第二章 实数-【同步冲刺】2025-2026学年八年级上册数学阶段测试适应性训练卷（北师大版·新教材）

2025秋·同步冲刺·数学·八年级上册 第二章实数 (本试卷满分120分，考试用时120分钟) 、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.下列实数中，是无理数的是 A.√3 B.√4 C.-6 D.0.10010001 p 2.-64的立方根为 A.±8 B.8 C.±4 D.-4 3.式子√x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A.x>-2 B.x≥-2 C.x≠-2 D.x≤-2 4.下列二次根式中，最简二次根式是 A.2 C.3 D.⑧ 5.下列计算正确的是 A.3+23=53 B.43-3√5=1 数 C.53×23=103 D.3÷5=5 5 6.比较2,5,7的大小，正确的是 A.7<2<5 B.2<7<5 C.2<5<7 D.5<7<2 7.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，化简1al-√(a-b)严的结果是( A.2a-b B.-2a+b C.-b D.b (0 0 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积 为 ( A.2 B.22 C.4 D.42 9.如图，Rt△OAB的一条直角边OA在数轴上，O为原，点，且OA=2,AB=1,以点B为 圆心，AB长为半径画弧，交斜边OB于点C,再以原点O为圆心，OC长为半径画 湘 弧，交边OA于点P,则数轴上点P表示的实数是 A.5 B.5-1 C.1-5 D.3 同步冲刺·数学·八年级上册·第二章第1页（共6页） 10.有一个数值转换器，原理如下： 是 输入x 取算术平方根 <是无理数 输出y 否 取立方根 是有理数 是无理数 当输入的x=64时，输出的y等于 A.±2 B.√2 C.2 D.±2 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11.与√24相乘积为有理数的无理数是 .(写出1个即可) 12.已知最简二次根式√x-1与二次根式√12是同类二次根式，则x= 13.若设√10的小数部分为b,则（√10+3）b的结果是 4对于任意两个不相等的实数a6,定义运算”※”如下：a※6=，如3※2D 3+2_5,那么6※12= 3×2-6 15.若a,b为实数，且6=公百+-a+4,则a+6的值为 a+7 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16.计算：（√3-√2）2+（√3+√2）（√3-√2）. 17.计算：8-（2）+(3-m)°-1-21 同步冲刺·数学·八年级上册·第二章第2页（共6页） 18.物体自由下落的高度h(单位：m)与下落时间t(单位：s)的关系是h=4.92.有一 个物体从离地250m高的气球上自由落下，到达地面需要多长时间？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19.如果一个正数x的两个平方根分别为a+1和a-5. (1)求a和x的值； (2)求7x+1的立方根. 同步冲刺·数学·八年级上册·第二章第3页（共6页） 20.已知a,b,c满足1a-√71+√b-5+(c-42)=0. (1)求a,b,c的值； (2)判断以a,b,c为边长的三角形的形状. 21.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬22个单位长度后到达点B,点A表示-2， 设点B所表示的数为m. (1)求m的值； (2)求|m-2√21+(m-√2)2的值. 同步冲刺·数学·八年级上册·第二章第4页（共6页） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22.如图，正方形网格中每个小正方形边长为1，△ABC的三个顶点都在格点上. (1)试说明：△ABC为等腰直角三角形； (2)常见求三角形面积的方法是“S=)ah(其中a为三角形的底，h为该底边上 的高)”.事实上，三角形的面积还可以通过下面的方法计算：若设三角形三边 长分别为a,6,c,记p=2(a+b+c),则三角形的面积S= pp-0p-b)p-0(海伦公式)，或s=√-区±=打门（索 九韶公式).请你分别用S=)ah,海伦公式和秦九韶公式计算△ABC的面积 验证其正确性（要求写明计算过程） 同步冲刺·数学·八年级上册·第二章第5页（共6页） 23.【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式 子的平方，如3+2√2=(1+√2)2.善于思考的小明进行了以下探索： 设a+√2b=(m+√2n)2(其中a,b,m,n均为整数)，则有a+√2b=m2+2n2+2√2mn. 所以a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+√2b的式子化为平 方式的方法 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a,b,m,n均为正整数时，若a+√3b=(m+√3n)2,用含m,n的式子分别表 示a,b,得a= ,b= (2)利用所探索的结论，找一组正整数a,b,m,n使a+√3b=(m+√3n)2成立，则 a= ,b= ,m= ,n= (3)若a+43=(m+√3n)2,且a,m,n均为正整数，求a的值. 同步冲刺·数学·八年级上册·第二章第6页（共6页）19.解：(1)设相邻两个结点的距离为x,则△ABC的三边长 分别为3x,4x,5x. 因为(3x)2+(4x)2=(5x)2, 所以以3x,4x,5x为边长的三角形是直角三角形，即 △ABC是直角三角形，其中∠A=90°，即在第4个结处. (2)因为6+8=10， E 所以如图所示，△DEF即为所求（答案不唯一，正确即可 得分). 20.解：(1)由题意，得DE=AB=1.6米 在Rt△CDB中，由勾股定理，得 CD2=BC2-BD2=252-152=400 所以CD=20米. 所以CE=CD+DE=20+1.6=21.6(米) 答：风筝的垂直高度CE为21.6米。 (2)如图，设风筝下降后的位置为点M, 连接BM,则CM=12米 所以DM=CD-CM=20-12=8(米). 所以BM=DM2+BD2=82+152=289. 所以BM=17米. B D 所以BC-BM=25-17=8(米) 答：他应该往回收线8米 21.(1)证明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD,∠D= ∠B=∠C=90° 因为将△ADE沿AE对折至△AFE的位置， 所以AF=AD,FE=DE,∠AFE=∠D=90° 所以AB=AF,∠B=∠AFG=90. 又因为AG平分∠BAF,所以∠BAG=∠FAG 所以△ABG≌△AFG(ASA). (2)解：由(1)知△ABG≌△AFG 所以BG=FG. 设BG=FG=x,则GC=6-x 因为点E为CD的中点，所以CE=EF=DE=3. 所以EG=3+x. 所以在Rt△CEG中，32+(6-x)2=(3+x)2, 解得x=2.所以BG的长为2. 22.解：(1)海港C受台风影响.理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB于点D. 因为AC=300,BC=400,AB=500 所以AC2+BC2=AB2 B 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90°. A 所以S=子AC·BC=号4B·CD,即 CD=AC.BC_300×400 AB 500 240(km) A 因为以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， 所以海港C受台风影响。 (2)当EC=250,FC=250时，正好影响C港口. 在Rt△CDE中，∠CDE=90°， 由勾股定理，得ED2=EC2-CD2=2502-2402=4900. 所以ED=70. 同理DF=70.所以EF=140 因为台风的速度为25km/h, 所以140÷25=5.6(h),即台风影响该海港持续的时间 为5.6h. 23.解：(1)由题意知，当AP=CP时，△APC是等腰三角形， 此时AP=CP=tcm,则BP=(8-t)cm. 在Rt△BPC中，由勾股定理，得BC2+BP2=CP2,即62+ (8-)2=.解得1= 4 所以当运动空。时，△APC是等腰三角形. (2)由△ABC是直角三角形，AB=8,BC=6,易得AC= 10.分三种情况： ①当CQ=BQ时，如图1，则∠C=∠CBQ. 因为∠ABC=90°， 所以∠CB0+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90° 所以∠A=∠ABQ.所以BQ=AQ. 所以c0=A0=之AC=5.所以BC+C0=1. 所以t=11÷2=5.5. 图1 AB 图2 AB 图3 ②当CQ=BC时，如图2，则BC+CQ=12. 所以t=12÷2=6. ③当BC=BQ时，如图3，过点B作BE⊥AC于点E. 因为Sc=24B:BC=2BE·AC, 所以EBC-80-48 AC 在Rt△CEB中，由勾股定理，得 CE2=BC2-BE2=62-4.82=3.62.所以CE=3.6. 因为BC=BQ,BE⊥CQ,所以CE=QE. 所以CQ=2CE=7.2.所以BC+CQ=13.2. 所以t=13.2÷2=6.6. 综上所述，当运动时间为5.5s或6s或6.6s时，△BCQ 为等腰三角形. 第二章实数 1.A2.D3.B4.A5.D6.A7.D8.A9.B 10.B11.6(答案不唯-）12.413.114. 24 15.3或5 16.解：原式=3-2√6+2+3-2=6-26. 17.解：原式=22-2+1-(2-1)=22-2+1-2+1 =√2. 18.解：当h=250m时，250=4.92. 所以1=9或1=9（会去。 答：物体从250m高的建筑物上自由落下，到达地面需要 50 78 19.解：(1)由题意，得(a+1)+(a-5)=0.所以a=2. 所以a+1=3,a-5=-3.所以x=(±3)2=9. (2)由(1)，得7x+1=7×9+1=64. 所以7x+1的立方根为64=4. 20.解：(1)根据题意，得a-√7=0，b-5=0,c-42=0. 所以a=7,b=5,c=4/2. (2)因为a2=(万)2=7,2=25，c2=(42)2=32, 7+25=32,所以a2+b2=c2. 所以以α，b,c为边长的三角形是直角三角形， 21.解：(1)因为一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2万个单位 长度后到达点B,点A表示-2， 所以m=-2+22. (2)当m=-2+22时，1m-221+(m-√2)2 =1-2+22-221+(-2+22-2)2 =2+(-2+2)2=2+4-42+2 =8-42. 22.解：(1)由勾股定理，得AC=BC=√0，BC=25. 所以△ABC为等腰三角形， 因为AB2+AC2=20=BC2 所以△ABC为直角三角形. 所以△ABC为等腰直角三角形. (2)S=2h=7B·AC=7×而×V而=5 p=7a+b+0)=7(而+而+25)=而+5. S=/p(p-a)(p-b)(p-c) =√（√10+5）(10+5-/10)(10+5-/0)(/而+5-25 =/(10+5)×5×5×(√⑩-5)=5. s=√46-(-- 7×V(而)x)2-「0+0-257 1 2 =2×V√10×10-10+10-20 =5. 2 23.解：(1)m2+3n22mm (2)4211(答案不唯一) (3)由(1)可知a=m2+3n2,b=2mn 因为b=4=2mn,且m,n为正整数 所以m=2,n=1或m=1,n=2. 所以a=22+3×12=7或a=12+3×22=13. 所以a的值为7或13. 第三章位置与坐标 1.D2.C3.A4.B5.C6.B7.D8.B9.A 10.C11.(1,-1)12.(2,-3)13.-114.±6 15.(15.4) 16.解：设正方形的边长为a,则a2=16,解得a=4. 因为正方形ABCD关于x轴，y轴均成轴对称， 所以A(2,2),B(-2,2),C(-2,-2),D(2,-2) 17.解：因为点N(2m-1,m-3)到x轴的距离为2， 且点N在第四象限，所以m-3=-2.解得m=1. 所以2m-1=2×1-1=1.所以N(1,-2). 18.解：(1)如图所示，即为所求. 哨所1 哨所2小十场 雷达 07 码头 营房 (2)小广场(0,0)，营房(2，-3) (3)如图所示，即为所求 19.解：(1)因为点P在x轴下方，所以点P的纵坐标小于0， 因为点P到x轴、y轴距离相等， 所以2m+1=m-3或2m+1+m-3=0 解得m=-4或m=3 .2 当m=-4时，2m+1=-7,m-3=-7. 当m=名时，2m+1= 3 3,m-3=-2 3 所以点P的坐标为(-7，-7)或（子，子）】 (2)由题意，得点P和点Q的横坐标都为3. 所以2m+1=3.解得m=1.此时m-3=-2. 所以点P的坐标为(3，-2) 设点Q的坐标为(3，y). 因为PQ=4,所以-2-y=4或y-(-2)=4. 解得y=-6或y=2. 所以点Q的坐标为(3，-6)或(3,2). 20.解：(1)依题意，得 四边形0ABC的面积为5×3-7×3×1-7×3×1 1x1-7×2x1=15-号-2-1-1=10 (2)如图所示，四边形即为所求. 4 -7-6-5-4-3-2-11 01.234567元 21.(1)2 (2)解：由题意可知|-2m+11=1.解得m=1或0. (3)解：分情况讨论.①12k-31=1-11.解得k=1或2. 当k=1时，k+3=4>1,符合题意 当k=2时，k+3=5>1,符合题意 ②1k+31=I2k-31.解得k=6或0 当k=6时，k+3=9>1,不合题意，舍去 当k=0时，k+3=3>1,不合题意，舍去 综上所述，k=1或2. 22.解：(1)如图1，过点A作AD⊥0B于点D. 所以∠ADB=90. 因为A(1,4),B(3,0),所以0D=1,AD=4,0B=3. 所以BD=3-1=2.所以AB=√/2+4=25. 所以AB的长为25 A ODBEODB元 图1 图2 (2)因为AB一定，所以AC+BC最小时，△ABC的周长 最小.如图2，作点A关于y轴的对称点A',连接BA'交 y轴于点C,点C即为使AC+BC最小的点.过点A'作 A'E⊥x轴于点E. 由对称的性质，得AC=A'C. 所以AC+BC=A'C+BC=A'B,A'E=4,OE=1. 所以BE=4. 由勾股定理，得A'B=√42+4=4√2. 所以△ABC的周长的最小值为25+4√2 (3)设点C的坐标为(0，a). 当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，BC=AC. 所以BC2=AC2,即32+a2=12+(4-a)2.解得a=1. 所以点C的坐标为(0,1). 23.解：(1)(-2,3) (2)如图1，过点A作AQ∥x轴，交直线OP于点Q,连接 BQ,设AB交OP于点C. 因为点A,点B关于直线OP对称， 所以∠ACQ=∠BCQ=90°，AC=BC CQ =CQ, 在△ACQ和△BCQ中， ∠ACQ=∠BCQ LAC=BC. 所以△ACO≌△BCO(SAS). 所以∠BQC=∠AQC,BQ=AQ. 因为点P的坐标为(1,1)，所以∠1=45° 因为AQ∥x轴，所以∠BQC=∠AQC=∠1=45° 所以∠BQA=90. 因为点A的坐标为(a,b),所以点Q(b,b) 所以BQ=AQ=a-b. 因为BQ⊥AO,AQ∥x轴，所以BQ⊥x轴. 又Q(b,b),BQ=a-b,所以点B的坐标为(b,a). y↑B B D 0 A 101 0 A 图1 图2 58