2026-2027学年广东省深圳市高三数学秋季开学考模拟练习卷

**基本信息** 2026年深圳高三数学开学考模拟卷，通过基础选择、分层填空及综合解答题（解三角形、立体几何、概率统计与新定义问题），检测开学初知识掌握与核心素养（数学思维、数学语言），适配高三起点摸底需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、概率、立体几何、函数性质|8单3多分层设计，第3题气象概率体现数学眼光| |填空题|3题15分|二项式定理、圆台与内切球、整数性质|第14题整数问题考查抽象能力，第13题结合空间几何直观| |解答题|5题77分|解三角形、立体几何、概率统计、圆锥曲线、新定义|17题AI机器人情境（数据意识），19题二元轮换式（创新思维），贴合高考综合命题趋势|

2026年广东省深圳市高三数学秋季开学考模拟练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．复数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．某地气象部门预报，在国庆期间甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率为0.3．假定这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为（    ） A．0.4 B．0.44 C．0.56 D．0.6 4．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A．， B．， C．， D．，， 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是上一点，，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 7．函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．1或 D．1或 8．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（ ） A．在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好 B．若随机变量满足，则 C．若随机变量，则 D．若事件满足，则 10．已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（   ） A． B． C．，，使得 D． 11．在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．展开式中的第5项的系数为______． 13．已知圆台的母线长为4，母线与底面所成角为，若该圆台存在内切球，则内切球的体积为________． 14．已知，，，是8个正整数，记，其中，，，，若，则这8个正整数中的最大数与最小数的和为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． (1)求A； (2)设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 16．（15分） 如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，． (1)求证：为的中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 17．（15分） 某公司研究两款AI对战机器人（星锐，猎影）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，星锐获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局． (1)当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两款机器人共进行（且）局比赛，记事件表示“在前局比赛中星锐赢了局”．事件表示“星锐最终获胜”．求，，，值； (3)若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为．证明：当时，． 18．（17分） 已知抛物线： （ ），为坐标原点，直线 ： ， 经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于， 两点，为线段 中点．动直线 ： 在轴上方． (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分三角形的面积，求 的值． (3)点在直线上的射影为点 ，是否存在 使得以点为圆心且过点 的圆过定点，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式， 记；若三元代数式满足，则称代数式 为三元轮换式，，. (1)若正实数x，y满足，且，求的值； (2)若代数式为二元轮换式，求证：； (3)若对任意的正实数x，y，z均有，求整数m的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东省深圳市高三数学秋季开学考模拟练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】由题知，再根据集合交集及子集个数公式求解即可. 【详解】由题知， 所以，所以的子集个数有个. 故选：D. 2．复数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】依题意，. 3．某地气象部门预报，在国庆期间甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率为0.3．假定这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为（    ） A．0.4 B．0.44 C．0.56 D．0.6 【答案】B 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式,结合对立事件的概率即可得到结果． 【详解】设“甲地降雨”为事件，“乙地降雨”为事件， 则,， “甲乙两地都不降雨”即事件与同时发生，即， ，， 利用独立事件的性质可知，事件与相互独立， 所以， 所以甲乙两地至少有一个地方降雨的概率为． 故选：B 4．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【详解】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； 对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； 对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，，则，，由余弦的和差公式可得：，， 展开得：， 两式相减得：，则：， 即：. 6．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是上一点，，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】通过已知数据确定轴，再由双曲线定义，列出关系式即可求解. 【详解】由， 则在中，， 则，则轴， 于是，由于， 则，所以. 7．函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】利用导数来求切线方程，再通过公切线得到方程组求解即可. 【详解】由题意可得，设切点坐标分别为， 则函数在点处切线方程为：，即， 函数在点处切线方程为：，即. 根据两切线是公切线可得：， 由可得 所以，整理得， 解得或，所以公切线斜率为或. 8．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得对于恒成立，进而得到函数和在上有共同的零点，可得，进而得到，设，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，则， 即对于恒成立， 而函数和在上均为增函数， 则函数和在上有共同的零点， 即，则，即， 设，则， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，，且， 则，即的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（ ） A．在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好 B．若随机变量满足，则 C．若随机变量，则 D．若事件满足，则 【答案】ACD 【分析】对于A，根据决定系数的概念判断即可；对于B，根据期望的线性运算即可求解；对于C，由二项分布的方差公式求解；对于D，由题可得，再根据条件概率的乘法公式计算． 【详解】对于A，回归分析中，决定系数衡量模型对因变量变化的解释能力，越接近1， 说明残差平方和越小，模型拟合效果越好，A正确； 对于B，根据方差的运算性质，对任意常数，有， 本题中，因此，B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，由条件概率性质，， 因此，故D正确． 10．已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（   ） A． B． C．，，使得 D． 【答案】BCD 【分析】对于AB,根据题意，求出等比数列以及等差数列的通项公式分析判断，对于C，根据指数函数与一次函数的增长速度分析判断，对于D，根据错位相减法求解判断. 【详解】设公比为，，则 ， 两式作比得 ，进而，因此，故选项B正确. ，因此公差 ，因此，选项A错误. ，指数函数增长速度远快于一次函数， 当时 .因此对任意，总能找到正整数使得，选项C正确. 则， 所以 ， 因此，选项D正确. 11．在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 【答案】AD 【分析】利用平面几何知识可判断AB，建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程可判断CD. 【详解】由题意底面半径为1，圆锥高， 对于A，为母线的中点，截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，A正确； 对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作，垂足为， 为母线的中点，，， 椭圆的长轴长，B错误； 对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为， 以为原点，为x轴，在平面中建立平面直角坐标系， 则，， 设抛物线方程为，则，解得：， 则抛物线的焦点到准线的距离为，C错误. 对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为， 则，将代入双曲线方程得，解得， 所以，故双曲线的离心率为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．展开式中的第5项的系数为______． 【答案】240 【分析】由二项式定理通项公式即可求解. 【详解】展开式通项公式为 所以展开式中的第5项的系数为． 13．已知圆台的母线长为4，母线与底面所成角为，若该圆台存在内切球，则内切球的体积为________． 【答案】 【详解】设内切球半径为， 则，则， 则内切球的体积为 14．已知，，，是8个正整数，记，其中，，，，若，则这8个正整数中的最大数与最小数的和为______. 【答案】23 【分析】根据题意表示出集合的元素，通过整除性求出重复值和总和，进而可得答案. 【详解】由题意可知：从8个数中任取7个数的和共有种不同的值， 但是，，，，，，只有7个数， 可知必有两种7个数的和相等，设这个和为， 令，那么，任取7个数的和就等于，，，，，这8个取值和的集合为， 则. 因为为整数，所以是7的倍数，由可知，是7的倍数， 再因为，所以.可知. 因此，，，，中最大数为：，最小数为：， 因此，它们的和为23. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． (1)求A； (2)设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形内角和为，结合诱导公式与正弦定理边角互化求解； （2）利用三角形面积公式和三角形面积的几何关系，结合余弦定理把长度的关系式表示出来并化简成基本不等式的形式，利用基本不等式求最值 【详解】（1）由题意，∵， ∴， 整理得：， ∵，∴，∴，又，∴， 由正弦定理得：，∴， ∵，∴，即， ∵，∴. （2）由题意及（1）得， 由几何知识得，， ∵， ， ∴，解得：， 由余弦定理得：， 即，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴（当且仅当时取等号） ∴， ∴的最大值是． 16．（15分） 如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，．    (1)求证：为的中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 【答案】(1)在三棱柱中，平面平面， 而平面平面，平面平面， 得. ，， 为中点， 为中点． (2) 【分析】（1）由面面平行的性质得到，即可求证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，，求出平面和平面的法向量，再由两平面所成的角为，结合向量的夹角公式列方程可求出，进而可求出结果． 【详解】（1）略 （2）连接，且为中点，. 在 中，由余弦定理可知. 故在中，，即. 平面 平面，且平面平面，平面， 得平面， 故，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则. 平面的一个法向量， 设，其中. ，. 设平面的法向量 . 令，， . 故 ，. 即，解得，故．    17．（15分） 某公司研究两款AI对战机器人（星锐，猎影）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，星锐获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局． (1)当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两款机器人共进行（且）局比赛，记事件表示“在前局比赛中星锐赢了局”．事件表示“星锐最终获胜”．求，，，值； (3)若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为．证明：当时，． 【答案】(1)分布列为： 1 3 5 期望． (2)，，，. (3)证明：若共比赛局， 在前局比赛中星锐赢的局数小于，则无法保证星锐获胜，其概率为0； 若前局比赛中星锐赢的局为，则需第，局全胜，才可赢得比赛， 此时赢得比赛的概率为； 若前局比赛中星锐赢的局数为，则第，局至少胜一场，才可赢得比赛， 此时赢得比赛的概率为； 若前局比赛中星锐赢的局数大于，无论第，局什么结果，都能最终赢得比赛， 其概率为， 故 ， 所以， 当时，， 又因为 ， 因为，所以，即. 【分析】（1）根据概率的乘法公式和加法公式列出分布列，再根据期望公式求解； （2）根据条件概率的定义分析求解即可； （3）结合（2）以及概率的乘法公式求出，得出当时，，再利用组合数的计算公式证明即可. 【详解】（1）两款机器人共进行5局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值可能的取值有， 则， ， ， 的分布列为： 1 3 5 所以随机变量的数学期望为：． （2）在前局比赛中星锐赢的局数时，第，局全胜，最终也无法获胜，所以； 当时，仅当第，局全胜，最终才能赢得比赛，即； 当时，第，局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即； 当时，无论第，局什么结果，都能最终赢得比赛，即； 综上所述，，，，. （3）略 18．（17分） 已知抛物线： （ ），为坐标原点，直线 ： ， 经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于， 两点，为线段 中点．动直线 ： 在轴上方．    (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分三角形的面积，求 的值． (3)点在直线上的射影为点 ，是否存在 使得以点为圆心且过点 的圆过定点，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用抛物线标准方程的焦点坐标公式，结合直线恒过的定点与焦点重合，直接求解参p，得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，通过韦达定理得到交点坐标的整体关系，结合三角形面积公式及共线线段的纵坐标比例，将面积条件转化为t与交点纵坐标的等式，进而求出t； （3）用斜率参数k表示圆心、半径相关点的坐标，写出圆的标准方程，将方程整理为关于参数k的多项式形式，构造方程组得出定点坐标及t的值． 【详解】（1）直线l： 经过点，由题意知，抛物线焦点即为， 所以 ， 故抛物线方程为： ． （2）已知直线与抛物线交于 两点，设，，联立直线与抛物线方程得： ， ，， 记直线分别与 ， 交于点E，F， 由三角形面积公式 ， 则，， 所以．    （3）存在，， D为线段 中点，则 ， ， 故，点， 以点为圆心且过点 的圆为， 即 ， 令， 所以存在，，使得以点为圆心且过点 的圆过点．    19．（17分） 若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式， 记；若三元代数式满足，则称代数式 为三元轮换式，，. (1)若正实数x，y满足，且，求的值； (2)若代数式为二元轮换式，求证：； (3)若对任意的正实数x，y，z均有，求整数m的最大值. 【答案】(1) (2) 由于为二元轮换式，即，故． 构造函数，， 故时，，单调递减， 时，，单调递增． 不妨设，由于，，故． 由于，故． 要证，只需证， 只需证， 化简得， 只需证， 构造函数，． ． 故在上单调递增，故， 即，故得证． (3) 【分析】（1）直接代入． （2）根据轮换式条件，可得．这是极值点偏移问题，首先构造函数，分析单调性，然后利用该函数单调性转化不等式，简化为一个变量，最后求导证明不等式． （3）首先代入特殊值，得到范围，得到的最大整数值，然后再证明不等式成立． 【详解】（1）由于及，，即， 故． （2）略 （3）原不等式为 由于时不等式成立，故时不等式也成立． 令，，，左端，右端， 由必要性，故最大整数可取． 下证时，不等式成立． 记． 由于S是三元轮换式，不妨设， 令，，则且，， 代入得． 若，则；若，令， 则由得，从而 ． 令，则上式化为， ， 时，，，故， 时，，故 ，综上，时，， 故，故不等式得证，易得时取到等号． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $