第一章 因式分解（必备知识+10题型+分层检测）（复习讲义）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

该初中数学因式分解复习讲义通过知识框架图系统梳理知识体系，涵盖概念、基本方法（提公因式法、公式法等）、一般步骤及易错点，用对比表格呈现整式乘法与因式分解的逆关系，思维导图展示方法选择流程，清晰呈现重难点分布与内在联系。 讲义亮点是分层练习设计，基础题如提公因式（例3）、公式法（例4）巩固运算能力，提升题如十字相乘法（例8）、分组分解法（例9）培养推理意识，应用题型（例10“平方差数”）发展应用意识。每个题型配例题与变式，助力不同学生提升，教师可据此实施精准教学，支持学生自主复习。

第一章 因式分解（复习讲义） 1. 了解因式分解的意义，体会因式分解与整式乘法互为逆运算的整体联系，明确因式分解的结果必须是整式乘积且分解彻底。 2. 能用提公因式法分解因式，能准确确定公因式（系数取最大公约数、字母取相同字母、指数取最低次幂），并正确处理符号变化。 3. 理解并利用平方差公式a2 - b2 = (a+b)(a-b)和完全平方公式a2 2ab + b2 = (ab)2进行因式分解，能识别公式结构避免混淆。 4. 掌握分组分解法和十字相乘法，能综合运用多种因式分解方法解决化简求值、解方程等问题，注意分解不彻底、结果未写成乘积形式等易错点。 一、因式分解的概念 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 2.与整式乘法的关系： 互逆关系：因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形。 区别：整式乘法是“积化和差”，结果是多项式；因式分解是“和差化积”，结果是整式的乘积形式。 验证方法：可用整式乘法（将因式相乘）的结果与原多项式对比，来验证因式分解的正确性。 二、因式分解的基本方法 1. 提公因式法 公因式：多项式各项都含有的相同因式。 确定公因式的方法： 系数：取各项系数的最大公约数。 字母：取各项相同的字母。 指数：相同字母取最低次幂。 步骤：ma + mb + mc = m(a + b + c)，把公因式提到括号外面。 2. 公式法 （1）平方差公式：公式：a²- b²= (a + b)(a - b)。 特征：两项式，两项符号相反，且都能写成平方的形式。 （2）完全平方公式：公式：a² + 2ab + b²= (a + b)²；a²- 2ab + b²= (a - b)²。 特征：三项式，其中有两项是平方项（且符号相同），另一项是这两个数（或式）的乘积的±2倍。 三、因式分解的一般步骤 1.一提：若多项式各项有公因式，则先提取公因式。 2.二套：提取公因式后（或无公因式），再考虑能否用平方差公式或完全平方公式继续分解。 3.三彻底：检查每个因式是否还能继续分解，必须分解到不能再分解为止。 四、易错点提醒 1.漏项：提公因式后，括号内的项数应与原多项式项数相同。例如，3x²y - 6xy² = 3xy(x - 2y)，括号内不能漏掉“1”。 2.符号：当多项式第一项系数为负时，通常先提取负号，使括号内第一项系数为正。例如，-a²- b²+ 2ab = -(a²- 2ab + b²) = -(a - b)²。 3.不彻底：分解要彻底。例如，x⁴ - 1 = (x² + 1)(x² - 1)，还要继续分解到(x² + 1)(x + 1)(x - 1)才算完成。 题型一 判断是否是因式分解 【例1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）以下变形不是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列等式，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型二 已知因式分解的结果求参数 【例2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为_________． 【变式2-1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）若多项式因式分解的结果是，则___________． 【变式2-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知多项式可分解因式为，则为_____． 【变式2-3】（25-26七年级上·上海·期末）已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 题型三 公因式 【例3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【变式3-1】（25-26八年级上·河北保定·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是___________． 【变式3-2】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）多项式的公因式是______ 【变式3-3】（24-25七年级下·河北保定·期末）和的公因式为______________． 题型四 判断能否用公式法分解因式 【例4】（25-26八年级上·海南海口·期末）下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·重庆綦江·期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 【例5】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【变式5-1】（25-26八年级上·山东德州·期末）分解因式 (1)； (2)． 【变式5-2】（25-26八年级上·河南许昌·期末）因式分解： (1) (2) 【变式5-3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 题型六 因式分解在有理数简算中的应用 【例6】（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：_____． 【变式6-1】（24-25八年级下·江西九江·月考）简便运算：________． 【变式6-2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）利用因式分解计算：________． 【变式6-3】（24-25七年级下·北京延庆·期末）在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是_________________（填写序号）． 题型七 利用因式分解求值 【例7】（24-25八年级上·全国·期末）若，且，则值是________． 【变式7-1】（25-26八年级上·河南漯河·期末）已知，，则的值为___________． 【变式7-2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，，，则的值是_____． 【变式7-3】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 题型八 十字相乘法因式分解 【例8】（25-26八年级上·广西·期末）阅读下面内容并完成后面的练习： 因为，所以； 因为，所以； 因为=，所以 =； 因为， 所以； 因为_________， 所以__________=． 请你根据以上各式找出规律，并对下列多项式进行因式分解∶ (1)；    (2)；    (3) 【变式8-1】（24-25八年级上·甘肃临夏·月考）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式8-2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【变式8-3】（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 题型九 分组分解法因式分解 【例9】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 【变式9-1】（25-26八年级上·重庆合川·期末）阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 【变式9-2】（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【变式9-3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 题型十 因式分解的应用 【例10】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如果一个正整数能写成，均为正整数，且，我们称这个数为“平方差数”，例如：，由，可得或根据等式性质把上、下两式相加，可得或．因为，均为正整数，所以为偶数，则应舍去，从而解得所以8是“平方差数”．据此回答下列问题： (1)判断：6 “平方差数”（填“是”或“不是”）； (2)如果一个三位数，它的百位为1，个位比十位大3，且该三位数各个数位上的数字之和为“平方差数”，求出所有符合条件的三位数． 【变式10-1】（25-26七年级上·河北保定·期末）（发现）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫做“对称数”．如202、343、666等都是“对称数”． (1)填空： ① ②__________=__________ ③ (2)小敏观察（1）后有一个猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除，请你再任意写出另外两个对称数，并通过计算验证小敏的猜想． (3)设为一个对称数，请通过计算和推理说明小敏的猜想是正确的． 【变式10-2】（25-26八年级上·广西玉林·期末）阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【变式10-3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）已知下列各组多项式：①和；②和；③和；④和．上述各组中有相同公因式的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3．（25-26八年级上·福建漳州·期末）若，且，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 4．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 5．（25-26八年级上·山西忻州·期末）分解因式的结果是________． 6．（25-26八年级上·重庆·期末）若关于的二次三项式有一个因式为，则的值为_______． 7．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则代数式的值为_____． 8．（25-26八年级上·重庆合川·期末）已知三角形的三边为，满足，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为_____． 三、解答题 9．（25-26八年级上·山东烟台·期末）因式分解： (1) (2) 10．（25-26八年级上·山东滨州·期末）分解因式： (1)； (2)． 11．（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 12．（25-26八年级上·河南周口·期末）【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知实数满足为自然数，则的最小值是（    ） A．11 B．12 C．13 D．16 4．（25-26八年级上·四川泸州·期末）定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（    ） A．17是和谐数 B．（，是整数）不一定是和谐数 C．如果，都是和谐数（），则也是“和谐数” D．当时，（，是整数）是“和谐数” 二、填空题 5．（25-26八年级上·广西南宁·期末）因式分解：__________． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为_____． 7．（25-26八年级上·山东滨州·期末）已知实数，满足，，则代数式______，代数式______． 8．（25-26六年级上·山东烟台·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第6个“智慧优数”是________． 三、解答题 9．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 10．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成块，其中有块是边长为厘米的大正方形，块是边长为厘米的小正方形，块是长为厘米，宽为厘米的相同的小长方形，且． (1)观察图形，发现代数式可以因式分解为 ． (2)若图中阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，求图中空白部分的面积． 11．（25-26八年级上·山东临沂·期末）【阅读材料】：某同学研究十位数字是（是至的整数），个位数字是的两位数的平方，发现了如下运算规律： ， ， ， …… 任务： (1)请用含的式子写出你发现的规律； (2)请证明你发现的规律； (3)请证明个位数字是的两位数的平方是的倍数． 12．（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在分解因式、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法分解因式： 原式； ②求的最小值． 解： 先求出的最小值， ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法分解因式：； (3)若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 因式分解（复习讲义） 1. 了解因式分解的意义，体会因式分解与整式乘法互为逆运算的整体联系，明确因式分解的结果必须是整式乘积且分解彻底。 2. 能用提公因式法分解因式，能准确确定公因式（系数取最大公约数、字母取相同字母、指数取最低次幂），并正确处理符号变化。 3. 理解并利用平方差公式a2 - b2 = (a+b)(a-b)和完全平方公式a2 2ab + b2 = (ab)2进行因式分解，能识别公式结构避免混淆。 4. 掌握分组分解法和十字相乘法，能综合运用多种因式分解方法解决化简求值、解方程等问题，注意分解不彻底、结果未写成乘积形式等易错点。 一、因式分解的概念 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 2.与整式乘法的关系： 互逆关系：因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形。 区别：整式乘法是“积化和差”，结果是多项式；因式分解是“和差化积”，结果是整式的乘积形式。 验证方法：可用整式乘法（将因式相乘）的结果与原多项式对比，来验证因式分解的正确性。 二、因式分解的基本方法 1. 提公因式法 公因式：多项式各项都含有的相同因式。 确定公因式的方法： 系数：取各项系数的最大公约数。 字母：取各项相同的字母。 指数：相同字母取最低次幂。 步骤：ma + mb + mc = m(a + b + c)，把公因式提到括号外面。 2. 公式法 （1）平方差公式：公式：a²- b²= (a + b)(a - b)。 特征：两项式，两项符号相反，且都能写成平方的形式。 （2）完全平方公式：公式：a² + 2ab + b²= (a + b)²；a²- 2ab + b²= (a - b)²。 特征：三项式，其中有两项是平方项（且符号相同），另一项是这两个数（或式）的乘积的±2倍。 三、因式分解的一般步骤 1.一提：若多项式各项有公因式，则先提取公因式。 2.二套：提取公因式后（或无公因式），再考虑能否用平方差公式或完全平方公式继续分解。 3.三彻底：检查每个因式是否还能继续分解，必须分解到不能再分解为止。 四、易错点提醒 1.漏项：提公因式后，括号内的项数应与原多项式项数相同。例如，3x²y - 6xy² = 3xy(x - 2y)，括号内不能漏掉“1”。 2.符号：当多项式第一项系数为负时，通常先提取负号，使括号内第一项系数为正。例如，-a²- b²+ 2ab = -(a²- 2ab + b²) = -(a - b)²。 3.不彻底：分解要彻底。例如，x⁴ - 1 = (x² + 1)(x² - 1)，还要继续分解到(x² + 1)(x + 1)(x - 1)才算完成。 题型一 判断是否是因式分解 【例1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，需根据此定义逐一判断． 本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的定义是解题的关键因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，不是因式分解，故不符合题意； B．是因式分解，符合题意； C．是乘法运算，不是因式分解，故不符合题意； D．中含有分式，不是因式分解，故不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的变形，需满足结果为整式乘积、所有因式都是整式两个条件． 【详解】解：选项A的变形是整式乘法，结果是和的形式，不符合因式分解定义． 选项C的变形结果是和的形式，不是几个整式的积，不符合定义． 选项D的变形中，是分式，不是整式，不符合定义． 选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义． 【变式1-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）以下变形不是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题需依据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合要求 【详解】∵因式分解的定义为：把一个多项式化成几个整式的积的形式，需满足两个核心条件：①变形对象是多项式；②变形结果是几个整式的积的形式 ∴对各选项逐一分析： 选项A：左边是单项式，不满足“对象为多项式”的要求，因此该变形不是因式分解； 选项B：左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，是因式分解； 选项C：左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，是因式分解； 选项D：左边是多项式，右边是整式的积，符合因式分解的定义，是因式分解， 故选：A 【变式1-3】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列等式，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项中，等式右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义． B选项中，等式左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的要求． C选项中，等式左边是多项式，右边是两个整式的积的形式，符合因式分解的定义． D选项中，等式右边不是整式（分母含有字母），不符合因式分解的定义． 故选：C． 题型二 已知因式分解的结果求参数 【例2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系．通过将给定的因式分解形式展开，与原二次三项式比较系数，可求出 m 的值即可． 【详解】解：， ， ， 解得， 故答案为． 【变式2-1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）若多项式因式分解的结果是，则___________． 【答案】13 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求参数，代数式求值，将因式分解的结果展开，与原多项式比较系数，求出a和b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：， 根据题意得， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：13． 【变式2-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知多项式可分解因式为，则为_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 计算，进而根据“多项式可分解因式为”即可得出的值． 【详解】解：， ∵多项式可分解因式为， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26七年级上·上海·期末）已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 题型三 公因式 【例3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【分析】公因式：多项式的每一项都含有的因式． 【详解】解：的公因式是． 【变式3-1】（25-26八年级上·河北保定·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了公因式，确定公因式时，系数取各项系数的最大公因数，字母部分取各项相同字母的最低次幂． 【详解】解：多项式中，系数6和3的最大公因数是3，字母的最低次幂是，字母的最低次幂是，因此公因式为， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）多项式的公因式是______ 【答案】 【分析】本题考查了公因式．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据找公因式的方法得出答案即可． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为： 【变式3-3】（24-25七年级下·河北保定·期末）和的公因式为______________． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解及公因式定义，熟记公因式的定义是解题的关键． 先将两个多项式因式分解，然后根据公因式定义：每个单项式中都有的因式，即可得到答案． 【详解】解：，， ∴和的公因式为， 故答案为：． 题型四 判断能否用公式法分解因式 【例4】（25-26八年级上·海南海口·期末）下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式的判定；依据完全平方公式结构特征分析，关键是符合的形式． 【详解】解：完全平方式必须满足的形式， A、，不符合完全平方式，故A不符合题意； B、，符合完全平方式，故B符合题意； C、，不符合完全平方式，故C不符合题意； D、，不符合完全平方式，故D不符合题意． 故选：B． 【变式4-1】（25-26八年级上·重庆綦江·期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 【变式4-3】（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 【例5】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式5-1】（25-26八年级上·山东德州·期末）分解因式 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解： （1）原式变形后，提取公因式； （2）提取公因式后，再用平方差公式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-2】（25-26八年级上·河南许昌·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法、公式法和十字相乘法进行的因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法． （1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． （2）先提公因式，再利用十字相乘法即可进行因式分解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 题型六 因式分解在有理数简算中的应用 【例6】（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；通过提取公因式进行因式分解后计算． 【详解】解： ． 故答案为 ． 【变式6-1】（24-25八年级下·江西九江·月考）简便运算：________． 【答案】10000 【分析】本题考查了因式分解、完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）利用因式分解计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．通过提取公因式2027进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为 【变式6-3】（24-25七年级下·北京延庆·期末）在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是_________________（填写序号）． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了根据平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键； 先分别根据平方差公式计算，再比较结果即可． 【详解】解：①； ②； ③； ， 所以计算结果与相同的是①②． 故答案为：①②． 题型七 利用因式分解求值 【例7】（24-25八年级上·全国·期末）若，且，则值是________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式． 根据平方差公式解答即可． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级上·河南漯河·期末）已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：，， ． 【变式7-2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，，，则的值是_____． 【答案】9 【分析】根据平方差公式计算得出，即可求出的值，再结合已知条件进一步确定的值，再将要求的代数式变形为代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 【变式7-3】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 【答案】3 【分析】先把两个等式相加，再进行配方，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求解． 【详解】解：，， 两式相加，得：， ， ， ，， ， ． 题型八 十字相乘法因式分解 【例8】（25-26八年级上·广西·期末）阅读下面内容并完成后面的练习： 因为，所以； 因为，所以； 因为=，所以 =； 因为， 所以； 因为_________， 所以__________=． 请你根据以上各式找出规律，并对下列多项式进行因式分解∶ (1)；    (2)；    (3) 【答案】；（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．根据阅读材料得到：，． （1）因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可． （2）因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可． （3）将看作一个整体．因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：由已知条件易得：，． 故答案为：；； （1）； （2）； （3）． 【变式8-1】（24-25八年级上·甘肃临夏·月考）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可； 理解阅读材料，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵常数项，一次项系数， ∴； （2）∵常数项，一次项系数， ∴； （3）①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 【变式8-2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 【变式8-3】（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 【答案】(1)；； (2)；． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 题型九 分组分解法因式分解 【例9】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式9-1】（25-26八年级上·重庆合川·期末）阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． （）利用分组分解法解答即可； （）利用分组分解法解答即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9-2】（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【答案】(1)②，① (2) 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 【变式9-3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法分解因式．解题关键是正确分组，使得分组后可以分别进行因式分解，并且分解后能出现新的公因式，进而提取公因式完成整个多项式的因式分解． （1）进行分组为，通过提取公因式，乘法分配律的逆运算进行因式分解； （2）先用整式乘法还原，再由对应项系数相等得出、的值，进而求出． 【详解】（1）解： ． （2）， 而 比较系数可得， ． 题型十 因式分解的应用 【例10】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如果一个正整数能写成，均为正整数，且，我们称这个数为“平方差数”，例如：，由，可得或根据等式性质把上、下两式相加，可得或．因为，均为正整数，所以为偶数，则应舍去，从而解得所以8是“平方差数”．据此回答下列问题： (1)判断：6 “平方差数”（填“是”或“不是”）； (2)如果一个三位数，它的百位为1，个位比十位大3，且该三位数各个数位上的数字之和为“平方差数”，求出所有符合条件的三位数． 【答案】(1)不是 (2)125、147、169 【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，解题的关键是正确理解题意． （1）根据新定义求解即可； （2）设该三位数十位上的数字为x，则其各个数位上的数字之和为，再根据题意构造方程组进行讨论、求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 由，可得或 把两式相加可得，或， 解得或，不是正整数，均不符合题意， 故6不是“平方差数”， 故答案为：不是； （2）解：∵，为正整数， ∴为偶数， ∴与同是奇数或同是偶数， ∵，为偶数， ∴为偶数， ∴与都是偶数， 设该三位数十位上的数字为x，个位上的数字为，则其各个数位上的数字之和为， ∴该三位数各位数字之和， ∵为“平方差数”， 由，可得或， 可得， ∵为正整数， ∴为偶数， ∵为偶数， ∴x是偶数， 当时，， ∵当时，，解得，与a，b均为正整数矛盾， ∴此种情况不合题意，舍去； 当， ∴当时，，解得，符合题意， ∴该三位数是125， 当， ∴当时，，解得，符合题意， ∴该三位数是147； 当时，， ∴当时，，解得，符合题意， ∴该三位数是169， 当时，，与原数是三位数矛盾， ∴所有符合条件的三位数为125、147、169． 【变式10-1】（25-26七年级上·河北保定·期末）（发现）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫做“对称数”．如202、343、666等都是“对称数”． (1)填空： ① ②__________=__________ ③ (2)小敏观察（1）后有一个猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除，请你再任意写出另外两个对称数，并通过计算验证小敏的猜想． (3)设为一个对称数，请通过计算和推理说明小敏的猜想是正确的． 【答案】(1)333， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解“对称数”的意义是解题的关键． （1）根据题意，直接计算结果即可； （2）根据题意，可以计算出两个对称数，然后根据题目中的方法验证小敏的猜想； （3）根据题意，可以用含a、b的式子表示出小敏猜想的结果，然后分解因式，即可证明小敏的猜想正确． 【详解】（1）解：②333，； （2）解：363，； 888，；（答案不唯一） （3）解：设， 则 ． 能被9整除， 能被9整除， 小敏的猜想是正确的． 【变式10-2】（25-26八年级上·广西玉林·期末）阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，因式分解的应用，非负数的性质，掌握好配方法和换元法是关键． （1）先使用题干的配方法，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）将看作整体，利用完全平方公式进行因式分解，再将换成即可； （3）先将系数化整，分别对、、进行配方，由非负数的性质求出、、的值，然后判断的形状． 【详解】（1）解：； （2）解：设， ， ∴； （3）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式10-3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 【答案】(1)a的值为0，b的值为 (2)x的值为或或4； (3)或或 【分析】本题主要考查了因式定理的应用、二元一次方程组的解法、一元三次方程的因式分解与求解、平方差公式的应用以及整数的性质，熟练掌握利用因式定理对多项式进行因式分解以及根据平方差公式和整数性质求解不定方程是解题的关键． （1）根据因式定理，将和代入多项式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值． （2）先由(1)得到的具体表达式，再根据列出方程，通过因式定理找出方程的因式，分解因式后求解方程． （3）先计算和的值，根据题意设、，两式相减得到平方差，利用平方差公式分解后，根据正整数的性质列出所有可能的因数分解情况，进而求出的正整数解． 【详解】（1）解：∵， ∴即① ∵， ∴ 即② 联立①②得 解得 ∴a的值为0，b的值为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 当时，， ∴是的因式， 当时，， ∴是的因式， 设另一个因式为， 则， 即， 解得， ∵， ∴， ∴或或， ∴x的值为或或4； （3）解：当，， 当，， ∵能写成某些正整数的平方， ∴，能写成某些正整数的平方， 不妨设①，②（其中，都是正整数）， 得：，即， ∵， 且，同奇同偶，且， 所有可能情况如下： 或或或或， 解得或或或或， 此时或或或或， ∵正整数m， ∴或或． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的正误判断． 依据因式分解的定义（将多项式化为几个整式乘积的形式），结合平方差公式、完全平方公式、十字相乘法逐项验证即可． 【详解】解：因式分解的结果必须是几个整式的乘积形式． A选项的结果不是乘积形式，不符合因式分解的定义，错误； B选项，与选项的结果不一致，错误； C选项根据完全平方公式，，正确； D选项根据十字相乘法，，与选项的结果不一致，错误； 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）已知下列各组多项式：①和；②和；③和；④和．上述各组中有相同公因式的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题考查公因式的判断，解题思路为对每组中两个多项式分别因式分解，再判断是否有相同公因式，统计符合要求的组数即可． 【详解】解：① ，有相同公因式，； ② ，有相同公因式； ③ ∵，本组有相同公因式； ④ ，另一多项式为，本组无相同公因式； 综上，共有3组有相同公因式． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期末）若，且，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】两式作差后，利用因式分解进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 4．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整式的混合运算． 根据整式的值与无关求出，然后得出，，对多项式进行整理得出结果为，根据平方的非负性即可得出最小值． 【详解】解： ∵多项式的值与无关， ∴， 整理得， ∴，则两式相减得， ∵ 当时，取最小值，最小值为3， 故选：A． 二、填空题 5．（25-26八年级上·山西忻州·期末）分解因式的结果是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握公式法和提公因式法． 先提取公因式2，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·重庆·期末）若关于的二次三项式有一个因式为，则的值为_______． 【答案】5 【分析】本题考查了因式分解，多项式的乘法． 根据一个因式为得到另一个因式应为，计算，即可求出的值． 【详解】解：∵关于的二次三项式有一个因式为， ∴另一个因式应为， ∵， ∴． 故答案为：5． 7．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值、因式分解，利用平方差公式将分解为，然后代入已知条件，简化表达式后得到，再次代入 即可求值． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2027． 8．（25-26八年级上·重庆合川·期末）已知三角形的三边为，满足，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，故，结合三角形三边关系得，又因为c为最长边且为偶数，故或或，最后列式计算求出该三角形的周长，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 解得， ∵三角形的三边为，满足， ∴， ∴， ∵c为最长边， ∴， ∵c为偶数， 故或或， 则或或， ∴该三角形的周长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 9．（25-26八年级上·山东烟台·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26八年级上·山东滨州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）先利用完全平方公式法进行因式分解，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 11．（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)15 (2)19 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值． （1）将原式变形为，再代入求值即可； （2）将原式变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解： 当时， 原式； （2）解： 当时， 原式． 12．（25-26八年级上·河南周口·期末）【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）将原式分为与，然后根据平方差公式和提公因式法分解因式； （2）先将原式因式分解为，然后根据a，b，c为三角形的三条边，均为正数，判断出，根据等腰三角形的定义判定出三角形的形状． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ∵a，b，c均为正数， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义及常用方法（提公因式法、公式法），判断每个选项是否将多项式化为几个整式的乘积形式且分解彻底即可． 【详解】解：A选项：，故A错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：的结果不是整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，故D错误． 故选：B． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式、整体代入法求代数式的值，先利用平方差公式对所求代数式进行因式分解，可得：原式，再将分解后的式子与已知条件建立联系，代入计算即可得出结果. 【详解】解： ， ，， 原式 ． 故选：B． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知实数满足为自然数，则的最小值是（    ） A．11 B．12 C．13 D．16 【答案】C 【分析】本题考查因式分解及配方法确定代数式取值范围，联立等式消去n，结合的条件得出a与b的关系，再将n转化为关于a的二次式，结合自然数的要求确定最小值． 【详解】解：∵ ∴ 整理得 因式分解得 即 ∵ ∴，即 将代入，得 ∵ ∴，解得 ∴，故 又∵n为自然数 ∴n的最小值是13． 故选：C． 4．（25-26八年级上·四川泸州·期末）定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（    ） A．17是和谐数 B．（，是整数）不一定是和谐数 C．如果，都是和谐数（），则也是“和谐数” D．当时，（，是整数）是“和谐数” 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．根据“和谐数”的定义，利用完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A.， 17是和谐数，故该说法正确，不符合题意； B. ， （是整数）一定是和谐数，故该说法错误，符合题意； C. ， 都是“和谐数”，设， 原式 ， 也是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意； D.， ， 当时，（是整数）是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26八年级上·广西南宁·期末）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，观察表达式，发现前三项构成完全平方式，整体可视为平方差形式，应用公式分解法． 【详解】解： 故答案为：. 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为_____． 【答案】2035 【分析】此题考查了因式分解的应用，将原式利用平方差公式分解，并代入已知条件，逐步化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2035． 7．（25-26八年级上·山东滨州·期末）已知实数，满足，，则代数式______，代数式______． 【答案】 34 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．第一问利用完全平方公式将转化为后代入求值；第二问通过因式分解将表达式变形为后代入计算． 【详解】解：∵，， ∴； ． 故答案为：34；． 8．（25-26六年级上·山东烟台·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第6个“智慧优数”是________． 【答案】21 【分析】根据“智慧优数”的定义，利用平方差公式，分别计算不同值下“智慧优数”，并从小到大排列，找到第6个即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由于，且m，n为正整数，设，则． 当时， ，得到：8，12，16，20，24，28，32，…… 当时，“智慧优数”为，得到：15，21，27，33，39，45，…… 当时，“智慧优数”为，得到：24，32，40，48，56，64，…… 当时，“智慧优数”为，得到：35，45，55，65，75，85，…… 当时，“智慧优数”为，得到：48，60，72，84，96，108，…… 将这些“智慧优数”从小到大排列：8，12，15，16，20，21，24，27，32，35，45，48，60，…… 故第6个“智慧优数”是21， 故答案为：21． 三、解答题 9．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法（平方差公式、完全平方公式）的综合运用，熟练掌握因式分解的一般步骤（一提、二套、三查）是解题的关键． （1）先找出多项式各项的公因式，再提取公因式完成因式分解． （2）将多项式看作平方差形式，利用平方差公式进行分解． （3）先提取公因式，再对余下的多项式使用完全平方公式进行二次分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 10．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成块，其中有块是边长为厘米的大正方形，块是边长为厘米的小正方形，块是长为厘米，宽为厘米的相同的小长方形，且． (1)观察图形，发现代数式可以因式分解为 ． (2)若图中阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)平方厘米 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式与图形面积，完全平方公式变形求值． （1）根据长方形的面积的两种表示方法，即可求解； （2）根据已知得出，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：根据图形大长方形纸板可以表示为代数式，也可以表示为 ∴ （2）解：图中阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米， ，， ∴，． ∵，，解得． 空白部分的面积平方厘米)． 11．（25-26八年级上·山东临沂·期末）【阅读材料】：某同学研究十位数字是（是至的整数），个位数字是的两位数的平方，发现了如下运算规律： ， ， ， …… 任务： (1)请用含的式子写出你发现的规律； (2)请证明你发现的规律； (3)请证明个位数字是的两位数的平方是的倍数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，完全平方公式的应用，因式分解的应用，根据已知等式得出变化规律是解题的关键． （1）根据已知式子得出变化规律即可； （2）根据完全平方公式和提公因式法对式子变形即可得证； （3）根据提公因式法对式子变形即可得证． 【详解】（1）解：观察可知：； （2）证明： ， 十位数字是，个位数字是的两位数的平方是； （3）证明： ， 是至的整数， 是整数， 是的倍数． 12．（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在分解因式、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法分解因式： 原式； ②求的最小值． 解： 先求出的最小值， ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法分解因式：； (3)若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是通过凑项构造完全平方式，利用平方数的非负性进行因式分解、求最值及大小比较． （1） 根据完全平方公式 ，对于 ，，得 ，故常数项为 ． （2） 将 凑成 ，再用平方差公式分解． （3）计算 ，配方后利用平方数的非负性判断符号． 【详解】（1）解：根据完全平方公式，需要添加的常数项为一次项系数一半的平方，即， 即， 故答案为：． （2）解： ； （3） ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $