第三章 锐角三角函数（8大考点+9大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了锐角三角函数单元内容，涵盖概念、特殊角值、解直角三角形及应用（坡度、仰角俯角、方位角）等核心范畴，搭建了从基础定义到实际问题解决的阶梯式学习架构。 清单以“知识点分级+易错点专项突破”构建知识体系，如9个易错点分类（定义混淆、非直角三角形误用等）配“对点训练”，培养数学思维与运算能力。设计“特殊角值表”“解直角三角形类型表”，标注“至少有一条边”等关键提示，助力学生精准掌握，教师可据此设计分层教学，提升复习效率。

第3章 锐角三角函数 知识点01  锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即． 同理；；． 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 知识点02 特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 知识点03 解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形． 　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角． 　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　①三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）． 　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°． 　③边角之间的关系： sin A = ， cos A= ， tan A = sin B = ，. 　　④，h为斜边上的高． 知识点04  解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两边 两直角边（a，b） 由求∠A，∠B=90°-∠A， 斜边，一直角边（如c，a） 由求∠A，∠B=90°-∠A， 一边 一 角 一直角边和一锐角 锐角、邻边（如∠A，b） ∠B=90°-∠A，， 锐角、对边（如∠A，a） ∠B=90°-∠A，， 斜边、锐角（如c，∠A） ∠B=90°-∠A，， 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 知识点05 解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键． 解这类问题的一般过程是： （1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型． （2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题． （3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形． （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解． 知识点06  解直角三角形的应用-坡度坡角 坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之间的关系是，坡角越大，坡度越大. 知识点07 解直角三角形应用-仰角俯角问题 仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 知识点08 解直角三角形应用-方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°． （2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°．特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°． 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图． 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解． 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意（关键弄清其中名词术语的意义），然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解． 易错点1 正弦、余弦、正切的定义混淆 易错提醒 在直角三角形中，锐角的正弦是对边与斜边的比，余弦是邻边与斜边的比，正切是对边与邻边的比。很多学习者会记错这三个比值的对应边，要么将正弦、余弦的分子弄混，要么误将正切的分母当成斜边， 【对点训练】1．（24-25九年级上·山东济南·期中）在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：．    易错点2 在非直角三角形背景下直接套用三角函数定义计算，导致错误 易错提醒 解决这类问题时，首先要确认题目中的三角形是否为直角三角形，只有在直角三角形中，才能直接按照“对边比斜边、邻边比斜边、对边比邻边”的定义计算锐角的正弦、余弦、正切值；若为非直角三角形，需要先通过作辅助线构造出直角三角形，再结合三角函数定义进行计算，避免直接套用定义出现概念性错误。 【对点训练】2．如图，在中，，则的长为___________． 【答案】/ 【难度】0.65 【来源】第12讲 解三角形（暑假预习讲义）新九年级数学新教材华东师大版 【知识点】解非直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 易错点3 正弦、余弦、正切是线段的比，与直角三角形边长无关 易错提醒 正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关.同时，在运用定义求值时，需注意：在直角三角形中，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边， 【对点训练】3．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 易错点4 网格中的锐角三角函数求解问题 易错提醒 解题的核心仍然是紧扣三角函数定义，先通过网格的边长确定直角三角形的各边长度，找到所求锐角所在的直角三角形，明确哪条是对边、邻边与斜边，再代入对应公式计算即可，若所求角没有直接落在现成的直角三角形中，可借助网格构造直角三角形，注意不能混淆对边和邻边的位置，避免代入错误的比例得到错误结果。 【对点训练】4．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求角的正弦值 【详解】过C作CD⊥AB， 根据勾股定理得： AC=AB= = ， S△ABC=4---=， 即 CD•AB=，所以 CD =， 解得：CD= ， 则sin∠CAB== ， 故选B． 易错点5 记错特殊角三角函数值出错 易错提醒 特殊角的三角函数值是解直角三角形问题中常常用到的基础数据，不少考生因为没有准确牢记30°、45°、60°这几个特殊角的正弦、余弦、正切数值，经常将不同角的对应值记混，比如把sin30°和cos30°的结果弄反，或是记错60°角的正切值，在直接套用计算时就会直接得出错误结果。这类错误本质还是对三角函数定义的掌握不扎实，没有结合定义去推导记忆，仅靠死记硬背就很容易出现混淆记错的情况。 【对点训练】5．．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)4 【分析】（1）先将各个特殊角度的锐角三家函数值化简，再进行计算即可； （2）先将各个特殊角度的锐角三家函数值化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记各个特殊角度的锐角三角函数值． 易错点6 不能在实际问题中准确的确定仰角、俯角 易错提醒 无论仰角还是俯角都是视线与水平线的夹角，容易将其误认为是视线与铅垂线的夹角，在解直角三角形列边角关系时就会出现错误，因此解题时要先根据题意找准仰角、俯角，再结合图形特点和已知条件梳理边角关系，逐步计算求解。 【对点训练】6．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测倾器测得楼房顶部点的仰角为45°，向前走20米到达处，测得点的仰角为67.5°，已知测倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为（结果精确到0.1米，，）（    ）    A．35.7米 B．34.7米 C．35.1米 D．34.1米 【答案】A 【分析】过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过B作于F，    米 在中， 在中，， ， 米 米, 楼房的高度约为35.7米 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题,结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键． 易错点7 不能在应用问题中准确的确定坡角、坡比 易错提醒 坡角是坡面与水平面的夹角，坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，有的学生容易混淆二者概念，代入错误的数值进行三角函数计算，最终得到错误结果。要解决这类易错问题，解题第一步需要先明确题目给出的角度和线段分别对应哪类边角，再结合图形，根据仰角、俯角、坡角的定义标出对应角，结合已知条件整理出直角三角形中的已知量，再利用锐角三角函数关系逐步求解。 【对点训练】7．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（　　） A．75m B．50m C．30m D．12m 【答案】A 【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比列式计算即可． 【详解】解：∵斜坡AB的坡度i＝1：2.5， ∴BC：AC＝1：2.5， ∵BC＝30m， ∴AC＝30×2.5＝75m， 故选A． 【点睛】本题主要考查了坡度的定义，解题的关键在于能够熟练掌握坡度的定义. 易错点8 解三角形时没有正确的分类讨论而出错 易错提醒 有时满足条件的图形不唯一，因此在解直角三角形时需分类讨论，解题时要先根据题干描述画出所有可能的图形，再结合已知条件分别计算边长或角度，避免漏解导致出错。 【对点训练】8．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 s． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，三角函数的比值关系，合理分类讨论和作出相关辅助线是解题的关键． 分类讨论等腰三角形边相等的情况，再结合勾股定理列出方程运算即可． 【详解】解：由题可知是边上的中线，所以不会出现，则可分两种情况讨论： ①当时，如图，过作，交延长线于点， ， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， ∴ 此时； ②当时，且在线段上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 此时； ③当时，且在线段延长线上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， 即此时与重合， ∴， ∴， 此时； 综上，的值为或或； 故答案为：或或． 易错点9 对锐角三角函数的项目式学习材料题理解不透而出错 易错提醒 锐角三角函数的项目式学习类型题，作为中考数学的重要考查形式，侧重于将抽象的三角函数概念与具体的现实生活情境相结合，旨在考察综合运用锐角三角函数知识解决实际问题的能力。这类题目通常以测量高度、计算距离、设计坡度等实际问题为背景，要求通过建立数学模型，将实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题，并利用正弦、余弦或正切函数进行求解。解题的关键在于准确理解题意，从复杂的背景信息中抽象出合适的直角三角形模型，并正确选择和应用对应的三角函数关系式。 【对点训练】9．项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）； (2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 【答案】(1)高椅的实际高度为7米 (2)此时线段的长约为9米 【难度】0.64 【来源】2026年山西长治市平顺县部分学校中考考前模拟数学试题 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）先解，，求出和，即可求解高椅的实际高度； （2）在图1中，（米），解中，求出，解在，得到，由，求解即可． 【详解】（1）解：在图4中，在中，米，，， ∴（米）． ∵在中，米， ， ∴（米）， ∴高椅的实际高度为（米）． 答：高椅的实际高度为7米． （2）解：在图1中，（米） 在中，，， ∴． 在中，，， ∴， 由， 解得（米）． 答：此时线段的长约为9米． 1、 单选题 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】A．∵CD⊥AB， ∴∠CDB=∠ADB=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD， 在Rt△ACD中，cos∠ACD=， ∴cosB=， 故A不符合题意； 2．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求角的正弦值、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】根据题意，做出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到△ACD的形状，从而可以求得sin∠BAC的值． 【详解】解：连接CD，点D在格点上，如右图所示： 设每个小正方形的边长为a， 则CDa， ACa， AD2a， ∴CD2+AD2＝（a）2+（2a）2＝（a）2＝AC2， ∴△ACD是直角三角形， ∴sin∠BAC＝sin∠CAD， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是判断出△ACD的形状． 3.在中，、均为锐角，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可． 【详解】解：， ，， ，， ，，， 在中，，且， 是直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质． 4.如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 根据题意可得， 在中，， ， 在中，， ， ． 故则这栋楼的高度为． 故选：B．    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 5.如图，为测量观光塔的高度，冬冬在坡度的斜坡的D点测得塔顶A的仰角为，斜坡长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔的高度约为（    ）米．（结果精确到米，参考数据：，，）    A．28米 B．32米 C．34米 D．36米 【答案】C 【分析】延长交过点D的水平面于F，作于E，首先解直角三角形，求出，再根据锐角三角函数求出即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交过点D的水平面于F，作于E，    由题意得：米，米，， 在中，，米， 设，则， ∴， 解得， ∴米，米， 在中，，米，， ∴（米）， ∴（米）； 即建筑物的高度为34米； 故选：C． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 填空题 6.如图，点p是∠的边OA上的一点，点p的坐标为（12,5），则tanα= ． 【答案】 【分析】根据题意过P作PE⊥x轴于E，根据P（12，5）得出PE=5，OE=12，根据锐角三角函数定义得出，代入进行计算求出即可． 【详解】解：过P作PE⊥x轴于E， ∵P（12，5）， ∴PE=5，OE=12， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的应用，注意掌握在Rt△ACB中，∠C=90°，则． 7．计算： ． 【答案】/ 【分析】根据特殊角三角函数值进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知30度，60度角的三角函数值是解题的关键． 8.△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是 ． 【答案】60°或120°/120°或60° 【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角函数值可得∠A的度数，注意需要分情况讨论． 【详解】解：当∠A是锐角时， 如图，过点B作BD⊥AC于D， ∵AC＝5，△ABC的面积为5， ∴BD＝5×2÷5＝2， 在中，sinA＝＝＝， ∴∠A＝60°． 当∠A是钝角时， 如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D， ∵AC＝5，△ABC的面积为5， ∴BD＝5×2÷5＝2， 在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝＝＝， ∴∠BAD＝60°． ∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°． 故答案为60°或120°． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线． 9.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【分析】如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F，证明 再利用勾股定理及等面积法求解 从而可得答案． 【详解】解：如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F． ∵BD∥CE．BD＝CE． ∴四边形DBEC是平行四边形． ∴BE∥DC． ∴∠ABE＝∠AOC． ∵， ． ∴． 在Rt△BEF中， ∵， ∴sin∠AOC＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求解锐角的正弦，掌握构造直角三角形求解锐角的正弦是解题的关键． 10. 北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为30m，坡角约为37°，则坡AB的铅直高度AH约为 m．（参考数据：，，．） 【答案】18 【分析】由结合再解方程即可. 【详解】解：由题意得： m， 故答案为：18 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握“由锐角的正弦求解直角三角形的边长”是解本题的关键. 三、解答题 11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数值的混合运算，解题的关键是： （1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ． 12..已知等腰三角形的周长为20，其中一内角的余弦值是，求这个等腰三角形的腰长． 【答案】腰长为6或12﹣2 【分析】分底角或顶角的余弦值是来求解，①若底角的余弦值是，易得AD与AB的关系，进而解可得AB的值，②若顶角的余弦值是，设AB＝x，通过解三角形可得BC的长，由周长为20，可得，解可得x即腰长AB的值． 【详解】如图，等腰三角形ABC中，周长为20， ①若底角的余弦值是，则cosB＝， 做AD垂直于BC，交BC于点D； 易得AB＋BD＝ (AB＋AC＋BC)＝10，且＝ 解可得：腰长AB＝6， ②若顶角的余弦值是，则cosA＝， 做BD垂直于AC，交AC于点D， 设AB＝x，则AD＝x，由勾股定理可得BD＝x， 在Rt△BCD中，CD＝x﹣x＝x，BD＝x， 解可得：BC＝x； 又有AB＋AC＋BC＝20，即2x＋x＝20， 解可得x＝． 答：腰长为6或． 【点睛】此题考查分类讨论思想，应分情况进行讨论，在计算过程中应熟练掌握锐角函数的计算公式． 13.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，求cos∠AOD的值 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求角的余弦值 【分析】设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，由点B为CF的中点、点E为DF的中点可得出BE∥CD，进而可得出∠AOD＝∠ABE，在△ABE中，由AB2＝AE2＋BE2可得出∠AEB＝90°，再利用余弦的定义即可求出cos∠ABE的值，此题得解． 【详解】解：设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，如图所示． ∵点B为CF的中点，点E为DF的中点， ∴BE∥CD， ∴∠AOD＝∠ABE． 在△ABE中，AB＝，AE＝2，BE＝， ∵AB2＝AE2＋BE2， ∴∠AEB＝90°， ∴cos∠ABE＝＝ ∴cos∠AOD＝ 故答案为. 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理逆定理、余弦的定义、中位线以及平行线的性质，构造出含有一个锐角等于∠AOD的直角三角形是解题的关键． 14.如图，水坝的横断面是梯形，背水坡的坡角，坡长，为加强水坝强度，将坝底从处向后水平延伸到处，使新的背水坡的坡度为，求的长度（结果精确到1米．参考数据：， 【分析】作BH⊥AD于H，根据正弦的定义求出BH，AH，根据正切的定义求出EH，结合图形计算，得到答案． 【答案】解：作BH⊥AD于H， 在Rt△ABH中，sin∠BAH＝， 则BH＝AB•sin∠BAH＝20×＝10，AH＝AB＝10， 在Rt△EBH中，BE的坡度为1：2，BH＝10， ∴EH＝20， ∴AE＝EH﹣AH＝20﹣10≈25（米）， 答：AE的长度约为25米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 15.妙乐寺塔位于焦作市武陟县城西7.5公里处，始建于唐代，是中国现存最古老、规模最大、保存最为完整的五代大型砖塔．某数学兴趣小组开展测量妙乐寺塔高度的课外实践活动，甲、乙两组分别设计了如下方案： 课题：测量妙乐寺塔的高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测量示意图 测量方案与测量数据 在点D处用距离地面的测角仪CD测出妙乐寺塔顶端A的仰角． 在点O处放一面镜子，在点C处通过镜子反射刚好看到妙乐寺塔的顶端A，，，． 参考数据 ，，． ，，． 备注 图上所有点均在同一平面内；②B、O、D三点在同一直线上；③均与地面垂直． (1)数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为_______组的测量报告存在问题，并提出修改建议______； (2)请根据正确的测量报告计算出妙乐寺塔的高度（结果精确到）． 【答案】(1)甲；应测量出的距离 (2)妙乐寺塔的高度约为 【难度】0.65 【来源】2026年河南周口市鹿邑县张店一中等校初中学业水平模拟数学试卷 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）甲的报告没有边长的数据，无法解直角三角形，建议加一个边长相关的数据即可； （2）先在直角中利用正切函数求出的长，然后求出的长，最后在直角中，利用正切函数求出的长即可． 【详解】（1）解：甲的测量报告存在问题： 建议：应测量出的距离，才能利用求出的长，进而求出的高； （2）解：由题意可知， 在直角中，， ∴（）， ∴， 在直角中，， ∴． 答：妙乐寺塔的高度约为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 锐角三角函数 知识点01  锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即． 同理；；． 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 知识点02 特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 知识点03 解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形． 　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角． 　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　①三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）． 　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°． 　③边角之间的关系： sin A = ， cos A= ， tan A = sin B = ，. 　　④，h为斜边上的高． 知识点04  解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两边 两直角边（a，b） 由求∠A，∠B=90°-∠A， 斜边，一直角边（如c，a） 由求∠A，∠B=90°-∠A， 一边 一 角 一直角边和一锐角 锐角、邻边（如∠A，b） ∠B=90°-∠A，， 锐角、对边（如∠A，a） ∠B=90°-∠A，， 斜边、锐角（如c，∠A） ∠B=90°-∠A，， 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 知识点05 解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键． 解这类问题的一般过程是： （1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型． （2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题． （3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形． （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解． 知识点06  解直角三角形的应用-坡度坡角 坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之间的关系是，坡角越大，坡度越大. 知识点07 解直角三角形应用-仰角俯角问题 仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 知识点08 解直角三角形应用-方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°． （2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°．特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°． 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图． 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解． 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意（关键弄清其中名词术语的意义），然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解． 易错点1 正弦、余弦、正切的定义混淆 易错提醒 在直角三角形中，锐角的正弦是对边与斜边的比，余弦是邻边与斜边的比，正切是对边与邻边的比。很多学习者会记错这三个比值的对应边，要么将正弦、余弦的分子弄混，要么误将正切的分母当成斜边， 【对点训练】1．（24-25九年级上·山东济南·期中）在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 易错点2 在非直角三角形背景下直接套用三角函数定义计算，导致错误 易错提醒 解决这类问题时，首先要确认题目中的三角形是否为直角三角形，只有在直角三角形中，才能直接按照“对边比斜边、邻边比斜边、对边比邻边”的定义计算锐角的正弦、余弦、正切值；若为非直角三角形，需要先通过作辅助线构造出直角三角形，再结合三角函数定义进行计算，避免直接套用定义出现概念性错误。 【对点训练】2．如图，在中，，则的长为___________． 易错点3 正弦、余弦、正切是线段的比，与直角三角形边长无关 易错提醒 正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关.同时，在运用定义求值时，需注意：在直角三角形中，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边， 【对点训练】3．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 易错点4 网格中的锐角三角函数求解问题 易错提醒 解题的核心仍然是紧扣三角函数定义，先通过网格的边长确定直角三角形的各边长度，找到所求锐角所在的直角三角形，明确哪条是对边、邻边与斜边，再代入对应公式计算即可，若所求角没有直接落在现成的直角三角形中，可借助网格构造直角三角形，注意不能混淆对边和邻边的位置，避免代入错误的比例得到错误结果。 【对点训练】4．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB＝（　　） A． B． C． D． 易错点5 记错特殊角三角函数值出错 易错提醒 特殊角的三角函数值是解直角三角形问题中常常用到的基础数据，不少考生因为没有准确牢记30°、45°、60°这几个特殊角的正弦、余弦、正切数值，经常将不同角的对应值记混，比如把sin30°和cos30°的结果弄反，或是记错60°角的正切值，在直接套用计算时就会直接得出错误结果。这类错误本质还是对三角函数定义的掌握不扎实，没有结合定义去推导记忆，仅靠死记硬背就很容易出现混淆记错的情况。 【对点训练】5．．计算： (1)； (2)． 易错点6 不能在实际问题中准确的确定仰角、俯角 易错提醒 无论仰角还是俯角都是视线与水平线的夹角，容易将其误认为是视线与铅垂线的夹角，在解直角三角形列边角关系时就会出现错误，因此解题时要先根据题意找准仰角、俯角，再结合图形特点和已知条件梳理边角关系，逐步计算求解。 【对点训练】6．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测倾器测得楼房顶部点的仰角为45°，向前走20米到达处，测得点的仰角为67.5°，已知测倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为（结果精确到0.1米，，）（    ）    A．35.7米 B．34.7米 C．35.1米 D．34.1米 易错点7 不能在应用问题中准确的确定坡角、坡比 易错提醒 坡角是坡面与水平面的夹角，坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，有的学生容易混淆二者概念，代入错误的数值进行三角函数计算，最终得到错误结果。要解决这类易错问题，解题第一步需要先明确题目给出的角度和线段分别对应哪类边角，再结合图形，根据仰角、俯角、坡角的定义标出对应角，结合已知条件整理出直角三角形中的已知量，再利用锐角三角函数关系逐步求解。 【对点训练】7．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（　　） A．75m B．50m C．30m D．12m 易错点8 解三角形时没有正确的分类讨论而出错 易错提醒 有时满足条件的图形不唯一，因此在解直角三角形时需分类讨论，解题时要先根据题干描述画出所有可能的图形，再结合已知条件分别计算边长或角度，避免漏解导致出错。 【对点训练】8．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 s． 易错点9 对锐角三角函数的项目式学习材料题理解不透而出错 易错提醒 锐角三角函数的项目式学习类型题，作为中考数学的重要考查形式，侧重于将抽象的三角函数概念与具体的现实生活情境相结合，旨在考察综合运用锐角三角函数知识解决实际问题的能力。这类题目通常以测量高度、计算距离、设计坡度等实际问题为背景，要求通过建立数学模型，将实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题，并利用正弦、余弦或正切函数进行求解。解题的关键在于准确理解题意，从复杂的背景信息中抽象出合适的直角三角形模型，并正确选择和应用对应的三角函数关系式。 【对点训练】9．项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）； (2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 1、 单选题 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于（　　） A． B． C． D． 3.在中，、均为锐角，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4.如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ）    A． B． C． D． 5.如图，为测量观光塔的高度，冬冬在坡度的斜坡的D点测得塔顶A的仰角为，斜坡长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔的高度约为（    ）米．（结果精确到米，参考数据：，，）    A．28米 B．32米 C．34米 D．36米 6.如图，点p是∠的边OA上的一点，点p的坐标为（12,5），则tanα= ． 7．计算： ． 8.△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是 ． 9.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是 ． 10. 北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为30m，坡角约为37°，则坡AB的铅直高度AH约为 m．（参考数据：，，．） 三、解答题 11．计算： (1) (2) 12..已知等腰三角形的周长为20，其中一内角的余弦值是，求这个等腰三角形的腰长． 13.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，求cos∠AOD的值 ． 14.如图，水坝的横断面是梯形，背水坡的坡角，坡长，为加强水坝强度，将坝底从处向后水平延伸到处，使新的背水坡的坡度为，求的长度（结果精确到1米．参考数据：， 15.妙乐寺塔位于焦作市武陟县城西7.5公里处，始建于唐代，是中国现存最古老、规模最大、保存最为完整的五代大型砖塔．某数学兴趣小组开展测量妙乐寺塔高度的课外实践活动，甲、乙两组分别设计了如下方案： 课题：测量妙乐寺塔的高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测量示意图 测量方案与测量数据 在点D处用距离地面的测角仪CD测出妙乐寺塔顶端A的仰角． 在点O处放一面镜子，在点C处通过镜子反射刚好看到妙乐寺塔的顶端A，，，． 参考数据 ，，． ，，． 备注 图上所有点均在同一平面内；②B、O、D三点在同一直线上；③均与地面垂直． (1)数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为_______组的测量报告存在问题，并提出修改建议______； (2)请根据正确的测量报告计算出妙乐寺塔的高度（结果精确到）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 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