第4章 二次函数（知识清单，5考点+7易错+易错训练）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学二次函数单元知识清单系统梳理了核心内容，涵盖概念、图象与性质、表达式、与方程不等式关系及应用，构建了从概念辨析到图象解析，再到表达式选择及实际问题解决的递进式学习支架。 清单以“易错点专项突破”为特色，通过7类易错点分类（如忽略a≠0条件、混淆开口方向与|a|关系等）配合“提醒+对点训练”设计，培养学生抽象能力与推理意识。例如“求最值忽略自变量范围”易错点配有实例分析，助力学生规避错误，教师可据此设计分层教学，提升复习效率。

第4章 二次函数 知识点一 二次函数的概念 1. 定义：一般地，形如 （，， 是常数，）的函数叫做二次函数。 2. 条件：二次项系数 ，这是判断一个函数是否为二次函数的关键。若 ，则函数退化为一次函数或常数函数。 3. 自变量取值范围：二次函数的自变量 通常取全体实数，但在实际问题中需根据实际意义确定取值范围。 知识点二 二次函数的图象与性质 1. 二次函数的图象是一条抛物线，是轴对称图形。 2. 开口方向与大小：当 时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下。 越大，抛物线开口越窄； 越小，开口越宽。 3. 顶点坐标与对称轴：抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为直线 。 4. 增减性与最值：当 时，在对称轴左侧 随 的增大而减小，在对称轴右侧 随 的增大而增大，顶点处取得最小值 ；当 时则相反，顶点处取得最大值。 5. 抛物线与 轴的交点：令 ，得 ，故抛物线与 轴交于点 。 知识点三 二次函数的表达式 1. 一般式：（）。适用于已知图象上任意三点坐标的情形。 2. 顶点式：（），其中顶点坐标为 ，对称轴为直线 。适用于已知顶点或对称轴的情形。 3. 交点式：（），其中 ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标。适用于已知与 轴两个交点坐标的情形。 4. 待定系数法：设→代→解→回代，合理选择表达式形式可事半功倍。 知识点四 二次函数与一元二次方程、不等式 1. 二次函数 的图象与 轴的交点的横坐标，就是一元二次方程 的实数根。 2. 交点个数由判别式 决定： 两交点； 一交点； 无交点。 3. 利用二次函数图象可以直观求解一元二次不等式。 知识点五 二次函数的应用 1. 最值问题：将实际问题中的数量关系抽象为二次函数模型，通过求顶点坐标或利用函数的增减性解决最大（小）值问题。 2. 实际问题中的自变量取值范围：必须结合实际意义确定，求出的最值需检验是否在取值范围内。 3. 常见类型：最大利润、最大面积、最小成本、抛物线型运动轨迹。 易错点1忽略二次函数定义中a≠0的条件 易错提醒 在判断一个函数是否为二次函数时，只看是否含 项，容易忽略二次项系数 这个前提条件。当二次项系数含有字母参数时，必须分类讨论 与 两种情况。 遇到“二次函数”字样，首先写出 ，再结合题目其他条件列方程或不等式求解。求出的参数值必须代入检验是否满足 。 【对点训练】1．下列是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 易错点2混淆抛物线开口方向与|a|的关系 易错提醒 的符号决定开口方向， 的大小决定开口宽窄。部分同学会把“开口向上”与“越大开口越大”混淆，导致判断错误。 开口方向看的正负；开口大小看的大小，越大抛物线越“瘦”， 越小越“胖”。 【对点训练】2．已知四个二次函数的图像如图所示，那么，，，的大小关系是_____（请用“”连接排序） 易错点3求最值时忽略自变量的取值范围 易错提醒 实际问题中自变量往往受到实际意义的限制，但部分同学直接用顶点坐标求最值，忽略了自变量是否包含对称轴。若对称轴不在取值范围内，需在区间端点处求最值。 解应用题时先确定自变量的取值范围，再判断对称轴是否在该范围内，最后结合图象的增减性求最值。 【对点训练】3．（25-26九年级上·湖南怀化·期末）已知二次函数（m为不等于0的常数），当时，函数y的最小值为，则m的值为________． 易错点4待定系数法时设错解析式形式 易错提醒 已知条件不同，应灵活选择一般式、顶点式或交点式。若已知顶点却设一般式，会增大计算量且容易出错；若已知与轴交点却用一般式，同样不够简便。 已知三点坐标用一般式；已知顶点或对称轴用顶点式；已知与轴两交点用交点式。合理选择解析式形式可事半功倍。 【对点训练】4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点坐标是． (1)求、的值． (2)判断点是否在该二次函数图象上，并说明理由． 易错点5二次函数与方程关系判断错误 易错提醒 抛物线与轴交点个数由判别式决定，但部分同学会忽略的前提，或在时误认为没有实数根。此外，由函数值正负解不等式时也容易把区间写反。 先将函数化为一般式，计算；两交点，一交点，无交点。解不等式时结合开口方向与图象位置判断。 【对点训练】5．若二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是______． 易错点6抛物线平移规律记错 易错提醒 抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”的原则，但部分同学对“左加右减”的对象理解不清，误将的变化方向搞反；或在上下平移时只对常数项加减，忽略了顶点式中的。 顶点式中，左右平移改变（左加右减），上下平移改变（上加下减）。建议先化为顶点式再平移。 【对点训练】6．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 易错点7二次函数各项系数符号与图象之间的关系 易错提醒 根据抛物线图象判断及的符号时，容易混淆开口方向与的关系、对称轴位置与、的关系、与轴交点与的关系。 看开口方向；与 共同决定对称轴位置（“左同右异”）； 看抛物线与轴交点；看与轴交点个数。多画草图、数形结合可减少错误。 【对点训练】7．已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，给出下列结论：①；②；③；④（m为任意实数），正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）抛物线的图像大致是（   ） A．B． C． D． 9．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知抛物线，下列结论中正确的是（　　） A．图象与轴的交点是 B．抛物线的开口向下 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 11．（25-26九年级上·广东惠州·期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知是抛物线（为常数）上的点，的大小关系是（） A． B． C． D． 13．如图，是二次函数的图象，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）抛物线上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 3 y … 6 2 0 2 … 从上表可知，时，y的值为（   ） 15．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）已知函数的图象如下，当时，函数y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·湖南怀化·期末）二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（    ） ①； ②； ③； ④若t为任意实数，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知二次函数（，为常数，且）中的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 3 4 3 0 … 以下结论：①对称轴为直线  ②函数最小值为4  ③时，  ④的解集是；正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 22．（25-26九年级上·湖南常德·期末）抛物线交x轴于，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①；②；③方程的两根为和3；④时，．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 23．若是关于x的二次函数，则m的值为______． 24．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如果点和点是抛物线（是常数，且）上的两点，那么______．（填“”、“”或“”） 25．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 26．已知二次函数与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 27．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________． 28．（24-25九年级下·湖南郴州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； (2)求这条抛物线的对称轴、顶点坐标． 29．已知二次函数．    (1)求二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当y随x的增大而减小时，求x的范围． 30．（25-26九年级上·湖南常德·期末）湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民家门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的． 素材二 一般采用的是长方体包装盒． (1)任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率； (2)任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．设裁掉的小正方形的边长为x，折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）为，写出关于的函数关系式？ (3)任务3：任务（2）中的长方体盒子侧面积有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出盒子侧面积的最大值． (4) 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 二次函数 知识点一 二次函数的概念 1. 定义：一般地，形如 （，， 是常数，）的函数叫做二次函数。 2. 条件：二次项系数 ，这是判断一个函数是否为二次函数的关键。若 ，则函数退化为一次函数或常数函数。 3. 自变量取值范围：二次函数的自变量 通常取全体实数，但在实际问题中需根据实际意义确定取值范围。 知识点二 二次函数的图象与性质 1. 二次函数的图象是一条抛物线，是轴对称图形。 2. 开口方向与大小：当 时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下。 越大，抛物线开口越窄； 越小，开口越宽。 3. 顶点坐标与对称轴：抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为直线 。 4. 增减性与最值：当 时，在对称轴左侧 随 的增大而减小，在对称轴右侧 随 的增大而增大，顶点处取得最小值 ；当 时则相反，顶点处取得最大值。 5. 抛物线与 轴的交点：令 ，得 ，故抛物线与 轴交于点 。 知识点三 二次函数的表达式 1. 一般式：（）。适用于已知图象上任意三点坐标的情形。 2. 顶点式：（），其中顶点坐标为 ，对称轴为直线 。适用于已知顶点或对称轴的情形。 3. 交点式：（），其中 ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标。适用于已知与 轴两个交点坐标的情形。 4. 待定系数法：设→代→解→回代，合理选择表达式形式可事半功倍。 知识点四 二次函数与一元二次方程、不等式 1. 二次函数 的图象与 轴的交点的横坐标，就是一元二次方程 的实数根。 2. 交点个数由判别式 决定： 两交点； 一交点； 无交点。 3. 利用二次函数图象可以直观求解一元二次不等式。 知识点五 二次函数的应用 1. 最值问题：将实际问题中的数量关系抽象为二次函数模型，通过求顶点坐标或利用函数的增减性解决最大（小）值问题。 2. 实际问题中的自变量取值范围：必须结合实际意义确定，求出的最值需检验是否在取值范围内。 3. 常见类型：最大利润、最大面积、最小成本、抛物线型运动轨迹。 易错点1忽略二次函数定义中a≠0的条件 易错提醒 在判断一个函数是否为二次函数时，只看是否含 项，容易忽略二次项系数 这个前提条件。当二次项系数含有字母参数时，必须分类讨论 与 两种情况。 遇到“二次函数”字样，首先写出 ，再结合题目其他条件列方程或不等式求解。求出的参数值必须代入检验是否满足 。 【对点训练】1．下列是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键； 根据二次函数的定义：一般地，把形如 ，（a、b、c是常数）的函数叫作二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．等号右边自变量的最高次数是2，逐项解答即可 【详解】解：A． ，符合二次函数的定义，故该选项符合题意； B．，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； C． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； D． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 易错点2混淆抛物线开口方向与|a|的关系 易错提醒 的符号决定开口方向， 的大小决定开口宽窄。部分同学会把“开口向上”与“越大开口越大”混淆，导致判断错误。 开口方向看的正负；开口大小看的大小，越大抛物线越“瘦”， 越小越“胖”。 【对点训练】2．已知四个二次函数的图像如图所示，那么，，，的大小关系是_____（请用“”连接排序） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次项系数与图像的关系是解题的关键． 直接利用二次函数的图像开口大小与a的关系即可得出答案． 【详解】解：根据图像可知，的图像和的图像的开口向上，且的图像的开口小于的图像的开口， ∴， 根据图像可知，的图像和的图像的开口向下，且的图像的开口大于的图像的开口， ∴， ∴． 故答案为：． 易错点3求最值时忽略自变量的取值范围 易错提醒 实际问题中自变量往往受到实际意义的限制，但部分同学直接用顶点坐标求最值，忽略了自变量是否包含对称轴。若对称轴不在取值范围内，需在区间端点处求最值。 解应用题时先确定自变量的取值范围，再判断对称轴是否在该范围内，最后结合图象的增减性求最值。 【对点训练】3．（25-26九年级上·湖南怀化·期末）已知二次函数（m为不等于0的常数），当时，函数y的最小值为，则m的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二次函数对称轴为直线，分和两种情况讨论取得最小值的点，分别代入求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ①当 时，开口向上，最小值在 处取得， 代入得， 令，解得； ②当时，开口向下，最小值在 处取得（因距离对称轴较远）， 代入得， 令，解得． 故答案为：或． 易错点4待定系数法时设错解析式形式 易错提醒 已知条件不同，应灵活选择一般式、顶点式或交点式。若已知顶点却设一般式，会增大计算量且容易出错；若已知与轴交点却用一般式，同样不够简便。 已知三点坐标用一般式；已知顶点或对称轴用顶点式；已知与轴两交点用交点式。合理选择解析式形式可事半功倍。 【对点训练】4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点坐标是． (1)求、的值． (2)判断点是否在该二次函数图象上，并说明理由． 【答案】(1)， (2)点在该二次函数图象上；理由见解析 【分析】本题主义考查了求二次函数的解析式，求函数值，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标是，分别求出b、c的值即可； （2）把代入二次函数判断即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴，， 解得：，； （2）解：点在该二次函数图象上；理由如下： 由（1）得二次函数的解析式为， 当时，， ∴在这个二次函数的图象上． 易错点5二次函数与方程关系判断错误 易错提醒 抛物线与轴交点个数由判别式决定，但部分同学会忽略的前提，或在时误认为没有实数根。此外，由函数值正负解不等式时也容易把区间写反。 先将函数化为一般式，计算；两交点，一交点，无交点。解不等式时结合开口方向与图象位置判断。 【对点训练】5．若二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据二次函数与一元二次方程的根的判别式的关系结合二次函数的定义解答． 【详解】解：根据题意可得：且， 解得：且； 故答案为：且． 【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，熟知抛物线与x轴有两个交点，则对应方程的判别式是解本题的关键． 易错点6抛物线平移规律记错 易错提醒 抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”的原则，但部分同学对“左加右减”的对象理解不清，误将的变化方向搞反；或在上下平移时只对常数项加减，忽略了顶点式中的。 顶点式中，左右平移改变（左加右减），上下平移改变（上加下减）。建议先化为顶点式再平移。 【对点训练】6．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出结果． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是． 易错点7二次函数各项系数符号与图象之间的关系 易错提醒 根据抛物线图象判断及的符号时，容易混淆开口方向与的关系、对称轴位置与、的关系、与轴交点与的关系。 看开口方向；与 共同决定对称轴位置（“左同右异”）； 看抛物线与轴交点；看与轴交点个数。多画草图、数形结合可减少错误。 【对点训练】7．已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，给出下列结论：①；②；③；④（m为任意实数），正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴和与轴的交点位置，判断①②③，最值判断④即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误，②正确； ∵；故③正确； ∵当时，最大为， ∴， ∴，故④错误； 故选B． 8．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）抛物线的图像大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的开口方向和顶点坐标即可判断． 本题主要考查了而函数图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键 【详解】解：∵抛物线中，， ∴图像开口向上，且顶点为坐标原点， 故选：A． 9．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：A． 10．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知抛物线，下列结论中正确的是（　　） A．图象与轴的交点是 B．抛物线的开口向下 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，即在中，对称轴为，顶点坐标为．根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：抛物线中，，抛物线开口向上，因此B选项错误，不符合题意； 当时，，图象与轴的交点是，因此A选项错误，不符合题意； 由解析式得，抛物线的顶点坐标为，因此C选项错误，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，随的增大而增大，因此D选项正确，符合题意； 故选：D． 11．（25-26九年级上·广东惠州·期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移规律．根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”直接计算，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度， 则平移后的抛物线的表达式为． 故选：A． 12．（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知是抛物线（为常数）上的点，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，通过抛物线的开口方向与对称轴，结合点到对称轴的距离判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ∵开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越远，函数值越小 又∵点在对称轴上，故是最大值． 点到对称轴的距离为 点到对称轴的距离为 ∵ ∴ ∴ 故选：B． 13．如图，是二次函数的图象，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象和性质． 根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系直接得出即可． 【详解】解：由函数图象可知，的图象开口更小， 根据系数越大，开口越小， ； 故选：A． 14．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）抛物线上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 3 y … 6 2 0 2 … 从上表可知，时，y的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称性，先由时所对应的和，得出该抛物线的对称轴为，结合二次函数的对称性，则与关于直线对称轴对称，且时，y的值为，据此即可作答． 【详解】解：∵当时，所对应的和， ∴该抛物线的对称轴为， ∵与关于直线对称轴对称， ∴时，y的值为6， 故选：D． 15．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 16．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）已知函数的图象如下，当时，函数y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．求解抛物线的对称轴为直线：，再进一步求解即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴抛物线的开口向上， ∴当时，函数y的值随x的增大而增大， ∵当时，函数y的值随x的增大而增大， ∴m的取值范围是． 故选：A． 17．如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．根据抛物线对称性及对称轴为直线求解． 【详解】解：抛物线对称轴为直线，与轴交于点， 由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为， 故选：A． 18．（25-26九年级上·湖南怀化·期末）二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当时，，即可判断③，当时，二次函数y取最小值，即（m为实数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴，，故②正确； ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵当时，， ∴， 故③错误； ∵当时，二次函数y取最小值， ∴（m为实数），即（m为实数），故④正确． 综上，正确结论的个数有3个． 故选：C． 19．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴，以及一次函数的斜率与截距的意义是解题的关键． 先根据一次函数的图象确定的符号，再结合二次函数的开口方向、对称轴等性质，逐一判断选项是否符合． 【详解】解：A、二次函数开口向上，；一次函数过一、三象限，，一次函数与y轴的正半轴相交，二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴右侧，符合，故A项可能． B、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故B项不可能． C、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故C项不可能． D、二次函数开口向下，；一次函数过二、四象限，，但二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴左侧，而图中对称轴在轴右侧，矛盾，故D项不可能． 故选：A． 20．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（    ） ①； ②； ③； ④若t为任意实数，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像与其系数之间的关系，根据开口方向可得，根据对称轴计算公式可得，根据与y轴的交点位置可得，据此可判断①；可求出当时，，据此可判断②；把点A的坐标代入解析式，可推出，据此可判断③；求出函数的最大值即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ∵抛物线与y轴的交点在与之间（不包括这两点）， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的图像与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线的图像与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线的图像与x轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴函数的最大值为 ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 21．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知二次函数（，为常数，且）中的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 3 4 3 0 … 以下结论：①对称轴为直线  ②函数最小值为4  ③时，  ④的解集是；正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像与性质、解不等式，利用给定点求出二次函数解析式，再逐一判断各结论． 【详解】解：由表，取点得，取点和， 得： 解得： ． ①对称轴，正确； ②，则函数有最大值，错误； ③时，，正确； ④不等式，解得，正确； ∴正确结论有个． 故选：C． 22．（25-26九年级上·湖南常德·期末）抛物线交x轴于，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①；②；③方程的两根为和3；④时，．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题．根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵抛物线交x轴于， ∴抛物线的对称轴为， ∴，即， ∴： ，故①正确； ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴，故②错误； ∵抛物线交x轴于， ∴方程的两根为和3，故③正确； ∵抛物线开口向上， ∴时，，故④正确． 故选：C 23．若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】2 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得：． 故答案为：2． 24．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如果点和点是抛物线（是常数，且）上的两点，那么______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了抛物线，掌握关于对称轴两点的纵坐标相等是解题的关键． 抛物线关于y轴对称，点A和点B的横坐标互为相反数，因此纵坐标相等． 【详解】解：由抛物线解析式，对称轴为y轴， 又， 点A和点B关于y轴对称， 则． 故答案为：． 25．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【答案】或 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 由图象可知，抛物线在直线上方时的的取值范围为或， 即不等式的解是或． 26．已知二次函数与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了已知二次函数的图象与x轴交点个数求参数，二次函数的定义，正确理解定义及与坐标轴交点的个数与判别式的关系是解题的关键． 根据二次函数与轴有两个公共点，则方程判别式大于零求解即可． 【详解】解：∵二次函数与x轴有两个公共点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 27．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想是解题的关键．根据抛物线与直线的交点坐标，结合图象即可解答． 【详解】解：二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，即点，点的横坐标分别为，8， 根据图象可得，使成立的的取值范围是或． 故答案为：或． 28．（24-25九年级下·湖南郴州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； (2)求这条抛物线的对称轴、顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把A点和B点坐标代入中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点，    解得 这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：． （2）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 29．已知二次函数．    (1)求二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当y随x的增大而减小时，求x的范围． 【答案】(1)对称轴是直线，顶点坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先把二次函数解析式化成顶点式即可得出答案； （2）根据顶点坐标，抛物线与y轴的交点坐标以及抛物线与x轴的交点坐标画出图象； （3）根据图象写出x的取值范围． 【详解】（1）解：， 所以对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：∵二次函数， ∴二次函数与x轴的交点坐标分别是：， 当时，， 与y轴交点是， 其图象如图所示：   ； （3）解：由图象知， 对称轴左侧当y随x增大而减小， 当y随x增大而减小时：． 【点睛】本题考查了抛物线与y、x轴的交点问题，主要利用了二次函数的性质，二次函数图象的作法，熟练掌握相关知识是解题关键． 30．（25-26九年级上·湖南常德·期末）湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民家门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的． 素材二 一般采用的是长方体包装盒． (1)任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率； (2)任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．设裁掉的小正方形的边长为x，折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）为，写出关于的函数关系式？ (3)任务3：任务（2）中的长方体盒子侧面积有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出盒子侧面积的最大值． (4) 【答案】(1) (2) (3)盒子侧面积的最大值为 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列方程并求解； （2）根据长方体的四个侧面的面积求关系式即可； （3）用配方法求解． 【详解】（1）解：设年平均增长率为，则有， 解得， 答：纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为； （2）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴； （3）解：，其中， 当时，有最大值， 答：盒子侧面积的最大值为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $