作业三 同角三角函数的基本关系式的常用变形，三角函数式的化简、求值和证明-【新课程暑假作业】2026年高一数学暑假作业

新课程景僧作业 故选D 9.AD【解析】令x-21=1,得x=3或x=1,此时y=2,则A(3,2)或A(1,2).若点A(3,2)在角0的终边上， 则sind ,2.2Y厘，若点A1,2)在角9的终边上，则sin:,2.2Y5.故选AD. V32+22 13 V1+22 5 10.7bW水O【解折】如图所示，由图可知，当a∈号，受)时，c0a<in<1, a的终边 tan a>1,..4TI>IMPL>IOMI. 11.解：(1)125°是第二象限角，-273°是第一象限角，tan125°<0，sin(-273°)>0， 原式为负 (2)108°是第二象限角，305°是第四象限角，∴tan108<0,cos305>0,∴.原式为负. 34(1,0) (3):平是第三象限角，是第二象限角，是第四象限角，“m平0，c0s誓< M 4 5 6 4 0,tanm<0,原式为负. 第10题答图 6 (4):5西是第二象限角，1m是第四象限角，2π是第二象限角，cos5π<0，anm<0,sin2红>0，.原式 6 6 6 6 3 为正 12.解：由三角函数线知，在[0,2m)内满足s如>0sx的x的取值范围为子，平).满足sn>m的x的 取值花国为受，U受，2.不等式组血的每集是受小 sin x>tan x 13.不共面任意一个唯一的p=a+b+zc线性组合线性表达式 作业三 1.B2.B3.B4.D5.A6.C 7.D【解析】sin0,cos0是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根，.sin0+cos0=a,sin Ocos0=a,∴.sin40+cos40= (sin204cos20)2-2sin20cos20=1-2a2.(sin04cos0)2=sin20+cos20+2sin0cos0,.a2=1+2a,即2-2a-1=0,.a=1±V/2.2 sin0,cos0是关于x的方程x2-ax+=0的两个根，.∵△=(-a)2-4a≥0，解得a≥4或a≤0，.a=1-V2,.sin40+cos40= 1-2x(1-V2)2=4V2-5.故选D. &D【解析】sin@,cosa是关于x的方程2-号+m-0的两个实根，inosa=-},sin cos-m,且A 1 e 5加≥0.即m≤0(sina+esa产名-1+2nasa-+2,m-号 .'(sin a-cos a)2=1-2sin acos a= 49 5 25 '.'sin acos a=m=- 0.0<a<m.sin a20,cos a<0,sin a-cos a20.sin a-cos a= 7 .故选D. 9.CD【解析】fa)=cosa sin acos a= cos a sin acos a cos a sin acos a cosa V1+tan2 a aV积 /1-sin'a 1/ cos-a+sin-a 1/cos2a cos-a V sin-a cos-a V sin-a sin acos a_ cOS a sin acos a 若a是第一象限角，则原式=cos2&-sin2a;若a是第二象限角，则原式=-cos2a4 器 1 coS a coS a sin a sin2a;若a是第三象限角，则原式=-cos2a-sina=-1;若a是第四象限角，则原式=cos2a+sin2a=l.故选CD. 10BC【解新】当a=景，B1g产时，8man手-Y竖>in-m1sn名分，此时a8,放A错误易 6 42 6 >94 高一数学 知sina心sinB>0,sim2a>sin2B.sim2a+cos2a=1,.1-cos2a>1-cos2B,.cos2a<cos2B,故C正确.0<cos2a<cos2B, a广n知ac。Bg用面aar角故B正维取a=牙、B=名，则mamg=分 1 >1 cos2 a 业 子子<1，放D错灵放证BC 11.9【解析】。 4 4+1 +co月sinsin+cos3x)E5+4cos+n≥52 4cos2x.sin2x=9(当且仅 sin2 x cos2x sin2 x cos2 x 当2cos2x=sin2x时等号成立). 12.证明：(1)由1-asin=cosa得1-cosa=asin a,则(1-cosa)(1+cosx)=absin2a,即1-cos2a=absin2a,即 实基础 absin2a=sin2a.a≠kT,keZ,.sina≠0，∴.ab=l. tan a+sin a=m, (2) tan a-sin a=n, ana="生，ma= 2 当tana=0时，a=kπ，k∈Z,则sina=0,此时m=n=0,显然等式(m2-n2)2=16mn成立； 力提升 当tana≠0时，由tana=sing得cosa=sng=m cos a tan a m+n 又si加ael1-eos2a,m=l-m+=ntg”=4mun 4 (m+n)2 (m+n)2, 8 .(m2-n2)2=16mm.综上所述，(m2-n2)2=16mm. 维拓展 1.解：设平面ABC的法向量为m=k,y,,则mC=0,即+243：-0， m.AC=0, l3x+2y+z=0. 两式相减得x=a,y=-2z,·m= (z,-2z,z),其中z≠0.取z=-1,则m=(-1,2,-1). 作业四 1.D2.C3.B4.A5.D6.B 五B【解折]~0为第二象限角，2必m+受c2以+，ke乙，冰+牙<号m+受，&e7当k是偶数时，号为 第一象限角：当长为奇数时，号为第三象限角m2+号日m号方号为第一象限角，且心号≤ cos 2, sn2-1.赦选B. 2-sin 6 2 &.AC【解析】当n=2k,k∈Z时，sin nw+cos(n+1)m=sin2kT+cos(2k+1)m=0-1=-1;当n=2k+1,keZ时， sin nT+cos(n+1)T=sin (2k+1)T+cos(2k+1+1)T=0+1=1.AC. 又ABc【懈析1ind+B)-n(m-C-inC,放A正确：c4生号o号号-n号，改B正确：n21+20) +sin 2C=sin 2(A+B)+sin 2C=sin 2(T-C)+sin 2C=sin(2T-2C)+sin 2C=-sin 2C+sin 2C=0,C;cos(2A+2B)+cos 2C= cos2(A+B)+cos2C=cos2(T-C)+cos2C=cos(2T-2C)+cos2C=cos2C+cos2C=2cos2C,故D错误.故选ABC. n山)解：原式-n4红-看tos27am0-tos4+号n君+0ecom骨-}0-子0 2 (2)证明：左边 sincos-3-sina )-3cos tan)3 m+3=右边， -cos-sina )-cos tan :原等式成立 山.解/）sin53-a=3,sin127+a)-sin[180r-(53-a=sin(53-a)= 95高一数学 第 周 年 日 作业三 作业内容 作业内容 复习必修三教材第22一26页：同角三角函数的基本关系式的常用变形，三角函数式的 化简、求值和证明. 实基础 夯实基础 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 1.(三角函数式的化简、求值和证明，教材第24页)已知α为第二象限角，则x= 能力提 sina+V1-sina的值是() lsin al cOS Q A.-1 B.0 C.1 D.2 1 2.(同角三角函数的基本关系式的常用变形，教材第23页)设向量a=3,tanα， b= 维拓展 sa,多， 且向量a与b共线，则锐角α的值为() A. 12 B. 6 c D.T 4 3(同角三角两数的基本关系式的常用变形，教材第23页)已知0气，则 1+sin x=( COS x A. B C.2 D.-2 4.(三角函数式的化简、求值和证明，教材第24页)若m<a<3π，则1/-c0sa+ 2 /1+cos a 1+c0s0=( 1-cos a 2 A. 2 B.- 2 C. D.- 2 tan a tan a sin o sin a 5.(同角三角函数的基本关系式的常用变形，教材第23页)若5sina+2cosa=0,则 (1-sina)(1-cosa)的值为(） A.10 B.V10 29 29 C.20 9 D.±10 Γ29 6,(同角宇角函数的基本关系式的常用变形，教材第23页)已知α∈(7，π，且cosa+ 新课程假作业 第 周 年 月 日 3sina=V5,则tana=() A方 B方 C.-2 D.-3 7.(同角三角函数的基本关系式的常用变形，教材第23页)已知sin0,cos0是关于x 的方程x2-ax+a=0的两个根，则sin0+cos9的值为() A.随a的变化而变化 B.1-V2 2 C.1+ 2 D.4V2-5 8.(同角三角函数的基本关系式的常用变形，教材第23页)若0<a<π，且sin a,cosa 是关于x的方程了x+m-0的两个实根，则sina-cosa的值是（) A.2 D.7 5 B.-12 25 C.± 5 5 能力提升 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 9.（多选题)设fax)= coS a sin acos a, 当f(a)取定值时，ax可能是() V1+tan2 a 1-1 A.第一象限角 B.第二象限角 C,第三象限角 D.第四象限角 l0.(多选题)已知a,B是第一象限角，且sina>sinB,则下列关系正确的是( A.a>B B.tan'a>tanB C.cosa<cosB D.sin'a+sinB>1 1山.若x∈0，乏，则4+1的最小值为 sin'x cos'x 12.(1)已知1-asin a=cos&,1+cosa=bsin a(a≠kr,keZ),求证：ab=.@) (2)已知 tana+sina=m,求证：(m2-2）=l6mn. tan a-sin a=n, ≥8 高一数学 第周 年 月 日 思维拓展 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 作业内容 上一节我们学习了空间向量基本定理：任意三个不共面的向量都能作为空间向量的一组 基底，将任意向量唯一表示.这就像为空间建立了一套“描述系统”.那么，如何让这套系统 变得更直观、更易于计算呢？答案就是引入坐标 当我们特别选择三个长度为单位1且两两垂直的向量作为基底时，事情就变得格外简单。 实基础 这样的基底称为单位正交基底，通常记作{i,广，飞.此时，将它们的公共起点作为原点O, 并让它们分别指向x轴、y轴、z轴的正方向，我们就建立了一个空间直角坐标系O-yz. 在空间直角坐标系中，任意一点P的位置可以用一个有序实数组(x,y,z)来表示，这 能力提升 就是点P的坐标，而向量OP(由原点O指向点P)的坐标也就是(x,y,z),记作OP=(x, y,z). 思 更一般地，对于空间中任意向量，将其起点平移到原点后，其终点的坐标(x,y,z) 维拓展 就是向量a的坐标，即a=(x,y,z).这意味着：a=xi+Wi+zk. 向量的基本运算： 设a=(x1,y1,1),b=(,2,2),入是实数，则有： 加减法：a±b=(x±x2,y±y2,±2)（几何意义：对应分量相加减）： 数乘：Aa=(Ax1,Ay1,Az1)(几何意义：向量伸缩)； 模长（重要）：la=Vx+y+z?(这是两点间距离公式的向量形式). 借助以上运算，即可求解平面的一个法向量.那么，什么是法向量呢？我们把垂直于一 个平面的非零向量，称为这个平面的法向量.一个平面有无数个法向量，它们互相平行，解 题时只需找出任意一个即可. 例如，平面a内的两个不共线的向量a=(1,2,1),b=(2,1,-1),设平面α的一个法 向量的坐标为n=c,,》,则有10且n1.即a=+2=0.令，则)-1，， n-b=2x+y-z=0. 则平面的一个法向量为n=(1,-1,1). 依托空间直角坐标系，结合法向量，可轻松证明线面垂直、面面平行，求解线面角、二 面角等高频考点」 13.若AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为 9