专题31 圆的方程（练习）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以圆的方程为核心，通过基础巩固-综合应用-真题演练三级递进，系统覆盖标准方程、一般方程及位置关系，强化运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|单选8题/多选2题/填空4题|直接应用公式求方程、判断位置关系|从标准方程到一般方程，构建概念生成链条| |综合应用|解答题4题|多条件求圆方程、直线与圆综合|原理推导进阶，强化推理意识| |真题演练|8道技能高考题|结合实际情境（如赵州桥模型）|模型意识导向，实现知识应用拓展|

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》练习 专题31 圆的方程 一、单选题 1. 圆心为 ，半径为的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 2. 已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 3. 以为圆心，且过点的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 4. 已知圆过点，，，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 5. 在平面直角坐标系中曲线的长度为（ ） A． B． C． D． 6. 圆心为，且半径为 4 的圆的一般方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆的方程为，则圆心坐标与半径分别是（ ） A. B. C. D. 8. 与已知圆的圆心坐标相同，且半径为 3 的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ） A.圆的圆心为 B.点在圆内 C.圆的半径为 D.点在圆内 10. 已知方程，下列叙述正确的是（ ） A．方程表示的是圆 B．当时，方程表示过原点的圆 C．方程表示的圆关于直线对称 D．方程表示的圆的圆心在轴上 三、填空题 11. 圆心为，半径为的圆的标准方程为____________． 12. 以为圆心且经过点的圆的标准方程为____________． 13. 圆心在轴上，半径为，且过点的圆的标准方程是____________． 14. 已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是____________． 四、解答题 15. 已知圆 的圆心坐标为，半径为. （1）求圆 的标准方程； （2）已知点 ，，判断点 与圆 的位置关系. 16. 已知直线与，与轴交点为，与交点为. （I）点到的距离； （II）以线段为直径的圆的一般方程. 一、单选题 1. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 2. 已知曲线表示圆，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3. 若直线始终平分圆的周长，则的值为（ ） A． B． C． D． 4. 已知直线平分圆，且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 5. 圆心在轴上，且经过点，的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 6. 已知圆关于直线对称，则坐标原点到直线的距离等于（ ） A． B． C． D． 7. “关于的方程：表示圆” 是 “” 的（ ）条件． A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 8. 若方程表示以为圆心，为半径的圆，则下列说法不正确的是（ ） A． B．圆关于直线对称 C．圆与轴只有一个交点 D．点到圆的距离的最大值为 二、多选题 9. 若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（ ） A． B． C． D． 10. 已知点和圆，下列说法正确的是（ ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最小值为 三、填空题 11. 已知圆，则圆心坐标为_________；半径为_________． 12. 已知在圆上，则实数_________，圆的面积_________． 13. 过，，三点的圆的标准方程为__________________． 14. 经过，两点，且圆心在直线上的圆的一般方程为__________________． 四、解答题 15. 已知圆的圆心在轴上，且经过点，． (1) 求圆的标准方程； (2) 若圆与直线交于两点，求的面积． 16. 已知圆过两点，，且圆心在直线上． (1) 求圆的标准方程； (2) 若过圆心的直线在轴，轴上的截距是互为相反数，求直线的方程． 1.（2025年湖北省技能高考第31题）已知点，圆的方程为，直线过点与圆相交于，两点. （1）求点与圆的位置关系； （2）求弦长的最大值与最小值，并分别写出最大、最小时直线的一般式方程. 2.（2024年湖北省技能高考第31题）赵州桥是我国现存最早、跨度最大、保存最完整的一座空腹式圆弧形石拱桥. 树人职校综合实践小组拟用3D打印技术制作一个圆弧形石拱桥模型、一个长方体形状的小船模型，模拟船能否通过石拱桥的情境，其截面图如图1所示. （1）如图2所示，制作的石拱桥模型的跨度，圆拱高. 以线段AB的中点O为原点，AB所在的直线为轴建立平面直角坐标系. 试求该石拱桥模型中的圆弧所在圆的方程； （2）若制作的小船模型的宽为，高为，试判断该小船能否通过（1）中的石拱桥，请说明理由. 3.（2019年湖北省技能高考第31题第2小题）设直线与轴的交点为，求以为圆心，以点到直线的距离为半径的圆的一般方程. 4.（2018年湖北省技能高考第31题第1小题）求以直线与轴的交点为圆心，且经过点的圆的一般方程. 5.（2015年湖北省技能高考第31题第2小题）已知点与，线段中点，求点坐标以及以为直径的圆的标准方程. 6.（2014年湖北省高职统考第7题）过点、、的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 7.（2013年湖北省技能高考第29题）若点与，则以线段为直径的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 8.（2006年湖北省高职统考第16题）圆的圆心坐标为_________，半径为_________. 9.（2003年湖北省高职统考第7题）已知圆的方程为，则圆心的坐标与半径分别是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》练习 专题31 圆的方程 一、单选题 1. 圆心为 ，半径为的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【考点】圆的标准方程：，圆心，半径 【答案】 【解析】圆标准方程：，圆心，， 代入得：，选 2. 已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【考点】直径式圆方程；中点坐标公式；两点间距离公式 【答案】 【解析】圆心为线段中点：，圆心 半径 圆的标准方程为：，选 3. 以为圆心，且过点的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【考点】圆标准方程；两点间距离求半径 【答案】 【解析】半径 ， 圆心，方程：，选 4. 已知圆过点，，，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【考点】待定系数法求圆标准方程 【答案】 【解析】设圆方程，三点代入： 解得 ，圆的标准方程为：，选 5. 在平面直角坐标系中曲线的长度为（ ） A． B． C． D． 【考点】圆标准方程；圆周长公式 【答案】 【解析】曲线为圆，圆心，，周长 ，选 6. 圆心为，且半径为 4 的圆的一般方程是（ ） A. B. C. D. 【考点】圆的标准方程与一般方程的转化 【答案】B 【解析】由圆心、半径，写出圆的标准方程： 展开整理： 化简为一般方程：，答案为B. 7. 已知圆的方程为，则圆心坐标与半径分别是（ ） A. B. C. D. 【考点】圆的一般方程配方求解圆心与半径 【答案】B 【解析】对圆的方程配方，整理得. 因此圆心坐标为，半径，答案为B. 8. 与已知圆的圆心坐标相同，且半径为 3 的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【考点】圆的配方化简；同圆心圆方程求解 【答案】B 【解析】先对已知圆方程配方，整理得. 可得已知圆圆心为，所求圆与其同心，半径为3. 因此所求圆方程为：，答案为B. 二、多选题 9. 已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ） A.圆的圆心为 B.点在圆内 C.圆的半径为 D.点在圆内 【考点】圆的标准方程；点与圆的位置关系 【答案】 【解析】由圆的标准方程，可得圆心，半径，故A、C正确； 点与圆位置关系判定：将点坐标代入圆左侧式子，与比较. 点：，点在圆内，B正确； 点：，点在圆外，D错误. 综上，正确选项为. 10. 已知方程，下列叙述正确的是（ ） A．方程表示的是圆 B．当时，方程表示过原点的圆 C．方程表示的圆关于直线对称 D．方程表示的圆的圆心在轴上 【考点】圆一般方程；圆心坐标；圆对称性 【答案】 【解析】配方： A：仅当即时表示圆，错误； B：，方程，代入成立，过原点，正确； C：圆心，代入直线：，圆心在直线上，圆关于直线对称，正确； D：圆心，纵坐标为，圆心在轴上，正确. 三、填空题 11. 圆心为，半径为的圆的标准方程为____________． 【考点】圆标准方程定义 【答案】 【解析】，，直接代入得. 12. 以为圆心且经过点的圆的标准方程为____________． 【考点】两点间距离求半径 【答案】 【解析】，直接代入得. 13. 圆心在轴上，半径为，且过点的圆的标准方程是____________． 【考点】待定系数法求圆的标准方程 【答案】 【解析】圆心在轴上，设圆心坐标为，圆的标准方程为：. 将定点代入方程：，化简得，解得. 因此圆的标准方程为：. 14. 已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是____________． 【考点】待定系数法求圆方程 【答案】 【解析】圆心， ，，， 因此圆的方程为：. 四、解答题 15. 已知圆 的圆心坐标为，半径为. （1）求圆 的标准方程； （2）已知点 ，，判断点 与圆 的位置关系. 【考点】圆的标准方程定义及直接应用；点与圆的位置关系判定 【答案】（1）；（2）点在圆外；点在圆上. 【解析】（1）圆的标准方程为，已知圆心，半径，则.将参数直接代入，可得圆的标准方程：. （2）由（1）可知，圆圆心为，半径，根据点到圆心的距离判定位置： 判断点：计算点到圆心的距离. 因，即，故点在圆外. 判断点：计算点到圆心的距离. 因，故点在圆上. 16. 已知直线与，与轴交点为，与交点为. （I）点到的距离； （II）以线段为直径的圆的一般方程. 【考点】直线交点求解；点到直线距离公式；圆的方程求解与转化 【答案】(I) ；(II) 【解析】（I）直线与轴交点，令，得，即. 由点到直线距离公式，求到的距离：； （II）联立直线方程：， 两式相减得，解得，代入得，即. 求中点（圆心）：. 求半径：，. 圆的标准方程：. 展开整理为一般方程：. 一、单选题 1. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【考点】圆的几何性质；垂直平分线求圆心 【答案】 【解析】中点，在轴，垂直平分线： 圆心同时满足，得圆心 半径 ， 圆的标准方程为：，选. 2. 已知曲线表示圆，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【考点】一般式表示圆条件： 【答案】 【解析】， ， 解得 或 ，选. 3. 若直线始终平分圆的周长，则的值为（ ） A． B． C． D． 【考点】直线平分圆的几何性质；圆的一般式转标准式 【答案】 【解析】直线平分圆的周长，说明直线必经过圆心. 将圆的一般方程配方化为标准方程： 整理得：，圆心为. 将圆心代入直线方程：，化简得：，本题选. 4. 已知直线平分圆，且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【考点】直线过圆心；两直线垂直斜率关系 【答案】 【解析】直线平分圆过圆心 直线斜率，垂直直线斜率 由点斜式：，整理：，选 5. 圆心在轴上，且经过点，的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【考点】圆心在坐标轴上圆方程待定系数法 【答案】 【解析】圆心在轴，设圆心，方程 代入两点：， 则， 圆心， 圆的标准方程为：，选. 6. 已知圆关于直线对称，则坐标原点到直线的距离等于（ ） A． B． C． D． 【考点】圆关于直线对称直线过圆心；点到直线距离公式 【答案】 【解析】圆心在直线上，则 直线，原点到直线距离：，选. 7. “关于的方程：表示圆” 是 “” 的（ ）条件． A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【考点】圆一般式成立条件；充分必要条件判定 【答案】 【解析】方程表示圆：， 或 集合 能由推出方程表示圆；方程表示圆不能推出，故为必要不充分条件，选. 8. 若方程表示以为圆心，为半径的圆，则下列说法不正确的是（ ） A． B．圆关于直线对称 C．圆与轴只有一个交点 D．点到圆的距离的最大值为 【考点】圆一般式与标准式互化；圆几何性质；距离最值 【答案】 【解析】标准方程：，展开：， 所以，A 正确； 圆心满足：，圆心在直线上，直线为直径所在直线，圆关于直线对称，B 正确； 时，，，圆与轴有两个交点，，C 错误； 点到圆心的距离：， 所以，点到圆的距离的最大值为，D 正确. 本题选不正确选项. 二、多选题 9. 若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（ ） A． B． C． D． 【考点】圆对称性：若两点都在圆上，则两点连线垂直平分线过圆心 【答案】 【解析】点关于对称点；两点都在圆上，圆心在直线上； 设圆心的坐标为，则，解得或 时，圆心的坐标为，半径为，圆的标准方程是，A正确； 时，圆心的坐标为，半径为，圆的标准方程是，D正确. 选. 10. 已知点和圆，下列说法正确的是（ ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最小值为 【考点】圆标准方程；点与圆位置；圆对称性；圆上动点距离最值 【答案】 【解析】A：半径，不是 9，错误； B：，点在圆外，正确； C：圆心代入直线，圆心在直线上，圆关于直线对称，正确； D：圆外点到圆上点最小距离，正确. 选. 三、填空题 11. 已知圆，则圆心坐标为_________；半径为_________． 【考点】一般式配方转化标准方程 【答案】； 【解析】配方：，， 则圆心坐标为；半径为． 12. 已知在圆上，则实数_________，圆的面积_________． 【考点】点与圆的位置关系；圆一般式方程求半径 【答案】； 【解析】点在圆上，将代入圆的方程： 计算得：，解得. 圆的方程为，根据圆一般式半径公式， 其中， 圆的面积为. 13. 过，，三点的圆的标准方程为__________________． 【考点】三点求圆方程 【答案】 【解析】解法一：利用圆的标准方程（或一般方程）求解： 设圆的标准方程，三点代入： 解得，圆的标准方程为； 解法二：几何法（快速理解） 点 在 轴上，两点连线为弦， 弦 的中点：，弦水平，所以垂直平分线为直线 ， 因此圆心横坐标 ，和上面计算结果一致，后续步骤相同. 14. 经过，两点，且圆心在直线上的圆的一般方程为__________________． 【考点】弦垂直平分线求圆心 【答案】 【解析】中点，，垂直平分线斜率，方程 联立，解得，圆心为，半径为， 所以，圆的标准方程为，化为一般式为. 四、解答题 15. 已知圆的圆心在轴上，且经过点，． (1) 求圆的标准方程； (2) 若圆与直线交于两点，求的面积． 【考点】待定系数法求圆方程；直线与圆相交的弦长、三角形面积计算 【答案】(1) ；(2) . 【解析】(1) 圆心在轴上，设圆心，圆的标准方程为. 将、代入方程得： 联立得：，展开化简：，解得. 半径，故圆的标准方程为：. (2) 由(1)得圆心，半径. 直线整理为，根据点到直线距离公式，圆心到直线的距离：. 由弦长公式，代入数据：. 三角形面积公式，代入得：. 综上，的面积为. 16. 已知圆过两点，，且圆心在直线上． (1) 求圆的标准方程； (2) 若过圆心的直线在轴，轴上的截距是互为相反数，求直线的方程． 【考点】求圆方程；直线截距式、分类讨论（截距为 0） 【答案】(1) ；(2) 或 . 【解析】(1) 的中点为，，垂直平分线的斜率为 由点斜式得垂直平分线方程： 联立，代入得，圆心 半径 所以，圆的标准方程为； (2) 直线过，截距互为相反数，两种情况： ①截距均为 0，直线过原点：，代入，，方程为，即； ②截距不为 0，设直线与轴，轴的交点为，，斜率为， 方程为，即； 综上，直线的方程为： 或 1.（2025年湖北省技能高考第31题）已知点，圆的方程为，直线过点与圆相交于，两点. （1）求点与圆的位置关系； （2）求弦长的最大值与最小值，并分别写出最大、最小时直线的一般式方程. 【考点】点与圆的位置关系；圆的最长弦与最短弦性质；直线方程求解 【答案】(1) 点在圆内部；(2) 弦长最大值为，对应直线方程；弦长最小值为，对应直线方程 【解析】（1）由圆的标准方程，可得圆心，半径. 计算点到圆心的距离： 因为，即，所以点在圆内部. （2）① 圆内最长弦为圆的直径，因此弦长最大值. 此时直线过圆心和点，直线斜率. 由点斜式得，整理为一般式：. ② 圆内过定点的最短弦垂直于该点与圆心的连线，即. 由弦长公式，代入数据得：. 由，得垂线的斜率，直线过点， 由点斜式得，整理为一般式：. 2.（2024年湖北省技能高考第31题）赵州桥是我国现存最早、跨度最大、保存最完整的一座空腹式圆弧形石拱桥. 树人职校综合实践小组拟用3D打印技术制作一个圆弧形石拱桥模型、一个长方体形状的小船模型，模拟船能否通过石拱桥的情境，其截面图如图1所示. （1）如图2所示，制作的石拱桥模型的跨度，圆拱高. 以线段AB的中点O为原点，AB所在的直线为轴建立平面直角坐标系. 试求该石拱桥模型中的圆弧所在圆的方程； （2）若制作的小船模型的宽为，高为，试判断该小船能否通过（1）中的石拱桥，请说明理由. 【考点】圆的标准方程求解；圆的方程实际应用 【答案】(1) ；(2) 小船可以通过 【解析】（1）由题意得坐标：，，.因圆弧关于轴对称，设圆心为，半径为. 由圆的半径性质可得方程组： 联立化简：，解得. 半径，因此圆弧所在圆的方程为：. （2）小船宽，对应横坐标，将代入圆的方程： ，化简得. 因拱高，解得，即水面上方拱高为. 因，故小船可以通过. 3.（2019年湖北省技能高考第31题第2小题）设直线与轴的交点为，求以为圆心，以点到直线的距离为半径的圆的一般方程. 【考点】直线与坐标轴交点求解；点到直线的距离公式；圆的标准方程与一般方程转化 【答案】 【解析】直线与轴交点，令，代入，得，， 即圆心的坐标为. 由点到直线距离公式，代入点、直线： 圆的半径. 圆的标准方程：，展开整理为一般方程：. 4.（2018年湖北省技能高考第31题第1小题）求以直线与轴的交点为圆心，且经过点的圆的一般方程. 【考点】直线与坐标轴交点；两点间距离公式；圆的方程转化 【答案】 【解析】求圆心坐标：令，代入直线方程，得，， 即圆心. 求圆的半径：圆过点，半径，由两点间距离公式： . 标准方程：，展开整理为一般式：. 5.（2015年湖北省技能高考第31题第2小题）已知点与，线段中点，求点坐标以及以为直径的圆的标准方程. 【考点】中点坐标公式；圆的直径式标准方程 【答案】；圆的标准方程： 【解析】由中点坐标公式求点坐标：，，代入数据： ，解得；，解得，即. 以为直径的圆，圆心即为中点，半径. 因此圆的标准方程为：. 6.（2014年湖北省高职统考第7题）过点、、的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【考点】圆的方程求解 【答案】B 【解析】采用代入验证法： 将、、依次代入选项B方程： ：，等式成立； ：，等式成立； ：，等式成立. 三点均满足方程，故答案为B. 7.（2013年湖北省技能高考第29题）若点与，则以线段为直径的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【考点】中点坐标公式；直径式圆的标准方程 【答案】D 【解析】求圆心（线段中点）坐标：，，圆心为. 直径，半径. 代入圆心和半径得：，答案为D. 8.（2006年湖北省高职统考第16题）圆的圆心坐标为_________，半径为_________. 【考点】配方法求解圆的圆心与半径 【答案】圆心；半径 【解析】对圆的一般方程配方变形： 凑完全平方：，整理得：. 故圆心坐标为，半径. 9.（2003年湖北省高职统考第7题）已知圆的方程为，则圆心的坐标与半径分别是（ ） A. B. C. D. 【考点】配方法化圆的一般方程为标准方程 【答案】D 【解析】对圆的一般方程配方变形： 分组配方：，凑完全平方： 整理得标准方程：. 因此圆心坐标为，半径，答案为D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $