第59卷 空间角 -考点训练卷 2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 该专项为空间角考点训练卷，聚焦线面角与异面直线所成角，通过正方体、棱柱等模型实现考点拆解，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面角|10题（如正方体、正四棱锥等模型）|考查正切值、余弦值计算|从几何体抽象线面角概念，通过几何关系推导计算方法| |异面直线所成角|9题（如中点、空间四边形等）|考查余弦值及角度大小|结合中点、中位线等构建异面直线关系，培养推理能力|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》 第59卷 空间角 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．在正方体中，点是的中点，则直线与平面所成的角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正四棱柱中，，则直线与平面所成角的余弦值为（   ）.    A． B． C． D． 3．如图，已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正切值为（   ）．    A． B． C． D． 4．若正三棱锥的侧棱与底面边长相等，则该棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．若长方体体对角线长为2，底面矩形长和宽分别为和1，则长方体体对角线与底面所成角为（   ） A． B． C． D． 6．在正四棱锥中，若底面边长与侧棱长都等于，则侧棱与底面所成角的大小是（   ） A． B． C． D． 7．在正方体中，中点为，中点为，求异面直线与所成角的大小（   ）    A． B． C． D． 8．在正三棱台中，，，M为的中点，则直线AM与BC所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 9．已知在正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与的夹角是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．在正四面体中，若D是的中点，则与所成角的余弦值为_____. 12．如图所示，点E，F分别是正方体的棱，的中点，则异面直线与所成角的大小为_____________．    13．空间四边形四边的中点分别是，若四边形是矩形，则异面直线与所成的角的大小是_________________． 14．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面，，，E为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为_____________．    15．在正方体中，若为的中点，则直线与侧面所成角的正弦值为______． 三、解答题:本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图所示，P为正方形所在平面外一点，正方形边长为1，平面，若，求与平面所成的角. 17．在正方体中，棱长为1，求与平面所成角的正弦值.    18．如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 19．如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》 第59卷 空间角 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．在正方体中，点是的中点，则直线与平面所成的角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，，可得平面，则为直线与平面所成的角，在中可求解. 【详解】    取的中点，连接，，如图所示： 因为点是的中点，所以且. 在正方体中，平面，所以平面， 所以在平面内的射影为，即是直线与平面所成的角. 设正方体的棱长为，则， 在中，， 在中，， 即直线与平面所成的角的正切值为. 故选：C 2．如图，在正四棱柱中，，则直线与平面所成角的余弦值为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，连接，交于点O，连接，结合正四棱柱的结构特征，及线面垂直的判定定理，可得是直线与平面所成角，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】    由题意，连接，交于点O，连接， 因为在正四棱柱中，， 所以， 又在正四棱柱中，平面平面， 所以， 又平面，平面，， 所以平面， 所以是直线与平面所成角， 设，则， 所以，，， 所以. 即直线与平面所成角的余弦值为. 故选：C. 3．如图，已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正切值为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定直线与平面所成角的平面角，再利用锐角三角函数求解即可. 【详解】在长方体中，侧棱平面， 所以直线在平面的射影为， 即直线与平面所成角为， 因为，， 所以. 故直线与平面所成角的正切值为. 故选：A. 4．若正三棱锥的侧棱与底面边长相等，则该棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过正三棱锥的顶点向底面作垂线，垂足为 O，连接，可得是侧棱与底面所成的角，根据正棱锥的性质，在中可求解. 【详解】如图所示：正三棱锥， 设底面是边长为的等边三角形，侧棱. 过顶点向底面作垂线，垂足为O，则O是等边的中心， 连接，可得是侧棱与底面所成的角. 在等边中，由正弦定理可得： 外接圆的直径，解得. 在中，. 故选：A. 5．若长方体体对角线长为2，底面矩形长和宽分别为和1，则长方体体对角线与底面所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意平面，可得为与平面所成角，在直角三角形中求解即可. 【详解】在长方体中，连接， 由题意，，，∴， ∵平面，∴为与平面所成角， 在直角中，，，∴， ∵，∴， 则长方体体对角线与底面所成角为.     故选：B. 6．在正四棱锥中，若底面边长与侧棱长都等于，则侧棱与底面所成角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的几何性质和线面角的定义可求解. 【详解】    如图，在正四棱锥中，连接，交于点O，连接，则有平面， 所以是侧棱与底面所成角. 因为底面边长与侧棱长都等于，所以. 在直角中， ， 所以. 故选：B 7．在正方体中，中点为，中点为，求异面直线与所成角的大小（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找出为异面直线与所成角，结合全等三角形，直角三角形的性质即可求解. 【详解】取中点，连接，，    则， 在正方体中，， 所以， 则四边形为平行四边形，所以， 则或其补角为异面直线与所成角，且， 因为， 所以， 则， 所以， 在三角形中，所以， 即异面直线与所成角的大小为. 故选：D. 8．在正三棱台中，，，M为的中点，则直线AM与BC所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，得到（或其补角）即为AM与BC所成角，并求出各边长，利用余弦定理进行求解. 如图，取的中点N，连接MN，AN，则，且，故， 故（或其补角）即为AM与BC所成角， 易得，，，， 延长，相交于点， 因为，所以均为等边三角形， 又，根据比例关系可知，且， 由余弦定理得， 故， 所以， 即直线AM与BC所成角的余弦值为． 故选：B 9．已知在正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，证得，得到异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，根据，证得，即可求解. 如图所示，取的中点，连接， 因为，且，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 在正方形中，因为分别为的中点，可得， 所以， 又由，所以，所以， 即，所以异面直线与所成的角为. 故选：D. 10．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中位线将与平移到一个平面内，然后求线段长，求其夹角或其补角. 设正三棱柱中，，则， 取中点，中点，中点，连接、、， 如图， ，且，，且， (或其补角)就是异面直线与所成的角. 在中，，， ， 故. 同理，在 中，，， ， 故. 过作于，连接， ，故是中点， 所以，又， 所以 在中： ，，， 所以是等腰三角形，且. 所以与所成的角为其补角. 故选：B. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．在正四面体中，若D是的中点，则与所成角的余弦值为_____. 【答案】 【分析】通过取中点构造平行关系，找出异面直线所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】取的中点，连接、、，    因为是的中点，是的中点，可得， 所以（或其补角）是与所成的角. 设，则，， 在中，， 与所成角的余弦值为. 故答案为：. 12．如图所示，点E，F分别是正方体的棱，的中点，则异面直线与所成角的大小为_____________．    【答案】 【分析】根据题意作出辅助线，找到异面直线所成角，结合正方体的性质即可得解. 【详解】如图所示，连接，    因为点E，F分别是正方体的棱，的中点， 所以为的中位线，则， 又因为， 所以直线与所成角即为与所成角， 因为在正方体中，， 所以为等边三角形，则. 故答案为：. 13．空间四边形四边的中点分别是，若四边形是矩形，则异面直线与所成的角的大小是_________________． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理得到四边形边与、的平行关系，再结合矩形的性质求出异面直线与所成角的大小. 【详解】因为、、、分别是、、、各边的中点， 所以在中，是中位线，则， 在中，是中位线，则， 所以（或其补角）是异面直线与所成的角， 因为四边形是矩形，所以， 所以异面直线与所成的角为. 故答案为：. 14．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面，，，E为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为_____________．    【答案】 【分析】根据题意，连接，结合线面垂直的性质定理和判定定理，及线面角的概念，即可判断是直线与平面所成角，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】    由题意，连接， 因为侧棱底面，底面， 所以， 又底面为矩形，所以， 因为平面，平面，， 所以平面， 所以是直线与平面所成角， 因为，，E为棱的中点， 所以， 所以， 所以, 所以， 即直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 15．在正方体中，若为的中点，则直线与侧面所成角的正弦值为______． 【答案】 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，及线面角的定义，利用解直角三角形，即可求解. 【详解】    因为在正方体中，平面， 所以是直线与侧面所成角， 设正方体的棱长为1，则， 所以, 所以， 即直线与侧面所成角的正弦值为. 故答案为：. 三、解答题:本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图所示，P为正方形所在平面外一点，正方形边长为1，平面，若，求与平面所成的角. 【答案】 【分析】根据直线与平面所成的角的定义，结合勾股定理，特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】连接. 因为平面，平面，所以. 所以与平面所成的角，就是与其在平面上的投影所夹的角，即. 在正方形中，边长，所以对角线. 在直角三角形中，，，所以， 所以，即所以与平面所成的角为. 17．在正方体中，棱长为1，求与平面所成角的正弦值.    【答案】 【分析】连接，由平面，可得是与平面所成角，在直角中可求解. 【详解】    如图，连接，在正方体中， 因为平面，所以在平面内的射影为， 即是与平面所成角. 在棱长为1的正方形中，， 在直角中，， 所以，即与平面所成角的正弦值为. 18．如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 【答案】5 【分析】取中点，连接，，即可得到异面直线与所成的角，再由勾股定理计算可得. 取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 又因为异面直线与所成的角为，则为异面直线与所成的角（或补角）， 所以， 所以， 所以． 19．如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长． 【答案】或 【分析】根据线线平行可证四边形是平行四边形，即可利用线线角求解. 因为分别是三棱锥的棱的中点， 所以为的中位线，故且， 同理GH为的中位线，故且， 所以，所以四边形是平行四边形且． 同理且． 因为与所成的角为，所以或， 当时，为等边三角形，故； 当时，为等腰三角形，故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $