2.2.3向量的数乘运算（练习）高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》【上好课】（原卷版+解析版）

**基本信息** 本同步练习聚焦向量的数乘运算，通过基础与提升两层设计，实现从概念辨析到几何应用的进阶，强化运算能力与几何直观，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|向量数乘定义、运算律及简单共线判定|单选题（1-5）、填空题（12-14）侧重概念辨析与直接运算，夯实基础| |提升层|几何图形中向量表示、综合化简与共线应用|结合平行四边形、三角形中线等情境（如单选题6-11、解答题15-17），提升空间观念与推理能力|

公共基础课·上好课 醇A山职教 》 高教版（第三版）《数学拓展模块一上册》 第二章平面向量 2.2.3向量的数乘运算 同步练习 基 础 巩 一、单选题 1.已知入，μ∈R,下面式子正确的是() A.1a与a同向 B.0a=0 C.+μla=λa+μa D.若6=入a则6=a 2.已知à，6是不共线的非零向量，并且AB=à+26，BC=-5a+66,CD=7a-2i,则一定共线的三个 点是() A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 3.AB+BC+AC=() A.AC B.2AC C.0 D.0 4.在△ABC中，D是BC的中点，则AD=() A.硒+C)B.2(i-A花C.2(丽+BC)D.2a恋-B配) 5.如图，四边形ABCD是平行四边形，则AC+号D=() ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 公共基础课·上好课 醇A山职教 》 D A.AB B.CD c.CB D.AD 6.如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB可以表示为() D c是店+好a心 D应+星 7.已知a=3e1+2e2,则与a共线的是() A.-2e1-3e2B.6e1-4e c.6e1+4e, D.-321+2e2 8.点C在直线AB上，且AC=3AB,则BC等于() A.-2AB 。号 D.2AB 9.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若AB=a,AC=b,则AM等于() M B a Aa-6 Ba-6副 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·上好课 A山职教 》 c.a+6 D.+B) 10.4a-6)-3(a+6)-6等于(） A.a-2b B.a C.a-6b D.a-8b 11.化简2(a-3b)-3(ā+b)的结果为() A.a+4b B.-a-9b C.2a+b D.a-3b 二、填空题 12.若a=36=5且6与a方向相反，设6=入a则实数，的值为一 13.已知a=-2b,则a与b方向 4.a-a+6)-2c+a-i)= 三、解答题 15. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AB=2CD,若AB=à，BC=6,用a与b表示AD】 D 16.在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，若E亦=a,AB=b,试用向量a、b表示CA. E b B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·上好课 A山职教 》 17.四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD,|AB=2CDL,M,N分别是DC,AB的中点，已知 A店=a,办=6试用a,6表示DC,B元和亦 能 力 进 阶 一、单选题 1.在平行四边形ABCD中，E为线段CD上任一点，则AE AE-CE+CB=（) A.AC B.CB C.AB D.AD 2.已知向量a,i化简4a+36+2a-6=（） A.3a-2b B.2a-46 C.6a+b D.4a+b 3.10a+6-a-6=（） A.9a+9bB.9a+11b c.11a+9b D.11a+11b 4.已知向量a,b不共线，向量c=a+3b,d=2a+kb,且c∥d,则k=() A.-3 B.3 C.-6 D.6 5.号+A0+号成=（) A.-AC B.AB C.BC D.G 6.在平行四边形ABCD中，DE=EC,AF=2FB,设AB=a,AD=b,则EF=() 4 ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·上好课 醇A山职教 》 4a-6 B.+ *36 c.-1a D. -6 7.如图，在△ABC中，AD=二AB.设AB=a,AC=b,则下列正确的是() D A.CD=ā-i B.CD=1a-b 3 c.Cò=1a+6 D.C⑦=1a+6 8.如图，在平行四边形ABCD中，设对角线的交点为0，则吃BD-OC=() 0 A.BA B.DC C.BC D.DA 9.在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2DC,设AB=a,AC=b,则AD=() A号+ ， 3 8号á6 3 c.- 3 D.ga 3 10.下列计算正确的是() A.2(a+b)+c=2a+b+c B.3a+b)+3(à-i)=0 C.AB+BA=2AB D.a+b+3a-5b=4a-4b 11.如图所示，已知OA=a,OB=b,点C在线段AB上，且BC=3AC,则OC等于() 6 o9. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·上好课 A山职教 》 B +6 4.3、 B.a C. D. 4 +号6 12.关于平面向量，下列正确的是() A.若是单位向量6零向量，则a=6=0 B.若向量a与b不共线，则存在一对实数x,y,使c=xa+yb C.海拔、温度、角度都是向量 D.若AD=BC,则四边形ABCD是菱形 二、填空题 13.化简：OA-OB+AB+D2+ED= 14.已知2a+=36+则发= 15.计算sa-2a-26-3à+6= 16.若1a=3,b与a反向，16=2，则a= 17.计算：2a-36-c+30+2b-c 三、解答题 18.设？G,是不共线的非零向量，且a=E-2:b=E+3G:若4它-3=入a+u6求u的值 19.如图所示，已知a,b,求： 6 ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·上好课 醇A山职教 》 ①0a+b (22a-b1 20.己知a与b,如图所示，作出向量3a+2b与3a-2b 45.化简： 四4a-6-a+3i 22l3a-26-a+4a-6 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》 第二章 平面向量 2.2.3向量的数乘运算 一、单选题 1．已知，下面式子正确的是（   ） A．与同向 B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量的数乘运算律逐项分析即可. 【详解】当时，与反向，故A不对， ，故B不对， 正确，故C正确， 若，则，故D不对. 故选：C. 2．已知是不共线的非零向量，并且，则一定共线的三个点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量加法公式得到即可得到共线. 【详解】因为， 所以， 所以，所以三点共线. 故选：A. 3．（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的运算法则求解. 【详解】． 故选：B． 4．在中，D是BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量分解定理求解即可. 【详解】在中，是的中点，则 . 故选：. 5．如图，四边形是平行四边形，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的加法、减法、数乘运算即可求解. 【详解】解：由图可知，， ∴． 故选：D. 6．如图所示，在中，为边上的中线，E为的中点，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的混合运算可求. 【详解】由题可知，因为E为的中点，则, ，，， 则； 故选：A. 7．已知，则与共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理判断即可得出结论. 【详解】解：因为， 所以与共线. 故选：C. 8．点C在直线上，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数乘向量的定义求解. 【详解】如图，点C在直线上，且，即同向且， 所以同向且，故． 故选：D. 9．如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，用、表示出、和即可. 【详解】因为是的中点，所以. 故选：C 10．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算性质求解. 【详解】原式． 故选：D． 11．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算性质即可得出答案. 【详解】 故选：B 二、填空题 12．若，且与方向相反，设，则实数的值为______. 【答案】 【分析】根据平行向量的性质求值即可. 【详解】，且与方向相反， 且，所以， 由方向相反可知， 则. 故答案为：. 13．已知，则与方向__________． 【答案】相反 【分析】根据向量的数乘运算，判断两向量的关系. 【详解】∵， ∴与方向相反． 故答案为：相反. 14．__________； 【答案】 【分析】利用向量线性运算法则计算即可得解. 【详解】. 故答案为：. 三、解答题 15．如图所示，已知等腰梯形ABCD中，，若，用与表示．    【答案】 【分析】根据向量的加法法则和向量数乘定义求解. 【详解】∵ ，故根据梯形的性质，得到. 而，得到. 故. 16．在中，、分别是、的中点，若，，试用向量、表示． 【答案】 【分析】根据向量的加法几何法则和运算性质计算. 【详解】∵、分别是、的中点，∴, 故，． 17．四边形是一个梯形，分别是的中点，已知，试用表示和． 【答案】答案见解析 【分析】连接，可得为平行四边形，根据平面向量线性运算的几何表示求解. 【详解】因为分别是的中点， 所以． 连接，因为且， 所以为平行四边形，则． 在中，． 在中，． 综上，，，. 一、单选题 1．在平行四边形中，为线段上任一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的图形，利用向量的运算规则得出结论. 【详解】根据平行四边形图形可知： . 故选：C.    2．已知向量，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的运算法则即可得解. 【详解】， 故选：. 3．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法，减法，数乘向量以及它们的混合运算化简运算即可. 【详解】 ， 故选：B. 4．已知向量不共线，向量，且，则（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】根据题意利用向量共线定理即可得解. 【详解】向量不共线，向量， 因为，设， 则，所以，解得， 故选：. 5．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的运算法则即可得解. 【详解】， 故选：. 6．在平行四边形中，，设，，则（   ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合平面向量的运算法则即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 因为，所以， ， 故选：. 7．如图，在中，.设，，则下列正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法法则即可求解.. 【详解】由图可知. 故选：A. 8．如图，在平行四边形中，设对角线的交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算结合图形即可求解. 【详解】由图可知， 所以， 又. 故选：A. 9．在中，点在边上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】在中，点在边上，且， 所以， 因为，，所以. 故选：D.    10．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算求解即可. 【详解】选项A.，错误. 选项B.，错误. 选项C.，错误. 选项D.，正确. 故选：D. 11．如图所示，已知，，点在线段上，且，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法以及减法的几何运算求解即可. 【详解】因为，所以是线段的四等分点， 则 . 故选：A. 12．关于平面向量，下列正确的是（ ） A．若是单位向量，零向量，则 B．若向量与不共线，则存在一对实数，使 C．海拔、温度、角度都是向量 D．若，则四边形ABCD是菱形 【答案】B 【分析】对于A，由单位向量，零向量定义可判断选项正误；对于B，由平面向量基本定理可判断选项正误；对于C，由向量定义可判断选项正误；对于D，由向量相等定义结合题意可判断选项正误. 对于A，因是单位向量，零向量，则，故A错误； 对于B，因向量与不共线，则与可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得： 存在一对实数x，y，使，故B正确； 对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误； 对于D，因，则，则四边形ABCD是平行四边形，条件不足，无法判断是否是菱形，故D错误. 故选：B. 二、填空题 13．化简：=_____． 【答案】 【分析】根据向量运算中的三角形法则求解即可. 【详解】. 故答案为：. 14．已知，则_____________； 【答案】 【分析】根据平面向量的运算法则即可得解. 【详解】， 故答案为：. 15．计算____________ 【答案】 【分析】根据平面向量的运算法则即可得解. 【详解】， 故答案为：. 16．若，与反向，，则_____________． 【答案】 【分析】根据数乘的定义即可求解. 由于， ，且与反向，故， 故答案为： 17．计算：______. 【答案】 【分析】利用向量线性运算的向量表示即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 三、解答题 18．设，是不共线的非零向量，且，．若，求，u的值． 【答案】. 【分析】根据题意结合平面向量的线性运算，利用相等列出方程组即可得解. 【详解】，是不共线的非零向量，且，， 由， 得， 得，解得． 所以. 19．如图所示，已知，求：    (1)； (2)． 【答案】(1)图形见详解 (2)图形见详解 【分析】（1）根据向量加法的三角形法则可求解； （2）根据数乘法则，先作，再根据向量的减法法则可求解. 【详解】（1）    如图，作，， 则为所求； （2）    如图，作，，则， 所以为所求. 20．已知与，如图所示，作出向量与．    【答案】答案见详解 【分析】根据向量加法的三角形法则和向量减法的三角形法则，结合题意，即可作图. 【详解】如图所示：    45．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加减法和数乘运算法则进行逐步计算即可. （2）利用向量的加减法和数乘运算法则进行逐步计算即可. 【详解】（1）根据向量的加减法和数乘运算法则可得： （2）根据向量的加减法和数乘运算法则可得： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $