第一章 一元二次方程（10大考点+8大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学“一元二次方程”单元知识清单系统涵盖方程定义、解法、根的判别式及实际应用等核心内容，通过知识点梳理与易错点剖析，搭建从概念理解到解法运用再到实际建模的递进式学习支架。 清单以“知识点分阶+易错点警示”构建知识体系，如配方法分步骤解析培养运算能力，根与系数关系结合实际问题强化模型意识。特设“对点训练”与“应用提示”，如增长率问题公式推导，助力学生发展数学思维，教师可精准把握教学重难点，提升课堂效率。

第一章 一元二次方程 知识点01一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义：只含有_____未知数，并且未知数的最高次数是____的整式方程叫一元二次方程 2.概念解析一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2. 3.判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高 次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”。 知识点02一元二次方程的一般形式 1.一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形 式叫一元二次方程的一般形式.其中ax2叫作_____，a叫作_______；bx叫作______；c叫作_______.一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是_____0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了.要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式. 知识点03:一元二次方程的解 1.一元二次方程的解(根)的意义: 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，又因为只含有一个未知数的方程的解 也叫作这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根， 2.一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量. ax12+bx1+c=0 (a≠0), ax22+bx2+c=0 (a≠0). 知识点04:解一元二次方程 -----配方法 1.将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。 2.用配方法解一元二次方程的步骤: ①把原方程化为()的形式; ②方程两边同除以______系数，使二次项系数为_______，并把常数项移到方程右边; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方; ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数; ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方 程无实数解。 知识点05:配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程. 配方法的理论依据是公式a2土2ab+b2=(a土b)2 配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值. 关键是:二次三项式是完全平方式，则常数项是_________一半的平方. 3.配方法的综合应用. 知识点06:解一元二次方程------因式分解法 1.因式分解法解一元二次方程的意义: 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法， 因式分解法就是先把方程的右边化为______，再把左边通过因式分解化为两个______的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想). 2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤: ①移项，使方程的右边化为零 ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程; ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解. 知识点07:一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由_______符号决定． 一般地，式子叫作一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 ①一元二次方程有两个______的实数根； ②一元二次方程有两个_______的实数根； ③一元二次方程______实数根。 3. 应用 ①不解方程判断一元二次方程根的情况； ②根据方程根的情况求字母系数的取值范围。 知识点0 8解一元二次方程------公式法 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫作公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 ①把方程化为_________形式，确定a，b，c的值； ②求出的值； ③若，则将a，b，c的值代入求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点09:根与系数的关系 1.若二次项系数为1，常用以下关系:x1，x2是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数. 2.若二次项系数不为1，则常用以下关系:,是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，. . 3.常用根与系数的关系解决以下问题: ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根。 ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知系数. ③不解方程求关于根的式子的值，如求，等等. ④判断两根的符号. ⑤求作新方程， ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值。这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，这两个前提条件. 知识点10:由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程， 1、列方程解决实际问题的一般步骤是:审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验 和作答. 2、列一元二次方程解应用题中常见问题: ①数字问题:个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a ②平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． ③ 销售利润问题 利润=售价－进价； 利润率=； 售价=进价； 总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． ④面积问题 面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． 易错点1利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0” 易错提醒 ①在遇到已知方程是一元二次方程，求方程中待定系数取值这类问题时，往往只会根据“未知数的最高次数是2”列出等式求解，直接漏掉了一元二次方程要求二次项系数不为0的限制条件，最终得到错误的结果。②当题目未明确说明是一元二次方程时，需要考虑a=0时方程退化为一元一次方程的情况 【对点训练】1．（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 易错点2 直接开平方法解一元二次方程时，出现漏解问题 易错提醒 ①当右边的常数n小于0时，方程没有实数根，不需要再进行开平方操作 ②对等式两边同时开平方，将二次方程转化为两个一元一次方程时，注意右边要带正负号，不要遗漏负号，否则会导致少解，只能得到一个根不符合要求 【对点训练】2．（25-26九年级下·江苏常州·期中）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 易错点3 公式法解一元二次方程，判断a、b、c的取值时，出现符号错误。 易错提醒 ①先将方程整理为一般形式，准确确定a、b、c的取值，注意符号不要出错  ②代入数值时要带上系数的符号，尤其是b和c为负数时，符号处理要格外小心 【对点训练】3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）解方程． 易错点4 配方法解一元二次方程时易出错 易错提醒 ①二次项系数化为1时，要给方程所有项都除以二次项系数，不能只除含未知数的项 ②配方时等号两边要同时加相同的数，只给左边加会破坏方程的相等关系 ③加的是一次项系数一半的平方，不要忘记平方，也不要误加一次项系数的平方 【对点训练】4．（25-26九年级上·全国·课后作业）（1）将一元二次方程配方后，得________． （2）将一元二次方程配方后，得________． 易错点5 利用根的判别式证明根的情况时易出错 易错提醒 ①证明方程总有实数根时，需要分a=0和a≠0两种情况讨论，或者直接证明Δ恒大于等于0 ②证明方程没有实数根时，只需要证明Δ恒小于0，同时说明a≠0即可 ③对于系数含参数的判别式，通常可以通过配方的方式判断其正负性，不需要代入具体数值 【对点训练】5．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若此方程有两个根，请用含有k的式子表示出方程的解； (3)在（2）的情况下，若这两个方程的根为整数根，试求出正整数k的值； 易错点6 使用韦达定理前提:方程必须有实数根(A≥0)。 易错提醒 ①韦达定理适用的前提是方程有实数根，也就是Δ≥0，同时要满足a≠0，确保是一元二次方程 ②使用韦达定理之前必须先验证判别式非负，否则得到的两根和、两根积没有实际意义 ③如果题目没有说明方程有实根，使用韦达定理求出参数后，必须回代验证Δ是否符合要求 【对点训练】6．（25-26八年级下·广西百色·期中）问题“解方程”：小李说“其中一个解是”；小珍说“，此方程无实数根”；小邓说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，判断下列结论正确的是（    ） A．小李说得对 B．小珍说得对 C．小邓说得对 D．三名同学说法都不对 易错点7混淆单循环与双循环问题而致错 易错提醒 ①单循环是每两支队伍之间只比赛一次，总场次公式为，其中n为参赛队伍总数； ②双循环是每两支队伍之间要进行主客场两次比赛，总场次公式为。 ③解题时需要先明确题目要求是单循环还是双循环，再对应选择公式列方程，不要将两者的场次关系混淆， ④列方程后还要结合实际意义检验结果，参赛队伍数量必须是正整数，舍去不符合实际的负根。 【对点训练】7．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（  ） A． B． C． D． 易错点8 实际问题的解要符合实际意义(舍去负解、小数解等超出范围要求的解)。 易错提醒 ①先求解列出的一元二次方程，得到两个根之后，先检验根是否满足方程本身，排除计算错误 ②结合实际问题的背景，舍去不符合实际的根，比如负数的长度、负数的销量、超出范围的时间等 ③最终写出符合要求的答案，答案要写清楚单位，回答要对应题目的问题，不要答非所问 【对点训练】8．“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是某直播带货新平台在推销产品的台词，所推销的文具成本为每个40元，当售价为每个80元时，每分钟可销售100个．为了吸引更多顾客，采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5个，此带货平台不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，若某次捐款后每分钟利润为3875元，且让消费者获得最大的利益，求此时此产品的销售单价是多少元？ 一、单选题 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 5．某一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则正确的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·北京·期末）方程的解是______． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 8．已知有两个不相等的实数根，的取值范围是 ． 9．有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向 人发送短信． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为_________． 三、解答题 11．（25-26八年级下·山东东营·月考）解方程 (1) (2) (3) (4) 12．（25-26九年级上·山西朔州·月考）佳佳在解一元二次方程时出现错误，解答过程如下： 解： 移项，得．……① 配方，得．……② 即．……③ 解得，．……④ (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号） (2)写出正确的解答过程． 13．证明：无论k取何值，关于x的方程恒有实数根． 14．不解方程，判断关于x的方程的根的情况． 15．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． (1)求四、五两个月销售量的月平均增长率； (2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 一元二次方程 知识点01一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程 2.概念解析一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2. 3.判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高 次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”。 知识点02一元二次方程的一般形式 1.一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形 式叫一元二次方程的一般形式.其中ax2叫作二次项，a叫作二次项系数；bx叫作一次项；c叫作常数项.一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了.要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式. 知识点03:一元二次方程的解 1.一元二次方程的解(根)的意义: 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，又因为只含有一个未知数的方程的解 也叫作这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根， 2.一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量. ax12+bx1+c=0 (a≠0), ax22+bx2+c=0 (a≠0). 知识点04:解一元二次方程 -----配方法 1.将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。 2.用配方法解一元二次方程的步骤: ①把原方程化为()的形式; ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方; ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数; ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方 程无实数解。 知识点05:配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程. 配方法的理论依据是公式a2土2ab+b2=(a土b)2 配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值. 关键是:二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方. 3.配方法的综合应用. 知识点06:解一元二次方程------因式分解法 1.因式分解法解一元二次方程的意义: 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法， 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想). 2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤: ①移项，使方程的右边化为零 ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程; ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解. 知识点07:一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫作一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 ①一元二次方程有两个不相等的实数根； ②一元二次方程有两个相等的实数根； ③一元二次方程无实数根。 3. 应用 ①不解方程判断一元二次方程根的情况； ②根据方程根的情况求字母系数的取值范围。 知识点0 8解一元二次方程------公式法 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫作公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 ①把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； ②求出的值； ③若，则将a，b，c的值代入求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点09:根与系数的关系 1.若二次项系数为1，常用以下关系:x1，x2是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数. 2.若二次项系数不为1，则常用以下关系:,是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，. . 3.常用根与系数的关系解决以下问题: ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根。 ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知系数. ③不解方程求关于根的式子的值，如求，等等. ④判断两根的符号. ⑤求作新方程， ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值。这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，这两个前提条件. 知识点10:由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程， 1、列方程解决实际问题的一般步骤是:审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验 和作答. 2、列一元二次方程解应用题中常见问题: ①数字问题:个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a ②平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． ③ 销售利润问题 利润=售价－进价； 利润率=； 售价=进价； 总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． ④面积问题 面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． 易错点1利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0” 易错提醒 ①在遇到已知方程是一元二次方程，求方程中待定系数取值这类问题时，往往只会根据“未知数的最高次数是2”列出等式求解，直接漏掉了一元二次方程要求二次项系数不为0的限制条件，最终得到错误的结果。②当题目未明确说明是一元二次方程时，需要考虑a=0时方程退化为一元一次方程的情况 【对点训练】1．（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 易错点2 直接开平方法解一元二次方程时，出现漏解问题 易错提醒 ①当右边的常数n小于0时，方程没有实数根，不需要再进行开平方操作 ②对等式两边同时开平方，将二次方程转化为两个一元一次方程时，注意右边要带正负号，不要遗漏负号，否则会导致少解，只能得到一个根不符合要求 【对点训练】2．（25-26九年级下·江苏常州·期中）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，． 易错点3 公式法解一元二次方程，判断a、b、c的取值时，出现符号错误。 易错提醒 ①先将方程整理为一般形式，准确确定a、b、c的取值，注意符号不要出错  ②代入数值时要带上系数的符号，尤其是b和c为负数时，符号处理要格外小心 【对点训练】3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）解方程． 【答案】， 【详解】解：化为一般式： ∵， ∴ 解得：， 易错点4 配方法解一元二次方程时易出错 易错提醒 ①二次项系数化为1时，要给方程所有项都除以二次项系数，不能只除含未知数的项 ②配方时等号两边要同时加相同的数，只给左边加会破坏方程的相等关系 ③加的是一次项系数一半的平方，不要忘记平方，也不要误加一次项系数的平方 【对点训练】4．（25-26九年级上·全国·课后作业）（1）将一元二次方程配方后，得________． （2）将一元二次方程配方后，得________． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法把一元二次方程的左边化成完全平方式. 根据一元二次方程配方法的步骤解题. （1）移项：先化把常数项移到右边； （2）再化二次项系数为1； （3）配方：左右两边加上一次项系数一半的平方，左边写成完全平方式即可得到答案. 【详解】解：（1）对，移项得：， 方程两边同除3，得：， 配方，得：即. 故答案为：. （2）对，移项得：， 方程两边同除5，得：， 配方，得：即. 故答案为： ． 易错点5 利用根的判别式证明根的情况时易出错 易错提醒 ①证明方程总有实数根时，需要分a=0和a≠0两种情况讨论，或者直接证明Δ恒大于等于0 ②证明方程没有实数根时，只需要证明Δ恒小于0，同时说明a≠0即可 ③对于系数含参数的判别式，通常可以通过配方的方式判断其正负性，不需要代入具体数值 【对点训练】5．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若此方程有两个根，请用含有k的式子表示出方程的解； (3)在（2）的情况下，若这两个方程的根为整数根，试求出正整数k的值； 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)或 【分析】（1）分和两种情况考虑：当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，根的判别式，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论； （2）由方程有两个根，可得出，利用求根公式求出、的值， （3）由和为整数以及k为正整数，即可求出k的值． 【详解】（1）证明：当，即时，原方程为， 解得：； 当，即时， ， ∴方程有实数根． 综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）∵方程有两个整数根， ∴，，且 （3）由（2）可得， ∵整数，k为正整数． ∴或． 【点睛】本题考查了根的判别式以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分和两种情况考虑；（2）找出，． 易错点6 使用韦达定理前提:方程必须有实数根(A≥0)。 易错提醒 ①韦达定理适用的前提是方程有实数根，也就是Δ≥0，同时要满足a≠0，确保是一元二次方程 ②使用韦达定理之前必须先验证判别式非负，否则得到的两根和、两根积没有实际意义 ③如果题目没有说明方程有实根，使用韦达定理求出参数后，必须回代验证Δ是否符合要求 【对点训练】6．（25-26八年级下·广西百色·期中）问题“解方程”：小李说“其中一个解是”；小珍说“，此方程无实数根”；小邓说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，判断下列结论正确的是（    ） A．小李说得对 B．小珍说得对 C．小邓说得对 D．三名同学说法都不对 【答案】B 【详解】解：对于一元二次方程， ，，， ， 方程无实数根， 小李的说法错误，小邓说方程有两个实数根的说法也错误，只有小珍说得对． 易错点7混淆单循环与双循环问题而致错 易错提醒 ①单循环是每两支队伍之间只比赛一次，总场次公式为，其中n为参赛队伍总数； ②双循环是每两支队伍之间要进行主客场两次比赛，总场次公式为。 ③解题时需要先明确题目要求是单循环还是双循环，再对应选择公式列方程，不要将两者的场次关系混淆， ④列方程后还要结合实际意义检验结果，参赛队伍数量必须是正整数，舍去不符合实际的负根。 【对点训练】7．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据球队总数×每支球队需赛的场数，就可列出方程． 【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛， ∴方程为 故答案为：B． 易错点8 实际问题的解要符合实际意义(舍去负解、小数解等超出范围要求的解)。 易错提醒 ①先求解列出的一元二次方程，得到两个根之后，先检验根是否满足方程本身，排除计算错误 ②结合实际问题的背景，舍去不符合实际的根，比如负数的长度、负数的销量、超出范围的时间等 ③最终写出符合要求的答案，答案要写清楚单位，回答要对应题目的问题，不要答非所问 【对点训练】8．“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是某直播带货新平台在推销产品的台词，所推销的文具成本为每个40元，当售价为每个80元时，每分钟可销售100个．为了吸引更多顾客，采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5个，此带货平台不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，若某次捐款后每分钟利润为3875元，且让消费者获得最大的利益，求此时此产品的销售单价是多少元？ 【答案】65元 【分析】本题考查了一元二次方程在销售问题中的应用，根据每分钟获得的利等于每袋的利润乘以销售量以及保证捐款后每分钟利润为3875元，列出方程，求出方程的解，再根据让消费者获得最大的利益，进行取值即可． 【详解】设产品的销售单价为x元，根据题意得 解得， 为了让消费者获得最大的利益， ∴， 答：此时产品销售价是65元． 一、单选题 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 3．（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接解一元二次方程，得到两个根，再对比选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，， 故选：C． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算判别式并解方程，排除不符合条件的解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根相等， ，且 解得（舍）或， 故选：C． 5．某一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则正确的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键． 【详解】根据题意可知：第一轮传染后的感染人数为：人， 第二轮传染后的感染人数为：人， 故可列方程为：， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·北京·期末）方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程.根据解一元二次方程的直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解： 移项得：， 两边同时除以得：， 开平方得：， 故答案为：，． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 8．已知有两个不相等的实数根，的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查根的判别式，由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∵有两个不相等的实数根， ∴且， 即且， 解得：且， 故答案为：且． 9．有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向 人发送短信． 【答案】9 【分析】设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，第一轮后共有人收到短信，第二轮发送短信的过程中，又平均一个人向x个人发送短信，则第二轮后共有人收到短信，根据这样经过两轮短信的发送共有90人收到同一条短信列出方程． 【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信， 则：． 整理得： 解得或（舍去） 故答案为：9． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．该类题解答的关键在于分析每一轮中发送的人数与接收的人数，并能结合题意，列出方程． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为_________． 【答案】3 【分析】题目主要考查循环赛问题，理解题意，列出代数式求解是解题关键． 设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场，根据题意，代入计算求解即可． 【详解】解：设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场， ∵比赛结束统计共赛25场， ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 此时，选手未参加的比赛场数为场； 当时，，，不符合题意； 故答案为：3． 三、解答题 11．（25-26八年级下·山东东营·月考）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简，然后运用直接开平方法求解即可； （2）直接运用因式分解法求解即可； （3）直接运用公式法求解即可； （4）先移项，然后再运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ． （3）解：， ， ∴， ∴． （4）解：， ， ， ， ， ． 12．（25-26九年级上·山西朔州·月考）佳佳在解一元二次方程时出现错误，解答过程如下： 解： 移项，得．……① 配方，得．……② 即．……③ 解得，．……④ (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号） (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法解，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． （1）观察解答过程可得答案； （2）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9； 故答案为：②； （2）解：移项得：， 配方得：，即， 开平方，得． 解得，． 13．证明：无论k取何值，关于x的方程恒有实数根． 【来源】湖北省黄冈市红安县2023-2024学年九年级上学期月考数学试题 【答案】见解析 【分析】分方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况计算． 【详解】（1）当，即时，方程为一元一次方程， 是方程的一个解. （2）当，即时，方程为一元二次方程，则 ， ∴方程有两不相等的实数根. 综上所述，无论k为何值，方程总有实数根. 【点睛】本题考查了方程有实数根的内涵即一元一次方程有实数根和一元二次方程有实数根两种情形计算，正确分类证明是解题的关键． 14．不解方程，判断关于x的方程的根的情况． 【答案】见解析 【分析】利用分类讨论：（1）若，由，根据判断方程根的情况；（2）若，方程为，方程有1个实数根． 【详解】解：（1）若，由， 当时，，方程有两个相等的实数根； 当且时，，方程有两个不相等的实数根； 当时，，没有实数根； （2）若，方程为，有一个实数根． 【点睛】本题主要考查了方程解的情况，关键是分类讨论思想以及根的判别式的应用． 15．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． (1)求四、五两个月销售量的月平均增长率； (2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】(1)首先设四、五月份销售量平均增长率为x，然后列出方程即可得解； (2)首先设商品降价m元，然后列出方程即可得解. 此题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系列出方程是解题关键. 【详解】（1）设四、五月份销售量平均增长率为x， 则, 解得（舍去） 所以四、五月份销售量平均增长率为． （2）设商品降价m元， 则, 解得（舍去） 所以商品降价5元时，商场获利2250元． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $