25.1　一元二次方程的概念 教学设计 2026——2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的意义，通过人体雕像比例的实际问题导入，先回顾一元一次方程的“元”“次”含义及一般形式，以此为学习支架类比迁移引出新知识。 特色在于情境创设与探究式学习结合，以矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛等问题引导学生抽象数量关系，培养数学眼光和模型意识。通过自主分析与合作讨论归纳定义，发展推理思维，提升用数学语言表达现实问题的能力，助力教师高效教学，帮助学生理解概念本质与应用价值。

25.1　一元二次方程的概念 课题 25.1　一元二次方程的概念 授课人 教 学 目 标 1.理解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化成一般形式,确定出二次项系数、一次项系数和常数项. 3.理解一元二次方程的根的意义,能够运用代入法检验根的正确性. 4.在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中,体会学习一元二次方程的必要性和重要性. 5.通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,再由一元一次方程的概念迁移得到一元二次方程的概念. 教学 重点 　　通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念、一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及一元二次方程的根等概念,并能用这些概念解决简单问题. 教学 难点 　　把实际问题转化为一元二次方程模型. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　课件展示:教师引导学生完成下列题目,复习一元一次方程的相关知识: 一元一次方程的知识: 1.一元一次方程中的“一元”是指　一个未知数　,“一次”是指　未知数的次数是1　,一元一次方程左右两边都是　整式　的形式.  2.一元一次方程的一般形式是　ax+b=0(a,b是常数,且a≠0)　.若关于x的方程(m+1)x|m|+1=0是一元一次方程,则m=　 1 　.  3.什么是一元一次方程的解?如何判断一个数是不是一元一次方程的解?若已知x=1是方程ax+3=0的解,则a=　-3　.  　　通过回顾一元一次方程及其解的概念,理解“元”和“次”的含义,有助于学生类比得到一元二次方程的概念,理解一元二次方程根的定义,从而让学生产生探究的欲望和浓厚的兴趣. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图3,在设计人体雕像时,使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比,等于腰部以下与全身的身长比,可以增加视觉美感.如果某人体雕像的全身长为5 m,按照上述比例,雕像腰部以下为多长? 图3 [分析]雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系:AC∶BC=BC∶5,即BC2=5AC. 设雕像腰部以下的身长BC为x m,根据上述等量关系,就可以列出方程x2=5(5-x),整理得x2+5x-25=0. 教师:与一元一次方程相比较,上述方程也只含有一个未知数,但未知数的最高次数是2,这样的方程就是我们本章要学习的一元二次方程. 　　由实际问题入手,设计情境问题,激发学生的学习兴趣,让学生初步感受一元二次方程,同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 一元二次方程的定义以及一般形式 [情境问题] 问题1:如图4,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒(图5).如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮? 图4 图5　 问题2:要组织一次排球邀请赛,赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,组织者应邀请多少支球队参赛? 学生先自主探究、分析,再在小组内合作讨论,设出合适的未知数,根据等量关系列出方程.若学生感觉困难,教师可做如下引导. 问题1　等量关系:　底面的长×宽=底面积　.  设各角切去的正方形铁皮的边长为x cm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm. 根据方盒的底面积为3600 cm2,可列得方程　(100-2x)(50-2x)=3600　.整理并化简,得　x2-75x+350=0　.  问题2　教师可举例,由特殊到一般,帮助学生理解题意. 　　设应邀请x支球队参赛,每支球队要与其他　(x-1)　支球队各赛1场.∵甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,∴全部比赛共 x(x-1)　场,于是得到方程 x(x-1)=28　.整理并化简,得　x2-x-56=0　.  [探究交流] 观察[情境问题]中所列的方程,分析以上两个方程有什么共同点,它们与一元一次方程有什么区别与联系. 学生观察、思考、讨论、交流、汇报. 　　1.注重学生的自主学习与探究,通过自主获得新知,体验成功的快乐. 活动 二: 探究 与 应用 　　教师重点引导学生观察得到所列方程的特点:①整式;②一元;③二次. 引入课题(板书):一元二次方程. [归纳定义] 问题:根据找出的一元二次方程的特征,你能给一元二次方程下个定义吗?类比一元一次方程的一般形式,给出一元二次方程的一般形式. 教师引导学生结合所列方程的三个特征及一元二次方程的名称,类比一元一次方程的定义,得出一元二次方程的定义:一般地,如果方程中只含有一个未知数(一元),且含有未知数的式子都是整式,未知数的最高次数是2(二次),这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 【探究2】 一元二次方程的根 问题:类比一元一次方程的解的定义,你能给一元二次方程的根下定义吗? 师生共同小结(板书): 一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值,就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 【探究3】 用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系 练习:根据下列问题,列出一元二次方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式: (1)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长; (2)把长为1 m的木条分成两段,使较短一段的长与木条全长的积,等于较长一段长的平方,求较短一段的长. 解:(1)设矩形的长为x,则矩形的宽为x-2. 根据题意列出方程为(x-2)x=100. 整理并化简,得x2-2x-100=0. (2)设较短一段的长为x m,则较长一段的长为(1-x)m. 根据题意列出方程为x=(1-x)2. 整理并化简,得x2-3x+1=0. 　　2.让学生充分感受所列方程的特点,通过类比的方法得到一元二次方程的相关概念,从而达到真正理解的目的. 【理解应用】 例1　将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解:去括号,得3x2-3x=5x+10. 移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0. 它的二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10. 例2　已知关于x的方程x2-2x+k2=0的一个根是1,那么k的值是　±1　.  变式练习:已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,则a-b的值为　1　.  例3　根据下列问题,列出一元二次方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式: (1)一个圆的面积是2π,求半径r; (2)一个直角三角形的两条直角边的长相差3,面积为9,求较长直角边的长x; 　　1.加深对一元二次方程一般形式的理解,同时为以后学习方程的解法打下基础. 2.进一步巩固对方程的根的含义的理解,学会应用方程的根解决问题. 活动 二: 探究 与 应用 (3)一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍,斜边长为5,求较短直角边的长x. 解:(1)根据题意列出方程为2π=πr2,化成一般形式为r2-2=0. (2)根据题意列出方程为x(x-3)=9,化成一般形式为x2-3x-18=0. (3)根据题意列出方程为x2+(2x)2=52,化成一般形式为x2-5=0. 【拓展提升】 例4　已知关于x的方程(2a-4)x2-2x+a=0,在什么条件下,此方程为一元一次方程?在什么条件下,此方程为一元二次方程? [答案:当a=2时,此方程为一元一次方程;当a≠2时,此方程为一元二次方程] 例5　已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,求a的值. [答案:a=-1] 例6　求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程. 证明:∵m2-8m+17=(m-4)2+1>0, ∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程. 学生自主思考,教师做好指导,最后由个别学生进行课堂解答,教师给予评价和辅导.教师指出解答问题的易错点和方法应用. 　　通过拓展练习,可巩固和加深学生对新知的理解,培养学生严谨的数学思维以及灵活应用所学知识解决数学问题的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【当堂训练】 1.若方程mx2-2x+m=0是关于x的一元二次方程,则 (C) A.m为任意实数 B.m=0 C.m≠0 D.m=0或m=1 2.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是 (D) A.ax2+bx+c=0 B.x2+1-x2=0 C.x2+=2 D.x2-x-2=0 3.把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般形式,则a,b,c的值分别是 (A) A.1,-3,10 B.1,7,-10 C.1,-5,12 D.1,3,2 4.已知2是关于x的方程x2-x+t=0的一个根,则t的值为　-2　.  5.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项: (1)4x2+5x=81;　　 　(2)xx+=0; 　　利用练习题,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 活动 三: 课堂 总结 反思 (3)(2x-2)(x-1)=0;　 (4)(3x-2)(x+1)=x(2x+1). 解:(1)化成一般形式为4x2+5x-81=0,它的二次项系数为4,一次项系数为5,常数项为-81. (2)化成一般形式为x2+x=0,它的二次项系数为1,一次项系数为,常数项为0. (3)化成一般形式为x2-2x+1=0,它的二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为1. (4)化成一般形式为x2-2=0,它的二次项系数为1,一次项系数为0,常数项为-2. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在问题导入环节中,以实际问题引入,激发学生的学习兴趣;在新知探究环节中,学生充分发挥主动性,总结新知能力较强;在能力训练环节中,学生完成较好,值得鼓励与表扬. ②[讲授效果反思] 对于一元二次方程的定义,教师必须强调:(1)把握一般形式;(2)二次项系数不为0;(3)分清各项系数. ③[师生互动反思] 从课堂过程和效果分析,学生能够充分交流、合作,也能够独立思考和解决问题,效果较好. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $