第75卷 指数函数与对数函数-专题训练卷 2027年湖南省（对口招生考试）《数学考纲百套卷 》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数专题，通过巩固层专项训练系统覆盖定义、性质、运算及综合应用，题型全面且知识逻辑递进，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择3-4/填空13|定义域、解析式求解|从函数定义到解析式确定，构建概念基础| |性质应用|选择5-6/填空12/解答18-19|单调性、最值、大小比较|由性质辨析到实际应用，形成性质应用链| |运算求解|选择1/7/9/填空11/解答16|指数对数运算化简|从基本运算到综合化简，强化运算能力| |综合应用|解答20-21|函数综合问题|整合概念、性质与运算，提升应用意识|

编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第75卷 指数函数与对数函数 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．化简：当时，（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 4．若指数函数过点，则（   ） A． B．3 C．9 D．27 5．已知，，，则它们的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 6．函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 7．下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． 8．对数函数（且）的图像经过，则底（    ） A．2 B． C． D． 9．若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，那么的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．比较大小：________. 12．已知在上的最大值与最小值之和为，则__________. 13．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式_____． 14．已知，且，函数，若的最大值与最小值之和是5，则实数__________. 15．函数是R上的单调函数，则a的取值范围是______． 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．计算： (1)； (2). 17．求下列函数的定义域和值域： (1) (2) 18．已知函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性. 19．已知函数： (1)求函数的最小值及相应的值； (2)解不等式 . 20．已知函数，求： (1)函数的定义域； (2)函数的单调递减区间. 21．已知函数满足，．求： (1)实数，的值； (2)函数在定义域上的最大值和最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第75卷 指数函数与对数函数 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用指数幂的运算法则即可得解. 【详解】A选项，，错误； B选项，，错误； C选项， ，正确； D选项，，错误. 故选：. 2．化简：当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂与根式的转化即可求解. 【详解】由题意得，时，. 故选：A. 3．函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质列出不等式，利用指数函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】函数， 则， 因为函数，底数，所以函数在上为增函数， 则不等式解得， 所以定义域为， 故选：. 4．若指数函数过点，则（   ） A． B．3 C．9 D．27 【答案】B 【分析】将点代入指数函数解析式中即可得解. 【详解】指数函数过点， 则，解得， 故选：. 5．已知，，，则它们的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性来比较、、的大小. 【详解】已知，，， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 故选：C. 6．函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用换元法结合指数函数及二次函数的性质即可得解. 【详解】令，则， 所以函数为，图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 则函数在上为减函数，上为增函数， 因为，所以在上，的最小值为，无最大值， 所以函数的值域为， 故选：. 7．下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数以及指数的运算求解即可. 【详解】选项A.，错误. 选项B.，错误. 选项C.，错误. 选项D.，正确. 故选：D. 8．对数函数（且）的图像经过，则底（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知点代入函数解析式，求得的值，即可求解. 【详解】因为对数函数（且）的图像经过， 代入为，即，解得. 故选：A. 9．若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性即可得解. 【详解】因为在上单调递增，又， 所以，即. 故选：D. 10．已知，那么的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递增， 由，可得， 解得或， 所以的取值范围是， 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．比较大小：________. 【答案】> 【分析】根据题意，结合对数函数的单调性，即可比较大小. 【详解】因为，即；，即. 因此. 故答案为：>. 12．已知在上的最大值与最小值之和为，则__________. 【答案】/ 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性分两种情况讨论的取值. 【详解】当时，在上单调递增，在上也单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以函数的最大值为，最小值为， 则，即，解得，与矛盾，舍去. 当时，在上单调递减，在上也单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以函数的最大值为，最小值为， 则，即，解得，符合. 综上所述，. 故答案为：. 13．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式_____． 【答案】 【分析】将点代入对数函数的解析式中即可得解. 【详解】对数函数（且）的图象经过点， 则，可得，因为且，所以， 因此，所求函数解析式为， 故答案为：. 14．已知，且，函数，若的最大值与最小值之和是5，则实数__________. 【答案】2 【分析】根据题意得出函数是单调函数，即可得解. 【详解】，且，函数，函数为单调函数， 因为，且在上的最大值与最小值之和是， 所以，所以，解得（舍去）或， 故答案为：. 15．函数是R上的单调函数，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为为增函数，所以只能是R上的增函数， 所以，解得． 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据指数的运算性质即可得出， （2）根据对数的运算性质即可得出. 【详解】（1） （2） 17．求下列函数的定义域和值域： (1) (2) 【答案】(1)定义域，值域 (2)定义域，值域. 【分析】（）根据二次根式的性质列出不等式，利用指数函数的单调性解不等式，结合值域的定义即可得解. （）利用真数大于零列出不等式，结合对数函数的性质即可得解. 【详解】（1），则， 因为函数，底数，所以在上为增函数， 所以不等式的解为， 则定义域为， 因为，所以， 因此，即值域为. （2）， 则，解得或， 所以定义域为， 因为，所以函数的值域为. 18．已知函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性. 【答案】(1) (2)单调递增 【分析】（1）由指数与对数的性质运算即可； （2）根据函数的单调性的定义判断即可. 【详解】（1）∵函数为， ∴； （2）， ∴ ， ∵，则， ∴，则， ∵，则，即， ∴， 即，故. ∴函数在上单调递增. 19．已知函数： (1)求函数的最小值及相应的值； (2)解不等式 . 【答案】(1) 函数的最小值为，对应的值为. (2) 不等式的解集为. 【分析】（1）通过换元法将指数型函数转化为二次函数，结合二次函数性质求解最值. （2）结合一元二次不等式解法与指数函数单调性求解不等式解集. 【详解】（1）令，由指数函数的值域可知，则. ，. 配方得，是开口向上的二次函数，对称轴为. 在定义域内当时，取得最小值. 此时，解得. 即的最小值为，对应. （2）由得，整理得，因式分解得. 解得，结合，解得. 即，解得，因此. 20．已知函数，求： (1)函数的定义域； (2)函数的单调递减区间. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据真数大于零列出不等式即可得解. （）根据复合型对数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）函数， 则， 解得或， 所以定义域为. （2）令，则原函数可表示为， 外层函数：底数，在上单调递减. 内层函数，图像为开口向上的抛物线， 对称轴为， 根据“同增异减”，结合定义域， 内层函数在上单调递增. 因此函数的单调递减区间为. 21．已知函数满足，．求： (1)实数，的值； (2)函数在定义域上的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）根据分段函数的解析式代入求解即可. （2）根据指数函数以及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为，解得． 又因为，解得． （2）由（1）知，， 当时，指数函数是增函数， 所以最大值为，最小值为， 当时，， 该二次函数的图像是开口向上的抛物线，其对称轴为， 所以最大值为，最小值为． 综上所述，函数在定义域上的最大值为1，最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $