向量，再利用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，在四边形中，是的中点，是线段的中点， 所以， 又平面，，平面， 所以，， 又， 所以，， 在中，， 所以是以为底边的等腰直角三角形， 又是线段的中点，所以． 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 由得，令，则； 设平面的法向量为，由得， 令，则，     设二面角为，则， 结合图象可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值是． 变式3．（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，在四棱锥 中，，，且两两垂直，点 M 满足. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接与交于点E，连接，证明，根据线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）证明：连接与交于点E，连接， 因为，， 所以∽，则，即， 又，故所以， 又平面，平面，所以平面. （2）以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 又，所以， 所以， 则 ，， 由已知得 故 ， 由已知得， 设平面的法向量为，则 ， 即 ， 取，则故， 设平面的法向量为 ， 则 ，故， 取 则， 可得， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 考点二 已知面面角求其他量 例1．（2026·吉林长春·一模）如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点. (1)当时，证明：平面； (2)若平面与平面所成角的余弦值为. （ⅰ）求异面直线与所成角的大小； （ⅱ）已知直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1) 在直棱柱中，令，则是的中点， 由，得是中点，而点为的中点，则， 即，而平面，平面， 所以平面. (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）根据给定条件证明，利用线面平行判定定理证明结论. （2）（ⅰ）分别取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角、线线角的向量法求解；（ⅱ）利用线面角的向量法列式求解. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）分别取的中点，则，又平面， 所以平面，由，得，则直线两两垂直， 以点为原点，向量的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，    令，则， ，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则，令，得， ，令，得， 由平面与平面所成角的余弦值为， 得，解得或， 由是锐角三角形，得，即，则，即， 又，则， 而，因此， 所以异面直线与所成的角为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，则， ，而平面的法向量， 因此，而， 所以. 例2．（2025·辽宁沈阳·二模）斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点． (1)求证：； (2)若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长． 【答案】(1) 取AB中点O，在中，，O为AB中点，所以，在中，，，，由余弦定理可得， 所以有，即，所以， 又因为，平面，平面， 平面，又因为平面，所以； (2)． 【分析】（1）取中点，连接，易得，结合题设关系得，进而得到平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求平面法向量及平面的法向量，再利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知且平面平面，平面平面，平面，所以平面， 则，如图以OA，OC，两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系． ，，，， 设，， ，， 设平面法向量为， ，， 可取， 平面的法向量为， 所以有，化简得， 所以有（舍）或者，所以． 例3．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题： (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 在图（1）中，连接，如图所示： 因为四边形为菱形，，所以是等边三角形. 因为为的中点，所以. 又，所以. 在图（2）中，，所以，即. 因为，所以. 又平面.所以平面. 因为平面，所以. (2)存在， 【分析】（1）连接，结合等边三角形性质和勾股定理，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，利用空间向量平面夹角公式列方程求得，即可得解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，. 因为，平面.所以平面. 故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系： 则， 所以， ， 所以. 设平面的一个法向量为， 由，得， 令得. 平面的一个法向量可取. 令，解得， 所以存在点，使得平面与平面夹角为，此时. 变式1．（25-26高二上·山东临沂·期中）如图1，在中，，，分别是，上的两点，且，，将沿折起至的位置，平面平面，如图2所示.    (1)求证：平面； (2)若二面角大小为. （i）求与平面所成角； （ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 因为，所以，因为平面，平面， 所以平面，因为平面，平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面； (2)（i）；（ii）存在， 为的中点. 【分析】（1）先利用比例性质得，然后利用线面平行的判定定理得平面，再根据线面平行的性质定理得，最后利用线面平行的判定定理证明； （2）（i）先利用二面角的平面角定义可得，然后再利用线面垂直的判定定理和利用线面角的定义可得即为所求，在直角三角形中求解即可；（ii）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，然后利用向量夹角公式列方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）（i）因为， ，所以， 所以即为二面角的平面角，即， 因为，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，，所以即， 又平面，所以平面， 所以即为与平面所成角， 又在中，，， 所以，即与平面所成角为； （ii）由（i）知，平面，且，以C为坐标原点， 分别以直线CB, CD, 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，    则， ，， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 由题意知，即， 解得或（舍去）， 所以当为的中点的时候，符合题意； 变式2．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）如图，直四棱柱的底面ABCD为直角梯形，，，，点Q为棱上一动点.    (1)当点Q为棱的中点时，证明：平面CDQ⊥平面； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为坐标原点，以直线，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，即可得到线线垂直，然后利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）设，设平面的一个法向量，并求出法向量，又向量是平面的一个法向量，然后利用向量法表示出二面角的余弦值，即可求得，即可得出结果. 【详解】（1）由是直四棱柱得底面ABCD， 又底面ABCD，∴ 因为底面ABCD为直角梯形，且， ∴，即, 所以两两垂直， 以为坐标原点，以直线，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以，， 因为， 且， 所以，即， 因为平面，所以平面， 又平面，故平面平面. （2）设，则由（1）知，所以， 设平面的一个法向量，则，即， 取，解得，所以， 由（1）可知，向量是平面的一个法向量， 因为二面角的余弦值为， 所以， 整理，得，解得，或（舍去）， 所以，则，故. 变式3．（25-26高二上·北京顺义·期末）四棱锥中，为棱上一点，，分别为棱，的中点，，，，，．    (1)证明：平面； (2)若平面，，平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1) 因为M，N分别为SB，SD的中点，所以MN是△SBD的中位线， 故MN∥BD； 又MN⊂平面MNE，平面MNE， 所以平面. (2) 【分析】（1）利用中位线性质可得线线平行，结合线面平行的判定定理可证结论； （2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式可求答案. 【详解】（1）略 （2）以A为原点，分别以AB、AC、AS所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系.    各点坐标为：. 设，则E的坐标为， 易知平面SAC法向量可取， ， 设平面MNE的法向量为，则,即， 令，可得. 因为已知平面MNE与平面SAC夹角的余弦值为，所以， 解得或（舍），故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $