第一章 因式分解（必备知识+5大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

该初中数学因式分解单元知识清单系统梳理了因式分解的核心内容，涵盖概念与整式乘法的关系、提公因式法与公式法等基本方法、一般步骤及五大易错点，为学生搭建了从基础概念到方法应用再到易错突破的递进式学习架构。 清单通过分类呈现知识体系，将易错点分为已知结果求参数等五类，每类配易错总结和注意事项，培养学生的抽象能力与推理意识。特别设计“易错点提醒”和“例题变式”，如提公因式法强调符号处理，十字相乘法注重常数项分解，帮助不同基础学生高效掌握，教师可据此精准设计教学，提升课堂实效。

第一章 因式分解 一、因式分解的概念 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 2.与整式乘法的关系： 互逆关系：因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形。 区别：整式乘法是“积化和差”，结果是多项式；因式分解是“和差化积”，结果是整式的乘积形式。 验证方法：可用整式乘法（将因式相乘）的结果与原多项式对比，来验证因式分解的正确性。 二、因式分解的基本方法 1. 提公因式法 公因式：多项式各项都含有的相同因式。 确定公因式的方法： 系数：取各项系数的最大公约数。 字母：取各项相同的字母。 指数：相同字母取最低次幂。 步骤：ma + mb + mc = m(a + b + c)，把公因式提到括号外面。 2. 公式法 （1）平方差公式：公式：a²- b²= (a + b)(a - b)。 特征：两项式，两项符号相反，且都能写成平方的形式。 （2）完全平方公式：公式：a² + 2ab + b²= (a + b)²；a²- 2ab + b²= (a - b)²。 特征：三项式，其中有两项是平方项（且符号相同），另一项是这两个数（或式）的乘积的±2倍。 三、因式分解的一般步骤 1.一提：若多项式各项有公因式，则先提取公因式。 2.二套：提取公因式后（或无公因式），再考虑能否用平方差公式或完全平方公式继续分解。 3.三彻底：检查每个因式是否还能继续分解，必须分解到不能再分解为止。 四、易错点提醒 1.漏项：提公因式后，括号内的项数应与原多项式项数相同。例如，3x²y - 6xy² = 3xy(x - 2y)，括号内不能漏掉“1”。 2.符号：当多项式第一项系数为负时，通常先提取负号，使括号内第一项系数为正。例如，-a²- b²+ 2ab = -(a²- 2ab + b²) = -(a - b)²。 3.不彻底：分解要彻底。例如，x⁴- 1 = (x² + 1)(x²- 1)，还要继续分解到(x² + 1)(x + 1)(x - 1)才算完成。 易错点1 已知因式分解的结果求参数 **已知因式分解结果求参数易错总结** 1. **展开漏项**：将分解结果展开时，合并同类项不彻底，导致对应系数不全。 2. **符号处理错误**：分解式中含负号时，展开后常数项或一次项符号易错。 3. **多解情况遗漏**：参数可能取多个值（如平方项系数含参），只求出一个解。 4. **恒等式对应错**：展开式与原式对应系数时，相同次数的项找错。 **注意事项**： - **严格展开**：逐项相乘，合并同类项后再与原式对照。 - **列方程组**：根据对应项系数相等列出方程（组）。 - **分类讨论**：参数出现在高次项时，需讨论系数为零情况。 - **检验代入**：求出参数后，代入验证分解式是否等于原式。 【例1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式为，k的值为 【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确假设出另一个因式是解题关键． (1)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案； (2)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【详解】（1）解：(1)设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，p的值为6； （2）设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，k的值为． 【变式】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 易错点2 综合提公因式和公式法分解因式 **综合提公因式和公式法分解因式易错总结** 1. **提公因式不彻底**：只提取部分公因式，导致括号内还能继续分解。 2. **公式识别错误**：将平方差与完全平方公式混淆，如 \(a^2 - b^2\) 误写成 \((a-b)^2\)。 3. **符号处理不当**：提负号时括号内各项未变号，或首项为负未提取负号。 4. **分解不完整**：提公因式后括号内仍是可分解的多项式（如二次三项式），未继续分解。 **注意事项**： - **先看系数**：提取各项系数的最大公约数。 - **再看字母**：提取相同字母的最低次幂。 - **检查项数**：两项考虑平方差，三项考虑完全平方或十字相乘。 - **彻底分解**：每个因式都要分解到不能再分为止。 【例2】（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【变式】（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，选择合适的方法进行因式分解是解题的关键． （1）用平方差公式进行因式分解； （2）综合提取公因式法和公式法进行因式分解； （3）用十字相乘法进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 易错点3 十字相乘法因式分解 **十字相乘法因式分解易错总结** 1. **常数项分解错误**：将常数项分解成两个因数时，符号搭配不对，导致一次项系数不符。 2. **交叉相乘漏项**：只考虑竖向因数分解，忘记交叉相乘后求和应等于一次项系数。 3. **首项系数非1处理不当**：二次项系数不是1时，因数分解组合方式较多，易遗漏或重复。 4. **符号规律不熟**：常数项为正时两因数同号，为负时异号，符号规律记反。 **注意事项**： - **先定符号**：根据一次项和常数项符号确定因数的符号。 - **逐对尝试**：列出所有可能的因数对，计算交叉和匹配一次项系数。 - **检验展开**：分解后重新展开，验证是否等于原式。 - **整体代换**：对复杂多项式，可先换元再十字相乘。 【例3】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示，仿照上述解决下列问题：    (1)因式分解：； 睿睿做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则________；________； ∴（____）（____） (2)因式分解：； 【答案】(1)2，4，2，4 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解分解可得． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为，则；； 所以． 故答案为：2，4，2，4． （2）解：一次项为：，则常数项为， 则． 【变式】（24-25八年级上·全国·期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数 （2）常数项，验算：“交叉相乘之和”． ①；②；③；④ （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数，即，则．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 仿照以上方法分解因式． 二次项系数_________________． 常数项____________． 发现“交叉相乘之和”的结果______________________________等于一次项系数______，则______． 【答案】见解析 【分析】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，解答关键是仿照例题方法解题．根据题意利用十字相乘解题即可． 【详解】解：二次项系数． 常数项 发现“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 则． 易错点4 分组分解法因式分解 **分组分解法因式分解易错总结** 1. **分组不当**：分组后组内无法提公因式或应用公式，导致无法继续分解。 2. **组间公因式遗漏**：分组提取公因式后，两组之间仍有公因式未提取。 3. **符号处理错误**：分组时若提出负号，括号内各项未变号。 4. **分解不彻底**：分组分解后得到的因式仍可继续分解，未进行到底。 **注意事项**： - **观察项数**：四项常按“两两”分组或“三项一组”；六项按“三三”或“二二二”分组。 - **分组目标**：使每组能提公因式或用公式，且组间出现相同因式。 - **灵活调整**：一种分组不行，尝试重新分组。 - **检查结果**：分解后每个因式均不可再分解。 【例4】（24-25八年级上·山东淄博·期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲：        分成两组 ．            各组提公因式因式分解 乙：        分成两组 ．            平方差公式因式分解 请你在他们解法的启发下，因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法和提取公因式因式分解成为解题的关键． 按照乙的思路运用分组法和公式法因式分解即可． 【详解】解： ． 【变式】（24-25八年级下·江西吉安·期末）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ______． (2)解决问题：因式分解：； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个三角形是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，正确理解题意掌握分组法进行因式分解是解题的关键． （1）把和看做一组，分别提取公因数，公因式y，得到，再提取公因式即可得到答案； （2）把和看做一组，分别提取公因数和用平方差公式分解因式，得到，再提取公因式即可得到答案； （3）把已知条件式左边利用分组法结合完全平方公式进行分解因式推出，进而根据非负数的性质推出，由此可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：这个三角形为等边三角形，理由如下： ， ， ， ，， ，， ， 这个三角形为等边三角形． 易错点5 因式分解的应用 **因式分解的应用易错总结** 1. **求值代入混乱**：用因式分解简化求值问题时，未先分解再代入，直接计算导致繁琐易错。 2. **整除判断遗漏**：证明整除时，未将式子分解成含除数的因式形式，导致推理不完整。 3. **解方程丢根**：解高次方程时，两边同除以含未知数的式子，导致丢失零根。 4. **几何应用误用**：面积或体积问题中，未正确分解表达式，导致边长关系判断错误。 **注意事项**： - **先分解后代值**：求值问题先因式分解，再代入已知量。 - **化为乘积形式**：整除问题将式子写成 \(k \times \text{除数}\) 的形式。 - **勿除未知式**：解方程时移项分解，不除以含未知数的式子。 - **结合几何意义**：几何问题中分解结果对应边长和差关系。 【例5】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）通过课堂学习可知，多项式及叫做完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，常采用配方法进行变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，保证整个式子的值不变，通过这种方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式的过程为：； 再如：求代数式最小值的过程为：，则当时，有最小值，最小值是－8． 根据上述方法解决下列问题： (1)因式分解：______； (2)代数式的最小值为______； (3)若，，判断M、N的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)；证明见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，不等式的性质，完全平方公式等知识点． （1）根据题干方法求解即可； （2）根据题干方法求解即可； （3）先计算，再由配方法将其化为，最后根据平方的非负性和不等式的性质得到，即可比较大小． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， 故答案为：； （3）解：，理由如下： ∵， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴． 【变式】（25-26八年级上·重庆忠县·期末）【综合与实践】在一次数学拼图实践活动中，数学兴趣小组为活动准备了如图1所示的三种A，B，C形状的纸片各若干张，纸片A，B分别是边长为a，的正方形，纸片C是长为b，宽为a的长方形． (1)若小忠同学用图1中x张纸片A，y张纸片B，z张纸片C拼成了一个面积为的长方形，求的值； (2)小义同学不仅用了图1中若干纸片，还自制了几张含边长为c的正方形及长方形纸片，然后拼成了图2边长为的正方形． ①观察图2的面积关系，写出含a，b，c的等量关系式； ②若，，根据①的结论，求的值； (3)小忠同学继续探索，用自制的8块积木拼成了如图3的棱长为的正方体，根据图3，写出的等式，若，，求的值． 【答案】(1)13 (2)①；② (3)，630 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键： （1）将展开，求出的值，代入代数式进行计算即可； （2）①利用分割法表示出正方形的面积，即可得出等量关系式；②结合①中关系式利用整体代入法，进行求解即可； （3）根据分割法表示出正方体的体积，即可得出结果，将进行因式分解后，利用整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∵纸片A，纸片B，纸片C的面积分别为， ∴， ∴； （2）解：①由图形可知：； ②∵，， ∴， ∴； （3）解：由图可知：； ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 一、解答题 1．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解； （2）利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了综合提公因式法与公式法，分组分解法因式分解，熟练掌握相关运算方法为解题关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2） ． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，准确的计算是解题的关键． （1）运用提公因式法即可求解； （2）运用十字相乘法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25九年级上·山东威海·期末）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）提取公因式即可； （3）根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：                                 ； （3）解：原式． 5．（25-26八年级上·甘肃·期末）阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： (1)分解； (2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键． （1）仿照题意找到两个数的和为负1，积为负12即可得到答案； （2）可分解为，其中，，根据题意可推出a、b都为整数，再把分解成两个整数的乘积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得，可分解为，其中，， ∵m为整数， ∴为整数， 又∵， ∴a、b都为整数， ∵， ∴或或或或或 ∴的可能值为，，． 6．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）新定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”．例如：；所以4，12，24都是“比肩数”． (1)初步感知：设两个连续正整数为和，当时，比肩数为___________； (2)进阶探究：请用含正整数的代数式表示“比肩数”，并判断60是否为比肩数； (3)拓展应用：试说明：对于任意正整数，两个连续的比肩数，之和是一个完全平方数的4倍． 【答案】(1)40 (2)“比肩数”为，60是比肩数 (3)理由见详解 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“比肩数”的定义可直接代入进行求解； （2）设两个连续正整数为和，根据“比肩数”的定义可得，然后问题可进行求解； （3）由（2）可知：，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴这个比肩数是； 故答案为40； （2）解：设两个连续正整数为和，则根据“比肩数”的定义可知： ， ∴“比肩数”是两个连续正整数积的两倍， ∵， ∴60是“比肩数”； （3）解：由（2）可知：， ∴ ， ∵是完全平方数 ∴是一个完全平方数的4倍． 7．（25-26八年级上·四川广元·期末）先阅读下列题目的解答过程，然后解答后面的问题． 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，则____________； (2)已知是多项式的一个因式，求的值，并将该多项式分解因式． 【答案】(1)7 (2)， 【分析】本题考查了解三元一次方程组，待定系数法在因式分解中的应用，读懂阅读材料中的分解方法，是解题的关键． （1）根据多项式乘法将等式右边展开有：，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值； （2）设，将等式右边展开，比较系数，得关于p，a，b的三元一次方程组，解方程组，再进行因式分解即可． 【详解】（1）由题设知：， 故， 解得． 故答案为：7； （2）解：设， ∵ ， ∴， 解得：， ∴多项式， ∴ ， ∴，该多项式分解因式为：． 8．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现： 形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）， 即（p，q为整数）． 反之，（p，q为整数）． 由于因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以形如（p、q为整数）的多项式，可因式分解成．例如： 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是 ； 【拓展应用】（3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）5或7或或（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，进行两次因式分解解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：，此时； ，此时； ，此时； ，此时； 则整数m的所有可能值是5或7或或． （3）解： ． 9．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 原式= 例如：求代数式 的最小值． 原式 ∴当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： _ ．代数式 的最小值为 ； (2)若 则当 时，y有最 值(填“大”或“小”)，这个值是 ； (3)当a， b， c分别为的三边长， 且满足 时，求c的取值范围． 【答案】(1)；3 (2)1；大； (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，三角形的三边关系，解决本题的关键是理解配方法的解答过程． （1）按照配方法将式子进行因式分解；用配方法将式子写成一个完全平方公式和一个常数的和，据此可得该式子有最小值． （2）将进行配方，求出该式子有最大值，求出结果即可； （3）将题中式子进行配方，得到两个完全平方公式的和为0，根据完全平方公式的非负性，求出，然后求出c的取值范围． 【详解】（1）解： ； ， ， 当时，有最小值，最小值是3． 故答案为：；3． （2）解： ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值是． 故答案为：1；大；． （3）解：， 即， 即， 所以，， 所以，， a，b，c分别为的三边长， ， 即． 10．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式=； 解法二：原式=． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解： 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解： 【应用】（3）已知的三边a，b，c满足，请通过计算说明是什么三角形? 【答案】（1）；（2）；（3）三角形为等腰三角形，计算说明见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用题中示例的分组分解法分解因式． （1）运用分组分解法将式子进行因式分解； （2）运用分组分解法将式子进行因式分解； （3）运用分组分解法将式子进行因式分解，再根据三角形三边关系，可得，据此可得三角形为等腰三角形． 【详解】解：（1） （2） （3）， ， ， ， ∵a，b，c是的三边， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 因式分解 一、因式分解的概念 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 2.与整式乘法的关系： 互逆关系：因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形。 区别：整式乘法是“积化和差”，结果是多项式；因式分解是“和差化积”，结果是整式的乘积形式。 验证方法：可用整式乘法（将因式相乘）的结果与原多项式对比，来验证因式分解的正确性。 二、因式分解的基本方法 1. 提公因式法 公因式：多项式各项都含有的相同因式。 确定公因式的方法： 系数：取各项系数的最大公约数。 字母：取各项相同的字母。 指数：相同字母取最低次幂。 步骤：ma + mb + mc = m(a + b + c)，把公因式提到括号外面。 2. 公式法 （1）平方差公式：公式：a²- b²= (a + b)(a - b)。 特征：两项式，两项符号相反，且都能写成平方的形式。 （2）完全平方公式：公式：a² + 2ab + b²= (a + b)²；a²- 2ab + b²= (a - b)²。 特征：三项式，其中有两项是平方项（且符号相同），另一项是这两个数（或式）的乘积的±2倍。 三、因式分解的一般步骤 1.一提：若多项式各项有公因式，则先提取公因式。 2.二套：提取公因式后（或无公因式），再考虑能否用平方差公式或完全平方公式继续分解。 3.三彻底：检查每个因式是否还能继续分解，必须分解到不能再分解为止。 四、易错点提醒 1.漏项：提公因式后，括号内的项数应与原多项式项数相同。例如，3x²y - 6xy² = 3xy(x - 2y)，括号内不能漏掉“1”。 2.符号：当多项式第一项系数为负时，通常先提取负号，使括号内第一项系数为正。例如，-a²- b²+ 2ab = -(a²- 2ab + b²) = -(a - b)²。 3.不彻底：分解要彻底。例如，x⁴- 1 = (x² + 1)(x²- 1)，还要继续分解到(x² + 1)(x + 1)(x - 1)才算完成。 易错点1 已知因式分解的结果求参数 **已知因式分解结果求参数易错总结** 1. **展开漏项**：将分解结果展开时，合并同类项不彻底，导致对应系数不全。 2. **符号处理错误**：分解式中含负号时，展开后常数项或一次项符号易错。 3. **多解情况遗漏**：参数可能取多个值（如平方项系数含参），只求出一个解。 4. **恒等式对应错**：展开式与原式对应系数时，相同次数的项找错。 **注意事项**： - **严格展开**：逐项相乘，合并同类项后再与原式对照。 - **列方程组**：根据对应项系数相等列出方程（组）。 - **分类讨论**：参数出现在高次项时，需讨论系数为零情况。 - **检验代入**：求出参数后，代入验证分解式是否等于原式。 【例1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【变式】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 易错点2 综合提公因式和公式法分解因式 **综合提公因式和公式法分解因式易错总结** 1. **提公因式不彻底**：只提取部分公因式，导致括号内还能继续分解。 2. **公式识别错误**：将平方差与完全平方公式混淆，如 \(a^2 - b^2\) 误写成 \((a-b)^2\)。 3. **符号处理不当**：提负号时括号内各项未变号，或首项为负未提取负号。 4. **分解不完整**：提公因式后括号内仍是可分解的多项式（如二次三项式），未继续分解。 **注意事项**： - **先看系数**：提取各项系数的最大公约数。 - **再看字母**：提取相同字母的最低次幂。 - **检查项数**：两项考虑平方差，三项考虑完全平方或十字相乘。 - **彻底分解**：每个因式都要分解到不能再分为止。 【例2】（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： (1) (2) 【变式】（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)． 易错点3 十字相乘法因式分解 **十字相乘法因式分解易错总结** 1. **常数项分解错误**：将常数项分解成两个因数时，符号搭配不对，导致一次项系数不符。 2. **交叉相乘漏项**：只考虑竖向因数分解，忘记交叉相乘后求和应等于一次项系数。 3. **首项系数非1处理不当**：二次项系数不是1时，因数分解组合方式较多，易遗漏或重复。 4. **符号规律不熟**：常数项为正时两因数同号，为负时异号，符号规律记反。 **注意事项**： - **先定符号**：根据一次项和常数项符号确定因数的符号。 - **逐对尝试**：列出所有可能的因数对，计算交叉和匹配一次项系数。 - **检验展开**：分解后重新展开，验证是否等于原式。 - **整体代换**：对复杂多项式，可先换元再十字相乘。 【例3】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示，仿照上述解决下列问题：    (1)因式分解：； 睿睿做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则________；________； ∴（____）（____） (2)因式分解：； 【变式】（24-25八年级上·全国·期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数 （2）常数项，验算：“交叉相乘之和”． ①；②；③；④ （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数，即，则．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 仿照以上方法分解因式． 二次项系数_________________． 常数项____________． 发现“交叉相乘之和”的结果______________________________等于一次项系数______，则______． 易错点4 分组分解法因式分解 **分组分解法因式分解易错总结** 1. **分组不当**：分组后组内无法提公因式或应用公式，导致无法继续分解。 2. **组间公因式遗漏**：分组提取公因式后，两组之间仍有公因式未提取。 3. **符号处理错误**：分组时若提出负号，括号内各项未变号。 4. **分解不彻底**：分组分解后得到的因式仍可继续分解，未进行到底。 **注意事项**： - **观察项数**：四项常按“两两”分组或“三项一组”；六项按“三三”或“二二二”分组。 - **分组目标**：使每组能提公因式或用公式，且组间出现相同因式。 - **灵活调整**：一种分组不行，尝试重新分组。 - **检查结果**：分解后每个因式均不可再分解。 【例4】（24-25八年级上·山东淄博·期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲：        分成两组 ．            各组提公因式因式分解 乙：        分成两组 ．            平方差公式因式分解 请你在他们解法的启发下，因式分解：． 【变式】（24-25八年级下·江西吉安·期末）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ______． (2)解决问题：因式分解：； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 易错点5 因式分解的应用 **因式分解的应用易错总结** 1. **求值代入混乱**：用因式分解简化求值问题时，未先分解再代入，直接计算导致繁琐易错。 2. **整除判断遗漏**：证明整除时，未将式子分解成含除数的因式形式，导致推理不完整。 3. **解方程丢根**：解高次方程时，两边同除以含未知数的式子，导致丢失零根。 4. **几何应用误用**：面积或体积问题中，未正确分解表达式，导致边长关系判断错误。 **注意事项**： - **先分解后代值**：求值问题先因式分解，再代入已知量。 - **化为乘积形式**：整除问题将式子写成 \(k \times \text{除数}\) 的形式。 - **勿除未知式**：解方程时移项分解，不除以含未知数的式子。 - **结合几何意义**：几何问题中分解结果对应边长和差关系。 【例5】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）通过课堂学习可知，多项式及叫做完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，常采用配方法进行变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，保证整个式子的值不变，通过这种方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式的过程为：； 再如：求代数式最小值的过程为：，则当时，有最小值，最小值是－8． 根据上述方法解决下列问题： (1)因式分解：______； (2)代数式的最小值为______； (3)若，，判断M、N的大小关系，并说明理由． 【变式】（25-26八年级上·重庆忠县·期末）【综合与实践】在一次数学拼图实践活动中，数学兴趣小组为活动准备了如图1所示的三种A，B，C形状的纸片各若干张，纸片A，B分别是边长为a，的正方形，纸片C是长为b，宽为a的长方形． (1)若小忠同学用图1中x张纸片A，y张纸片B，z张纸片C拼成了一个面积为的长方形，求的值； (2)小义同学不仅用了图1中若干纸片，还自制了几张含边长为c的正方形及长方形纸片，然后拼成了图2边长为的正方形． ①观察图2的面积关系，写出含a，b，c的等量关系式； ②若，，根据①的结论，求的值； (3)小忠同学继续探索，用自制的8块积木拼成了如图3的棱长为的正方体，根据图3，写出的等式，若，，求的值． 一、解答题 1．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）因式分解 (1) (2) 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）因式分解 (1) (2) 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）因式分解： (1) (2)． 4．（24-25九年级上·山东威海·期末）因式分解： (1) (2) (3) 5．（25-26八年级上·甘肃·期末）阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： (1)分解； (2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 6．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）新定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”．例如：；所以4，12，24都是“比肩数”． (1)初步感知：设两个连续正整数为和，当时，比肩数为___________； (2)进阶探究：请用含正整数的代数式表示“比肩数”，并判断60是否为比肩数； (3)拓展应用：试说明：对于任意正整数，两个连续的比肩数，之和是一个完全平方数的4倍． 7．（25-26八年级上·四川广元·期末）先阅读下列题目的解答过程，然后解答后面的问题． 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，则____________； (2)已知是多项式的一个因式，求的值，并将该多项式分解因式． 8．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现： 形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）， 即（p，q为整数）． 反之，（p，q为整数）． 由于因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以形如（p、q为整数）的多项式，可因式分解成．例如： 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是 ； 【拓展应用】（3）分解因式：． 9．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 原式= 例如：求代数式 的最小值． 原式 ∴当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： _ ．代数式 的最小值为 ； (2)若 则当 时，y有最 值(填“大”或“小”)，这个值是 ； (3)当a， b， c分别为的三边长， 且满足 时，求c的取值范围． 10．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式=； 解法二：原式=． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解： 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解： 【应用】（3）已知的三边a，b，c满足，请通过计算说明是什么三角形? 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $