第二章 分式与分式方程（必备知识+5大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“分式与分式方程”章节内容，涵盖分式的概念及基本性质、运算、方程定义及解法、方程应用四大知识范畴，为学生搭建了从“分式概念与性质”到“运算规则”再到“方程解法与应用”的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+易错点”分类呈现知识体系，如将分式概念细分为定义、有意义条件等要点，结合“易错总结”与“方法技巧”，培养学生的数学思维和运算能力。例如针对“分式值为正负数的取值范围”，提供“符号法则法”和“转化整式法”，帮助学生精准掌握推理方法，不同层次学生可高效学习，教师也能据此设计针对性教学，提升课堂效率。

第二章 分式与分式方程 知识清单01 分式的概念及基本性质 1.分式的概念 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 5.约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 6.通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 7.最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8.最简公分母 （1）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 知识清单02 分式的运算 1．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 2．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 4．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 知识清单03 分式方程定义及解法 1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 4．换元法解分式方程 （1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 5．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识清单04 分式方程的应用 1．分式方程的应用 （1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． （2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 易错点1 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 一、易错总结 1. 忽略分母不为0的前提：只关注分子符号，忘记分母不能为0，导致取值范围包含使分式无意义的解。 2. 不等号方向错误：解不等式时，两边乘除负数未变号，或联立不等式组时写错不等关系，如误将“分子正且分母正”写成“分子正或分母正”。 二、方法技巧 1. 符号法则法：分式正负由分子、分母符号共同决定，“正”需分子分母同号（均正或均负），“负”需分子分母异号（一正一负），分情况列不等式组求解。 2. 转化整式法：先确定分母不为0，再将分式不等式转化为整式不等式（分子×分母＞0或＜0），解整式不等式后结合分母限制，确定最终取值范围。 【例1】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，分式的值为正数，由于分子恒为正，因此分母必须为正，解不等式即可． 【详解】分式 的分子为 1，是正数，因此分式值为正数时，分母 必须大于 0，即 ． 解得：． 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 【答案】 任意实数 3或2 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性质是解题关键． （1）由分式的值为正，得到，解不等式即可； （2）根据平方的非负性以及分式的性质，即可求解； （3）由分式的值为正整数，得到或，即可求解． 【详解】解：（1）分式的值为正， ， ， 故答案为： （2）， ， ， 的取值为任意实数， 故答案为：任意实数； （3）分式的值为正整数， 或， 或2， 故答案为：3或2． 易错点2 求使分式值为整数时未知数的整数值 一、易错总结 1. 忽略分母不为0的限制：只计算使分子能被分母整除的未知数，未排除使分母为0的取值，导致结果包含无意义的解。 2. 漏解整数情况：未考虑整除的正负性，漏了负整数和0的情况。 二、方法技巧 1. 整除定义法：设分式值为整数k，将分式化为“分子 = 分母×k”的整式形式，解出未知数用k表示，再结合未知数为整数确定k的可能值，进而求未知数。 2. 因式分解法：对分子分母因式分解，若分母是分子的因式，直接分析整除条件；若不是，通过变形让分母整除分子，再结合整数性质确定未知数取值。 【例1】对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 【变式】若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 易错点3 分式方程无解与增根 一、易错总结 1. 混淆“无解”与“增根”概念：认为增根就是无解，忽略“整式方程无解时，分式方程也无解”的情况，整式方程无解，分式方程也无解，而非增根。 2. 漏验增根：解分式方程去分母后，只解整式方程，未将解代入最简公分母检验是否为增根，导致错误保留无意义的解。 二、方法技巧 1. 概念辨析法：增根是“使最简公分母为0的整式方程的解”，仅出现在整式方程有解的情况；无解包含“有增根”和“整式方程本身无解”两类，通过判断整式方程是否有解及解是否为增根，区分两者。 2. 检验三步法：解分式方程后，①将整式方程的解代入最简公分母；②若公分母为0，此解是增根，分式方程无解；③若公分母不为0，此解是分式方程的解，据此快速判断。 【例1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若关于的方程有增根．则增根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求分式方程的增根，分式方程的增根是使分式方程分母为零的未知数的值，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有增根， ∴， ∴， 故选：A． 【变式】（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程得到，分式方程无解有两种情况，当和当时，分式方程有增根，据此分情况讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵关于的分式方程无解， ∴当，即时，原方程无解； 当，即时， 则 ∵原方程无解， ∴原方程有增,即或 解得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 易错点4 已知方程的根的情况求参数的取值范围 一、易错总结 1. 忽略分式分母不为0的限制：仅根据整式方程根的情况求参数，未排除使原分式分母为0的参数值，导致取值范围包含无效解。 2. 混淆“无解”对应的参数情况：误将“分式方程有增根”等同于“分式方程无解”，忽略“整式方程本身无解时，分式方程也无解”的情况，漏算参数取值。 二、方法技巧 1. 分类讨论法：先将分式方程化为整式方程，分两类讨论：①整式方程无解时，求对应参数值；②整式方程有解时，排除使分母为0的参数值，结合根的要求（如整数根、正数根）确定范围。 2. 代入检验法：若已知方程有增根，先求增根（令最简公分母为0的解），代入整式方程求参数；若方程无解，需同时考虑整式方程无解和有增根两种情况，整合参数范围。 【例1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即, ∴，且 ∴且， 故选：C． 【变式】（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数，确定出k的范围即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵分式方程的解为负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 易错点5 与分式及分式运算有关的新定义型问题 一、易错总结 1. 误解新定义规则：未逐字分析题干中“新运算符号”的定义（如分子分母对应关系、运算顺序），直接套用常规分式运算，导致步骤错误。 2. 忽略隐含限制条件：新定义问题常隐含分母不为0的要求，解题时只关注新运算流程，漏查运算中所有分式的分母（包括新定义里的分母），出现无意义的解。 二、方法技巧 1. 拆解定义法：将新定义内容拆解为“已知条件”和“运算规则”，用具体字母或数值代入规则，转化为熟悉的分式化简、求值问题，再按常规步骤计算。 2. 双重验证法：完成运算后，先验证结果是否符合新定义的形式要求，再检查所有分式的分母是否为0，确保运算过程和结果均有效，避免隐含错误。 【例1】（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础． （1）根据关联分式的定义判断； （2）仿照和谐小组成员的方法，设的关联分式是N，则，求出N即可； （3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的“关联分式”． 故答案为：是； （2）解：设的关联分式是N，则： ， ∴， ∴ ∴； （3）解：由（1）（2）知：的关联分式为：． 故答案为：． 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 【答案】(1) (2)①；② (3)1，2，3 【分析】本题主要考查了分式的约分，解题时要能根据所给新定义问题结合所学分式的知识进行化简是关键． （1）依据题意，由，分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子，进而可以判断得解； （2）①依据题意，分母分解：，结合题意分子需与分母中的或有公因式，从而，则，进而可以判断得解； ②依据题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即，从而分母为，对应，即可判断得解； （3）依据题意，由分式分母分解：设，则，故需等于，即，从而此时分式化简为正整数解：①，则；②，则；③，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，符合“好看分式”定义． 又 ∵分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子， ∴分式不符合“好看分式”定义． 故答案为：． （2）解：①由题意，分母分解：． 又 ∵分式为“好看分式”， ∴分子需与分母中的或有公因式． ∵，则， ∴此时分式化简为，符合定义． ∴． ②由题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即， ∴分母为，对应． （3）解：由题意，∵分式分母分解： 设， 则． ∴需等于，即． ∴此时分式化简为， 正整数解： ①，则； ②，则 ； ③，则． ∴的可能值为． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北衡水·阶段练习）定义．若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)是，当时，该式的值为整数 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义解答即可； （2）根据“和谐分式”的定义把分式化简即可； （3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式为整数求出x的值即可． 【详解】（1）解：①，故是“和谐分式”； ②不是分式，故不是“和谐分式”； ③，故是“和谐分式”； ④，故是“和谐分式”； 属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ； （3）解： ， ∵该式的值为整数， ∴， 解得或或1或， 又∵， ∴， 即当时，该式的值为整数． 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 2．（2026·广西梧州·一模）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 3．（2026·湖南·模拟预测）若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程，能够掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 先解方程得，再由方程无解得，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵， ①， ∵关于的方程无解， ∴，即； 把代入①，得，解得． 4．（2026·河北石家庄·一模）当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【答案】C 【分析】先确定x的取值范围，再根据分式有意义的条件排除无意义的取值，化简分式后根据结果为整数的条件分析计算，即可得到最终结果． 熟练掌握分式的值为整数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． 【详解】解：由题意得，x是不超过6的正整数，因此x的可能取值为， 又， ∵分式有意义时，分母不为0， ∴， 得且，排除， ∵分式结果为整数， ∴为整数， 又x是正整数， 因此x是3的正因数， 或， 又由分式有意义的条件可知， ， 代入化简后的分式得， 因此分式的整数值是． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】首先解此分式方程，再根据此方程的解是非负数及，据此计算即可求解． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得， 分式方程的根是非负数，且， ，且， 解得且． 6．（2025八年级下·河南郑州·专题练习）新定义  对于实数a、b，定义一种新运算“⊕”为：，这里等式右边是实数运算．按此规定，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义，解分式方程，根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴ ∴， ∴ 解得， 经检验是分式方程的解． 故选A． 二、填空题 7．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式值为正数可确定分母为负数，由此求解即可． 【详解】解：因为分式的值为正数， 而分子为是负数，可知分母为负数， 即，解得， 的取值范围是． 8．（2026·山东东营·一模）若关于的方程无解，则的值为_____． 【答案】3 【分析】先将分式方程去分母化成整式方程，根据分式无解的定义得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时乘以，得， 整理得， ∵关于的方程无解， ∴方程有增根，增根为， 把代入， 得， 解得． 9．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【答案】 【分析】先将给定分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根得到使最简公分母为的的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解： ， ∵分式方程有增根， ∴ 解得， 把代入得， 解得． 10．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 【答案】 【分析】先对分式进行化简，再结合整数的条件分别求解即可． 【详解】解：分式， ∵该分式的值为整数，且为整数， ∴为整数， ∴当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 综上，所有满足条件的整数的值为． 11．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下： ．例如： ．若，则的值为_______． 【答案】1013 【分析】本题考查了分式化简求值，新定义下的运算，掌握相应的运算法则是关键．根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，（x，y不为0）， ∴， ∴． 故答案为：1013． 12．（25-26八年级下·重庆·期中）关于的不等式组有解且至多有个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是______． 【答案】0 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，先解一元一次不等式组，可得到该不等式组的解集为，结合不等式组有解且至多有个整数解，可得，将分式方程变形得到，结合，可得，结合分式方程有整数解，可得或． 【详解】解： 解不等式，得 ． 所以该不等式组的解集为． 因为该不等式组有解且至多有个整数解， 所以． 解不等式组，得 ． 将变形，得 ． 当时， ． 根据题意可知 ，即，可得 ，即． 因为分式方程有整数解， 所以或． 所以或或或． 因为且， 所以或或． 所以满足条件的所有整数的和是． 三、解答题 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）根据分式值为负数的条件，分子分母异号，结合分子的取值情况，确定分母的符号，进而求出的取值范围； （2）根据分式值为整数的条件，分母是分子的约数，找出使得为的约数的整数的值． 【详解】解：（1）分式的值为负数，且， 且且． （2）的值是一个整数，且为整数， 可以为整数可能取． 【点睛】本题考查了分式的值的相关计算，掌握根据分式值的正负或整数情况，分析分子分母的关系是解题的关键． 14．（25-26八年级下·山西临汾·月考）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入分式方程，再解方程求出的值，最后检验即可； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，用表示出整式方程的解，由分式方程有增根得出，再解关于的一元一次方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， 去分母，得， 解得：． ∵该分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴当时，该分式方程有增根． 15．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）将代入原方程得到关于b的方程求解即可； （2）先求得分式方程的解，然后再根据解是非负数列不等式求解即可． 【详解】（1）解：将代入方程，得，解得：． （2）解：， ， ， ， ． 分式方程的解是非负数， ，且，解得且． 16．（25-26八年级下·河南周口·月考）一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)0或1或3或4 【分析】（1）把原式先变形为，再利用平方差公式分解因式得到，据此可得答案； （2）把式子变形为，进一步可变形为，根据题意可得是整数，则或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴是整数，且是整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或． 17．（25-26八年级下·重庆万州·月考）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)1 (3)或 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）由与互为“关联分式”、，得，求出，将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； （2）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； 当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 18．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 分式与分式方程 知识清单01 分式的概念及基本性质 1.分式的概念 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 5.约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 6.通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 7.最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8.最简公分母 （1）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 知识清单02 分式的运算 1．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 2．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 4．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 知识清单03 分式方程定义及解法 1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 4．换元法解分式方程 （1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 5．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识清单04 分式方程的应用 1．分式方程的应用 （1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． （2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 易错点1 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 一、易错总结 1. 忽略分母不为0的前提：只关注分子符号，忘记分母不能为0，导致取值范围包含使分式无意义的解。 2. 不等号方向错误：解不等式时，两边乘除负数未变号，或联立不等式组时写错不等关系，如误将“分子正且分母正”写成“分子正或分母正”。 二、方法技巧 1. 符号法则法：分式正负由分子、分母符号共同决定，“正”需分子分母同号（均正或均负），“负”需分子分母异号（一正一负），分情况列不等式组求解。 2. 转化整式法：先确定分母不为0，再将分式不等式转化为整式不等式（分子×分母＞0或＜0），解整式不等式后结合分母限制，确定最终取值范围。 【例1】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 易错点2 求使分式值为整数时未知数的整数值 一、易错总结 1. 忽略分母不为0的限制：只计算使分子能被分母整除的未知数，未排除使分母为0的取值，导致结果包含无意义的解。 2. 漏解整数情况：未考虑整除的正负性，漏了负整数和0的情况。 二、方法技巧 1. 整除定义法：设分式值为整数k，将分式化为“分子 = 分母×k”的整式形式，解出未知数用k表示，再结合未知数为整数确定k的可能值，进而求未知数。 2. 因式分解法：对分子分母因式分解，若分母是分子的因式，直接分析整除条件；若不是，通过变形让分母整除分子，再结合整数性质确定未知数取值。 【例1】对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【变式】若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 易错点3 分式方程无解与增根 一、易错总结 1. 混淆“无解”与“增根”概念：认为增根就是无解，忽略“整式方程无解时，分式方程也无解”的情况，整式方程无解，分式方程也无解，而非增根。 2. 漏验增根：解分式方程去分母后，只解整式方程，未将解代入最简公分母检验是否为增根，导致错误保留无意义的解。 二、方法技巧 1. 概念辨析法：增根是“使最简公分母为0的整式方程的解”，仅出现在整式方程有解的情况；无解包含“有增根”和“整式方程本身无解”两类，通过判断整式方程是否有解及解是否为增根，区分两者。 2. 检验三步法：解分式方程后，①将整式方程的解代入最简公分母；②若公分母为0，此解是增根，分式方程无解；③若公分母不为0，此解是分式方程的解，据此快速判断。 【例1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若关于的方程有增根．则增根为（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 易错点4 已知方程的根的情况求参数的取值范围 一、易错总结 1. 忽略分式分母不为0的限制：仅根据整式方程根的情况求参数，未排除使原分式分母为0的参数值，导致取值范围包含无效解。 2. 混淆“无解”对应的参数情况：误将“分式方程有增根”等同于“分式方程无解”，忽略“整式方程本身无解时，分式方程也无解”的情况，漏算参数取值。 二、方法技巧 1. 分类讨论法：先将分式方程化为整式方程，分两类讨论：①整式方程无解时，求对应参数值；②整式方程有解时，排除使分母为0的参数值，结合根的要求（如整数根、正数根）确定范围。 2. 代入检验法：若已知方程有增根，先求增根（令最简公分母为0的解），代入整式方程求参数；若方程无解，需同时考虑整式方程无解和有增根两种情况，整合参数范围。 【例1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 【变式】（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 易错点5 与分式及分式运算有关的新定义型问题 一、易错总结 1. 误解新定义规则：未逐字分析题干中“新运算符号”的定义（如分子分母对应关系、运算顺序），直接套用常规分式运算，导致步骤错误。 2. 忽略隐含限制条件：新定义问题常隐含分母不为0的要求，解题时只关注新运算流程，漏查运算中所有分式的分母（包括新定义里的分母），出现无意义的解。 二、方法技巧 1. 拆解定义法：将新定义内容拆解为“已知条件”和“运算规则”，用具体字母或数值代入规则，转化为熟悉的分式化简、求值问题，再按常规步骤计算。 2. 双重验证法：完成运算后，先验证结果是否符合新定义的形式要求，再检查所有分式的分母是否为0，确保运算过程和结果均有效，避免隐含错误。 【例1】（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北衡水·阶段练习）定义．若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当取什么整数时，该式的值为整数． 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 2．（2026·广西梧州·一模）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 3．（2026·湖南·模拟预测）若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 4．（2026·河北石家庄·一模）当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 6．（2025八年级下·河南郑州·专题练习）新定义  对于实数a、b，定义一种新运算“⊕”为：，这里等式右边是实数运算．按此规定，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 8．（2026·山东东营·一模）若关于的方程无解，则的值为_____． 9．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 10．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 11．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下： ．例如： ．若，则的值为_______． 12．（25-26八年级下·重庆·期中）关于的不等式组有解且至多有个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是______． 三、解答题 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 14．（25-26八年级下·山西临汾·月考）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 15．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 16．（25-26八年级下·河南周口·月考）一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 17．（25-26八年级下·重庆万州·月考）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 18．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 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