第二章 图形的相似（7大考点+9大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学“图形的相似”单元知识清单系统梳理了相似图形的核心内容，涵盖相似多边形概念、成比例线段、比例性质、相似三角形判定与性质、位似变换五大知识范畴，搭建了从“概念理解”到“性质应用”再到“综合实践”的递进式学习支架。 清单通过“知识点挖空+易错点分类”呈现知识体系，9类易错点如相似与全等混淆、对应关系判断错误等均配提醒及对点训练，培养学生几何直观与推理意识。设计分层练习题（单选、填空、解答），教师可精准教学，学生能自主突破难点，提升学习效率。

第二章 图形的相似 知识点一 相似多边形的概念 1、相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 2、相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比或相似系数. 【注意】当用符号“∽”表示两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应位置上. 知识点二 成比例线段 1、线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比. 2、四条线段成比例：对于四条线段a, b, c , d, 如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等.如 = (即 ad = b c).我们就说这四条线段成比例. 3、判断四条线段是否成比例的方法: 首先统一单位，并把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列，然后计算并判断.计算的方法有两种： (1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值 ，则这四条线段成比例； (2)分别计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第三条线段的乘积，如果乘积 ，则这四条线段成比例. 知识点三 比例的基本性质 1、比例的相关性质： （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若，则 ． ②合比性质．若，则 ． ③分比性质．若，则 ． ④合分比性质．若，则 ⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则 2、比例中项：在 = 中，如果b＝c，即 = 那么b2＝ad，这时我们把b叫作a和d的比例中项. 知识点四 平行线分线段成比例 （1）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： （2）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 知识点五 相似三角形的判定 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2 三边成比例的两个三角形相似 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似 4 两角分别相等的两个三角形相似 知识点六 相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． （2）相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． （3）相似三角形对应线段的性质：相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于 ， （4）相似三角形周长比等于 ． （5）相似三角形面积比等于 知识点七 图形的位似变换 1、位似图形 ①位似多边形：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心． ②利用位似可以按所给相似比把一个图形放大或缩小． 2、位似图形的性质 ①两个位似图形一定是相似形； ②对应图形的所有对应点的连线所在的直线都经过同一点； ③对应边互相平行（或在同一直线）； ④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 3、画位似图形 画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 4、平面直角坐标系中的位似图形 ① 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． ② 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k； 当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k． ③.当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 ． 易错点1 概念理解类错误一：混淆相似与全等的关系而出错 易错提醒 混淆相似图形和全等图形的关系：误以为“相似图形一定是全等图形”“全等图形不是相似图形”，实际上全等图形是相似比为1的特殊相似图形，全等一定相似，但相似不一定全等，是最基础的概念易错点。 【对点训练】1．下列说法中，错误的是（    ） A．全等图形一定是相似图形 B．两个直角三角形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 易错点2 概念理解类错误二：相似图形对应关系判断错误 易错提醒 忽略相似三角形的对应顶点对应关系：题目未明确标注对应顶点时，想当然固定对应边，导致漏解。比如题目表述为“△ABC与△DEF相似”，而非“△ABC∽△DEF”（后者已经明确对应关系），此时需要分多种情况讨论对应边，很多考生会直接默认顶点顺序对应，只写出一种结果造成丢分。 【对点训练】2．在中，，，点E、F分别在、边上，将沿直线翻折后，点B落在对边的点为，若与相似，那么_____． 易错点3 概念理解类错误三：混淆相似与位似的概念 易错提醒 相似与位似概念混淆：误认为相似一定是位似，实际上位似是特殊的相似，要求两个相似图形不仅形状相同，对应点的连线还要交于一点，对应边互相平行，不满足位置要求的相似不是位似，概念判断题中此处经常设错。 【对点训练】3．如图四个图中，均与相似，且对应点交于一点，则与成位似图形的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错点4 网格中找相似三角形时判断失误 易错提醒 网格中找相似三角形时，错算边长，不会用“三边成比例”判定：网格题中需要先计算各三角形边长，很多考生算错边长的平方或者开方错误，进而错误判断边长比例，找不到正确的相似三角形；还有考生习惯用角判定，忽略网格中直角容易确认，用三边比例判断更直接准确，导致判断失误。 【对点训练】4．．如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 易错点5 混淆相似三角形的相似比与面积比 易错提醒 在解决相似三角形相关问题时，部分同学会错误认为相似比等于面积比，忽略了相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质，究其根源还是对相似图形的概念性质理解不到位，没有理清图形对应边、对应面积和相似比的逻辑关系。比如题目给出两个相似三角形的对应边长比，要求计算面积比时，经常会直接将对应边长比作为面积比得出结果，漏掉平方计算，最终得到错误答案。 【对点训练】5．如图，，，，若面积为10，则的面积为 ． 易错点6 位似图形的坐标求解时漏解 易错提醒 平面直角坐标系中进行位似变换时，若位似中心在原点，位似图形既可以和原图形在原点同侧，也可以在原点异侧，对应顶点的坐标比分别为k和-k，不少同学会只考虑其中一种位置情况，只得出一个坐标结果，忽略了另一种位置的解，从而造成漏解失分。这类错误本质上也是对位似图形概念理解不全面，混淆了位似变换限定位置和不限定位置的情况，只要题目没有明确指定位似图形的具体位置，就需要考虑两种可能的结果。 【对点训练】6．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，正方形与正方形关于点位似．若点B、E、G的坐标分别为、、，则点的坐标为 ． 易错点7 判定定理应用错误 易错提醒 ①误用“两边对应成比例且一组角相等”判定相似：错把“两边对应成比例且夹角相等”记成“两边对应成比例且任意一组角相等”，当相等的角不是成比例两边的夹角时，两个三角形不一定相似，这是相似判定中最常见的错误。 ②漏看平行截线的位置，错用平行线判定相似：应用“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”时，忽略直线也可能和其他两边的延长线相交的情况，错误认为只有“A型”一种相似，漏掉“X型”（8型）等截线位置，造成图形判断错误。 【对点训练】7．．如图，中，，，．将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（    ） A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④ 易错点8 相似三角形性质应用类错误 易错提醒 ①对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比例关系记错：混淆性质，误认为对应高、周长的比是相似比的平方，实际上这类线段比、周长比都等于相似比，只有面积比是平方关系。 ②三角形内接矩形/正方形问题中，找错相似比：在解决“三角形中截出内接矩形”这类问题时，错把三角形的高减去矩形边长后剩余部分与原三角形高的比当成相似比的反比，实际是小三角形与原三角形的相似比等于剩余高与原高的比，对应关系搞反导致计算出错。 【对点训练】8．任意给定一个正三角形甲，以下说法正确的是（    ） A．存在正三角形乙，乙的周长和面积分别是甲的周长和面积的一半 B．存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的倍 C．存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的3倍 D．存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的4倍 易错点9 相似三角形解决动点问题时没有正确进行分类讨论 易错提醒 1.忽略相似三角形的对应关系，未分两种情况讨论，导致漏解。 2.计算时间时未考虑动点运动范围，如超过线段端点仍继续计算，得出无效时间值。 3.误用运动速度，混淆“单向运动”与“往返运动”的速度方向，导致时间计算错误。 【对点训练】9．如图，在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，若点以的速度从点出发向点运动，点以的速度从点出发向点运动，且两点同时出发，则出发时间为 秒时与相似． 一、单选题 1．如图，在中，点D，E分别在边，上，那么下列条件中，不能判断的是（    ） A． B． C． D． 2.已知，，，则与的面积比为(    ) A．4：3 B．3：4 C．9：16 D．16：9 3.如图，已知ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列说法中，错误的是（    ） A．DEF与ABC是位似三角形 B．OAC与ODF是位似三角形 C．DEF与ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9 4.下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与下图中的三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 5.如图，在钝角三角形ABC中，，动点D从点A出发沿以的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿以的速度向点A运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是（　　） A．或 B． C． D．或 二、填空题 6．已知，且与的周长比为：，则与的面积比为______． 7.在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是______．（选填“小明”或“小亮”）． 8.如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． .9.如图，点，，点是第一象限内一动点，且，若与相似，则的长为______． 10.如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；t＝_____s，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似． 三、解答题 11如图，在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，点均位于正方形网格的格点上．请你连接现有的点，构造出一个与相似的三角形，并说明理由． 12.如图在4×4的方格纸（每小方格的面积为1）上有一个格点三角形ABC（图甲），请在图乙、图丙、图丁中画出与三角形ABC相似（不全等）的格点三角形． 13.如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E． (1)图中相似三角形有           对； (2)若将D，E连接起来，则与能相似吗？说说你的理由． 14.如图，正方形的边长为4，，那么当与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点）时，求CM的长， 15.如图，在中，，，厘米，点P从点A出发沿线路AB—BC作匀速运动，点Q从AC的中点D同时出发沿线路DC—CB作匀速运动逐步靠近点P，设P，Q两点运动的速度分别为1厘米/秒、a厘米/秒，它们在t秒后于BC边上的某一点相遇． (1)求出AC与BC的长度； (2)试问两点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？ (3)若以D，E，C为顶点的三角形与相似，试分别求出a与t的值．（，结果精确到0.1） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 图形的相似 知识点一 相似多边形的概念 1、相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 2、相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比或相似系数. 【注意】当用符号“∽”表示两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应位置上. 知识点二 成比例线段 1、线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比. 2、四条线段成比例：对于四条线段a, b, c , d, 如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等.如 = (即 ad = b c).我们就说这四条线段成比例. 3、判断四条线段是否成比例的方法: 首先统一单位，并把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列，然后计算并判断.计算的方法有两种： (1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值相等，则这四条线段成比例； (2)分别计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第三条线段的乘积，如果乘积相同，则这四条线段成比例. 知识点三 比例的基本性质 1、比例的相关性质： （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc． ②合比性质．若，则． ③分比性质．若，则． ④合分比性质．若，则． ⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则． 2、比例中项：在 = 中，如果b＝c，即 = 那么b2＝ad，这时我们把b叫作a和d的比例中项. 知识点四 平行线分线段成比例 （1）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： （2）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 知识点五 相似三角形的判定 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2 三边成比例的两个三角形相似 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似 4 两角分别相等的两个三角形相似 知识点六 相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． （2）相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． （3）相似三角形对应线段的性质：相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比， （4）相似三角形周长比等于相似比． （5）相似三角形面积比等于相似比的平方． 知识点七 图形的位似变换 1、位似图形 ①位似多边形：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心． ②利用位似可以按所给相似比把一个图形放大或缩小． 2、位似图形的性质 ①两个位似图形一定是相似形； ②对应图形的所有对应点的连线所在的直线都经过同一点； ③对应边互相平行（或在同一直线）； ④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 3、画位似图形 画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 4、平面直角坐标系中的位似图形 ① 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． ② 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k； 当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k． ③.当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 ． 易错点1 概念理解类错误一：混淆相似与全等的关系而出错 易错提醒 混淆相似图形和全等图形的关系：误以为“相似图形一定是全等图形”“全等图形不是相似图形”，实际上全等图形是相似比为1的特殊相似图形，全等一定相似，但相似不一定全等，是最基础的概念易错点。 【对点训练】1．下列说法中，错误的是（    ） A．全等图形一定是相似图形 B．两个直角三角形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】A.两个全等的图形一定相似，故A选项正确； B.直角三角形的形状不一定相同，故B选项错误； C.等腰直角三角形形状相同，只是大小不同，故C选项正确； D.等边三角形形状相同，只是大小不同，故D选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似图形的定义，掌握相似图形的形状相同，但大小不一定相同是解题的关键． 易错点2 概念理解类错误二：相似图形对应关系判断错误 易错提醒 忽略相似三角形的对应顶点对应关系：题目未明确标注对应顶点时，想当然固定对应边，导致漏解。比如题目表述为“△ABC与△DEF相似”，而非“△ABC∽△DEF”（后者已经明确对应关系），此时需要分多种情况讨论对应边，很多考生会直接默认顶点顺序对应，只写出一种结果造成丢分。 【对点训练】2．在中，，，点E、F分别在、边上，将沿直线翻折后，点B落在对边的点为，若与相似，那么_____． 【答案】3或 【分析】由于对应边不确定，所以本题应分两种情况进行讨论：①；②，分别计算即可． 【详解】解：①当时， 根据是等腰三角形，则也是等腰三角形， 则， 设，则，，根据， 得到：，得到， 解得x； ②当， ， 则，则，解得． 因而或， 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 易错点3 概念理解类错误三：混淆相似与位似的概念 易错提醒 相似与位似概念混淆：误认为相似一定是位似，实际上位似是特殊的相似，要求两个相似图形不仅形状相同，对应点的连线还要交于一点，对应边互相平行，不满足位置要求的相似不是位似，概念判断题中此处经常设错。 【对点训练】3．如图四个图中，均与相似，且对应点交于一点，则与成位似图形的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】直接利用位似图形的性质分析判断得出答案． 【详解】解：图1中，与成位似图形； 图2中，∵与不平行，与不平行，∴与不成位似图形； 图3中，与成位似图形； 图4中，与成位似图形； 综上，与成位似图形的有图1、图3、图4，共有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了位似变换，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点所在直线的交点是位似中心． 易错点4 网格中找相似三角形时判断失误 易错提醒 网格中找相似三角形时，错算边长，不会用“三边成比例”判定：网格题中需要先计算各三角形边长，很多考生算错边长的平方或者开方错误，进而错误判断边长比例，找不到正确的相似三角形；还有考生习惯用角判定，忽略网格中直角容易确认，用三边比例判断更直接准确，导致判断失误。 【对点训练】4．．如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形对应边成比例，先求出的三边长，求出三边的比为，再分别求出A、B、C、D中三角形的三边长从小到大排序，求出三边的比值，判断即可． 【详解】的三边长分别为：，三边的比为， A中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； B中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； C中三角形的三边长分别为，三边的比为相似； D中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； 故选择：C． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定定理，抓住三角形三边的比值相同来判断相似是解题关键． 易错点5 混淆相似三角形的相似比与面积比 易错提醒 在解决相似三角形相关问题时，部分同学会错误认为相似比等于面积比，忽略了相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质，究其根源还是对相似图形的概念性质理解不到位，没有理清图形对应边、对应面积和相似比的逻辑关系。比如题目给出两个相似三角形的对应边长比，要求计算面积比时，经常会直接将对应边长比作为面积比得出结果，漏掉平方计算，最终得到错误答案。 【对点训练】5．如图，，，，若面积为10，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的面积关系，熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键． 首先通过已知条件求得，再代入面积为10，即可求解的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵面积为10， ∴面积为， 故答案为：． 易错点6 位似图形的坐标求解时漏解 易错提醒 平面直角坐标系中进行位似变换时，若位似中心在原点，位似图形既可以和原图形在原点同侧，也可以在原点异侧，对应顶点的坐标比分别为k和-k，不少同学会只考虑其中一种位置情况，只得出一个坐标结果，忽略了另一种位置的解，从而造成漏解失分。这类错误本质上也是对位似图形概念理解不全面，混淆了位似变换限定位置和不限定位置的情况，只要题目没有明确指定位似图形的具体位置，就需要考虑两种可能的结果。 【对点训练】6．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，正方形与正方形关于点位似．若点B、E、G的坐标分别为、、，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查位似变换，正方形的性质，图形和坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 先根据正方形的性质得到各线段长，再根据两正方形关于点位似，由对应点的不同分两种情况进行讨论，并画出图形（图1和图2），最后利用位似的性质和相似三角形，计算即可求解． 【详解】解：点B、E、G的坐标分别为、、， ，，， 第一种情况，当点A与点F对应，点B与点G对应，点C与点D对应，点O与点E对应时， 如图1，过点P作轴于点H， 正方形与正方形关于点位似， ， ， ， ，即， ，， ， 则点P的坐标为； 第二种情况，如图2，当点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应，点O与点G对应时， 正方形与正方形关于点位似， ， ，即， ， 解得， 则点P的坐标为． 故答案为： 或． 易错点7 判定定理应用错误 易错提醒 ①误用“两边对应成比例且一组角相等”判定相似：错把“两边对应成比例且夹角相等”记成“两边对应成比例且任意一组角相等”，当相等的角不是成比例两边的夹角时，两个三角形不一定相似，这是相似判定中最常见的错误。 ②漏看平行截线的位置，错用平行线判定相似：应用“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”时，忽略直线也可能和其他两边的延长线相交的情况，错误认为只有“A型”一种相似，漏掉“X型”（8型）等截线位置，造成图形判断错误。 【对点训练】7．．如图，中，，，．将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（    ） A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ③两三角形虽然满足，但两边所夹的角不一定相等，故两三角形不一定相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故正确的有①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 易错点8 相似三角形性质应用类错误 易错提醒 ①对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比例关系记错：混淆性质，误认为对应高、周长的比是相似比的平方，实际上这类线段比、周长比都等于相似比，只有面积比是平方关系。 ②三角形内接矩形/正方形问题中，找错相似比：在解决“三角形中截出内接矩形”这类问题时，错把三角形的高减去矩形边长后剩余部分与原三角形高的比当成相似比的反比，实际是小三角形与原三角形的相似比等于剩余高与原高的比，对应关系搞反导致计算出错。 【对点训练】8．任意给定一个正三角形甲，以下说法正确的是（    ） A．存在正三角形乙，乙的周长和面积分别是甲的周长和面积的一半 B．存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的倍 C．存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的3倍 D．存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的4倍 【答案】D 【分析】根据三角形相似比就是周长比，面积比是相似比的平方即可求解 【详解】∵任意两个正三角形都是相似三角形， ∴三角形相似比就是周长比，面积比是相似比的平方， ∴面积比是周长比的平方 A.存在正三角形乙，乙的周长和面积分别是甲的周长和面积的一半，该说法错误，不符合题意； B.存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的倍，该说法错误，不符合题意； C.存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的3倍，该说法错误，不符合题意； D.存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的4倍，该说法正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的相似比，熟练掌握面积比是相似比的平方，周长比等于相似比是解题的关键 易错点9 相似三角形解决动点问题时没有正确进行分类讨论 易错提醒 1.忽略相似三角形的对应关系，未分两种情况讨论，导致漏解。 2.计算时间时未考虑动点运动范围，如超过线段端点仍继续计算，得出无效时间值。 3.误用运动速度，混淆“单向运动”与“往返运动”的速度方向，导致时间计算错误。 【对点训练】9．如图，在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，若点以的速度从点出发向点运动，点以的速度从点出发向点运动，且两点同时出发，则出发时间为 秒时与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与矩形的性质，分两种情况进行分析，分别是或，利用相似三角形的性质得出比例线段并建立方程即可． 【详解】解：设经秒后，与相似． 分两种情况： 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上，经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 一、单选题 1．如图，在中，点D，E分别在边，上，那么下列条件中，不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：A、，，可根据两角相等证明，不符合题意； B、，，，可根据两角相等证明，不符合题意； C、，，不能证明，符合题意； D、，，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键． 2.已知，，，则与的面积比为(    ) A．4：3 B．3：4 C．9：16 D．16：9 【答案】D 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴与的面积比为， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 3.如图，已知ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列说法中，错误的是（    ） A．DEF与ABC是位似三角形 B．OAC与ODF是位似三角形 C．DEF与ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9 【答案】D 【分析】根据位似三角形的定义及性质即可判断． 【详解】A、由题意知，△DEF与△ABC是位似三角形，故正确； B、由题意知，△OAC与△ODF是位似三角形，故正确； C、由于△DEF与△ABC是位似三角形，因而也是相似三角形，且相似比为1:3，从而周长的比也为1:3，故正确； D、此选项没有指明是哪两个位似三角形，故错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似三角形的定义及性质．熟练运用定义及性质是解题的关键． 4.下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与下图中的三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都可以表示出，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可判定选择项． 【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，，，所以三边之比为． A、三角形的三边分别为，，4，三边之比为，故本选项不符合； B、三角形的三边分别为2，，，三边之比为，故本选项不符合； C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为，故本选项不符合； D、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为，故本选项符合． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定， 属于基础题， 掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键， 难度一般 ． 5.如图，在钝角三角形ABC中，，动点D从点A出发沿以的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿以的速度向点A运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答． 【详解】解：两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则 ①当D与B对应时，有， ∴， ∴， ∴； ②当D与C对应时，有， ∴， ∴， ∴， ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是1.5秒或2.4秒， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 二、填空题 6．已知，且与的周长比为：，则与的面积比为______． 【答案】 【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵，且与的周长比为：， ∴与的相似比为：， 则与的面积比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答的关键． 7.在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是______．（选填“小明”或“小亮”）． 【答案】小亮 【分析】根据位似图形的概念画出图形，得到答案． 【详解】解：延长、、、分别到、、、， 则四边形是四边形的位似图形， 所以小亮正确． 故答案为：小亮． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似的两个图形对应点的连线都经过同一点是解题的关键． 8.如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、公式法解一元二次方程、两直线平行同旁内角互补 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． .9.如图，点，，点是第一象限内一动点，且，若与相似，则的长为______． 【答案】或 【分析】分两种情况：当时，当时，结合相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论． 10.如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；t＝_____s，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似． 【答案】s或 【分析】先用t表示出AP＝2t，BQ＝4t，BP＝6﹣2t，再利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到当时，△BPQ∽△BAC或当时，△BPQ∽△BCA，然后利用比例线段得到关于t的方程，再解方程求出t即可． 【详解】解：如图，AP＝2t，BQ＝4t，BP＝6﹣2t， ∵∠PBC＝∠ABC， ∴当时，△BPQ∽△BAC， 即，解得t＝， 当时，△BPQ∽△BCA， 即，解得t＝， 即当t＝s或s时，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似． 故答案为∶s或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．注意分类讨论思想的应用． 三、解答题 11如图，在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，点均位于正方形网格的格点上．请你连接现有的点，构造出一个与相似的三角形，并说明理由． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，连接，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可证明． 【详解】解：如图，连接，，理由如下： 在和中， ，， ∴． 12.如图在4×4的方格纸（每小方格的面积为1）上有一个格点三角形ABC（图甲），请在图乙、图丙、图丁中画出与三角形ABC相似（不全等）的格点三角形． 【答案】作图见解析. 【详解】试题分析：根据三边对应成比例，两三角形相似分别作出三边之比为1：：的三角形即可． 试题解析： 考点：作图—相似变换． 13.如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E． (1)图中相似三角形有           对； (2)若将D，E连接起来，则与能相似吗？说说你的理由． 【答案】(1)6对 (2)相似，见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用相似三角形的判定方法进行证明即可得到结论； （2）连接DE，根据（1）中的结论，可得对应边成比例，交换下比例项，即可得到结论． 【详解】（1）证明：如下图， ∵CD，BE分别是AB，AC边上的高， ∴， ∵， ，， ∴，，， ∴即，，， ∴，，， 故答案为：6； （2）解：连接DE， ∵ ， ∴． ∴． ∵ ． ∴， 【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，正确连接辅助线，熟练运用相似三角形的判定进行证明是解题的关键． 14.如图，正方形的边长为4，，那么当与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点）时，求CM的长， 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，利用相似三角形对应边成比例，分两种情况讨论：①和 ②，据此求得的长． 【详解】解：四边形是正方形， ， 正方形的边长为4， ， 在中，由勾股定理得：， 与相似， 分两种情况： ①，即， 解得； ②，即， 解得， 因此，当或时，与相似， 故答案为：或． 15.如图，在中，，，厘米，点P从点A出发沿线路AB—BC作匀速运动，点Q从AC的中点D同时出发沿线路DC—CB作匀速运动逐步靠近点P，设P，Q两点运动的速度分别为1厘米/秒、a厘米/秒，它们在t秒后于BC边上的某一点相遇． (1)求出AC与BC的长度； (2)试问两点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？ (3)若以D，E，C为顶点的三角形与相似，试分别求出a与t的值．（，结果精确到0.1） 【答案】(1)24厘米，12厘米； (2)E点不会是BC的中点，理由见解析； (3)a＝1.4，t＝18.9． 【分析】（1）根据已知条件和三角函数就可以得出AC与BC的长度； （2）在t秒后，点Q运动的路程为at，点P运动的路程为t，那么，BE＝t﹣12，CE＝at﹣12，这两个式子相等的t的值不存在； （3）以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，根据对应边的不同可以分几种情况进行讨论．当过D点作DE1AB时，△DCE1∽△ACB，根据相似三角形的对应边的比相等就可以解出．当过D点作DE2⊥AC，交CB于E2，则△DCE2∽△BCA，根据相似三角形的性质易得结论． （1）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝12厘米， ∴AC＝2AB＝24（厘米）． BC＝AB＝12（厘米）． （2）解：E点不会是BC的中点． 在t秒后，点Q运动的路程为at，点P运动的路程为t，那么 BE＝t﹣12，CE＝at﹣12， ∵a＞1， ∴at﹣12＞t﹣12． ∴E点不会是BC的中点． （3）解：若以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似， 当过D点作DE1AB，交CB于E1，如图， ∴∠CDE1＝∠B＝90°， ∵∠C＝∠C ∴△DCE1∽△ACB ∴ ∴E点是BC的中点． 但CE1＝at﹣12，BE1＝t﹣12， ∵a＞1，故at﹣12＞t﹣12， 即CE1＞BE1，与E点是BC的中点矛盾， 当过D点作DE2⊥AC，交CB于E2，如图， ∵∠CD E2＝∠B＝90°，∠C＝∠C ∴△DCE2∽△BCA ∴ ， ∴CE2＝24×＝8， 依题意得， ， 解得． ∴t＝18.9秒，a＝1.4厘米/秒． 【点睛】本题是一个综合题，有一定的难度，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定等知识． 1 / 6 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