第22章 相似形（7考点+13易错+易错训练）（知识清单）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学“相似形”单元知识清单系统梳理了比例线段、相似三角形性质与判定、位似等核心内容，涵盖概念定义、性质应用、实际问题解决三大知识范畴，搭建了从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单以“知识点+易错点”双线结构呈现知识体系，13个易错点均配有“避坑指南”和“对点训练”，如通过“标注法”明确A字型与X字型对应关系，培养学生推理意识。特别设计相似比与面积比关系记忆技巧，帮助不同层次学生精准突破难点，教师可据此设计分层教学，提升复习效率。

第21章 相似形 知识点一 比例线段及其性质 1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． 2．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点二 平行线分线段成比例 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。 2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。 知识点三 黄金分割 定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这个分割叫做黄金分割，该点为黄金分割点，比值叫做黄金数。 知识点四 相似多边形 1．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形． 2．相似多边形对应边的比叫做相似比． 3．多边形的相似比为1的相似多边形是全等形． 4．相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 知识点五 相似三角形性质与判定 1．相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2．相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点六 相似三角形的实际应用 1. 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算。 2. 整式加减实际上就是去括号、合并同类项。 3. 整式加减的一般步骤：如果有括号，那么先去括号；观察有无同类项；利用加法的交换律和结合律，分组同类项；合并同类项。 知识点七 位似 1．如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2．位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k． 易错点1 比例式写错对应项 易错提醒 1.已知 a:b=c:d，求 a:c时，直接把 b和 d位置搞反；或在写比例中项时出错（如 a:b=b:c，则 b2=ac，容易把 b 写成 ac​ 但忘记正负——线段长度必须为正）。 2.牢牢抓住“内项积 = 外项积”，写比例式前先标出“前项、后项、内项、外项”。黄金分割中，较长部分与全长之比为0.618，千万别记反（较短部分与全长之比才是 0.382）。 【对点训练】1．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 易错点2 忽视“线段比”的正负性 易错提醒 1.计算比例线段时，默认比例系数 k>0，但有些题中比例可能涉及有向线段或坐标轴上的点（需结合坐标系），漏掉绝对值或负号。 2.纯几何线段比直接取正；若涉及坐标（如位似坐标变换），需考虑 k 的符号（同向为正，反向为负）。 【对点训练】2．．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 易错点3 A字型与X字型的“上下左右”对应关系搞混 易错提醒 1.如图中 DE∥BC，学生常写成，但若 AD 是“上”的部分，AB 是“全”，则正确应为  ；若写成 ​，则对应 。位置不对应，比例必错。 2.避坑指南：标注法——画图时，把对应顶点用相同颜色或符号标出（如 D 对应 E，B 对应 C），明确“小三角形边”对应“大三角形边”。 【对点训练】3如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 易错点4 平行线分线段成比例定理的“推广”用错 易错提醒 1.定理说的是“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”。学生常错误地认为“平行线间任意两条线段都成比例”，忽略了必须在同一直线（截线）上。 2.记住“三线两截”——必须是三条平行线截两条直线，且比例式中的线段必须位于这两条截线上。 【对点训练】4．如图，数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和，点为数轴上方一点，连接，，过点作，交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 易错点5 用“SSA”判定相似（致命错误） 易错提醒 1.已知两边成比例且其中一边的对角相等，就认为两个三角形相似。这是绝对错误（与全等不同，相似没有SSA判定定理）。 2.相似判定只有AA、SAS（夹角）、SSS。若已知两边及其中一边对角，必须转化为“夹角”或用特殊角（如直角、等腰）判断，否则无法判定。 【对点训练】5．如图，，若，，则的长为（） A．14 B．12 C．10 D．8 易错点6 相似三角形对应顶点“对号入座”不分 易错提醒 1.若 △ABC~△DEF，写比例式时写成 ​（把 B对到 E，C 对到 F，但 AC 与 EF 不对应）。顶点顺序直接决定对应边，错一个字母全盘皆输。 2.写比例式前，先在草稿纸上画对应关系图（A↔D，B↔E，C↔F），然后按顺序写比例式：​。 【对点训练】6．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 易错点7 忽略“隐藏的公共角/对顶角 易错提醒 1.在复杂图形中，明明有公共角或对顶角，却只盯着已知边，漏掉了最直接的“AA”判定条件。 2.看到两个三角形有公共顶点或交叉线，先找对顶角或公共角，它们往往是证明相似的第一把钥匙。 【对点训练】7．已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 易错点8 面积比与相似比“平方关系”搞反 易错提醒 1.相似比为 2:3，学生直接写面积比为2:3，或者把“相似比 = 面积比平方根”算错。 2.死记硬背——面积比 = 相似比²，周长比 = 相似比，对应高/中线/角平分线比 = 相似比。例如相似比 2:3，面积比为 4:9；若面积比为 1:4，相似比为 1:2。 【对点训练】8．如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 易错点9 相似三角形“高之比”应用错误 易错提醒 1.两个相似三角形，只知道底边成比例，就认为高也成比例，但前提必须是“对应边上的高”。若题目未指明是对应高，不能直接套用。 2.对应高、对应中线、对应角平分线之比才等于相似比，一定要找“对应”二字。 【对点训练】9．若，且面积比为，则其对应边上的高的比为_______． 易错点10 位似中心在图形内部时，方向搞混 易错提醒 1.位似中心在三角形内部时，学生常把位似图形画在错误方向（反向或偏离），或用坐标计算时漏掉负号。 2.位似比 k：k>0 为同向位似（对应点在位似中心同侧），k<0 为反向位似（对应点在中心异侧）。坐标系中：若原点为位似中心，点 A(x,y) 的对应点为(kx,ky) 或 (−kx,−ky)，看题目要求“同侧”还是“异侧”。 【对点训练】10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点、、分别与点A、B、C对应，且点在第一象限； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______． 易错点11 位似作图时“对应点连线过位似中心”漏画 易错提醒 1.画位似图形时，只画了对应点，忘记连线验证所有对应点是否都经过位似中心（导致图形不是位似图形）。 2.作图后，必须用直线连接所有对应点，检查它们是否交于同一点（即位似中心），这是位似图形的“硬性检验”。 【对点训练】11．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出，的位似图形，使与的相似比为2，且点的对应点分别是； (2)与的面积比为________． 易错点12 相似三角形“动点问题”分类讨论不全 易错提醒 1.题目给出一个动点，存在两种相似的对应方式（如 △ABC~△DEF 或 △ABC~△DFE），学生只考虑了一种情况就得出唯一答案，导致漏解。 2.遇到“相似三角形的存在性”，务必按对应顶点分类讨论（如“情况1：A对应D，B对应E；情况2：A对应D，B对应F”），分别列比例方程，解出所有符合条件的结果。 【对点训练】12．如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为______． 易错点13 相似比与线段长“顺序”颠倒 易错提醒 1.已知小三角形与大三角形相似，相似比为 1:2，当求小三角形边长时，直接用 2÷1=2 来算，但若大边已知，则应乘以 ​，容易搞反谁是分子谁是分母。 2.先设“未知量”，如设小三角形边长为 x，写出比例式 ，再交叉相乘，绝不会错。 【对点训练】13．如图，在平行四边形中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 一、单选题 1．如图，在中，点，分别在，上，单独添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 4．已知，与的面积比为，则和的相似比为（    ） A． B． C． D． 5．如图是小孔成像图，根据图中所示的尺寸，像的长是物长的（　　）    A． B．3倍 C． D．2倍 6．如图，与交于点，且．若，则的面积与的面积之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段放大得到线段，若，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，则的长为（   ） A．6 B．5.5 C．5 D．4.5 二、填空题 9．，，，的面积为，则的面积为__________． 10．如图，在中，点D在线段上，，，，那么________． 11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 12．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________； （2）若，则_____________． 三、解答题 13．如图，已知，分别是它们对应的高线，已知，若，求的长． 14．如图，在中，，分别与相交于点D，E．若，，则的值为多少？ 15．如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点， (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 16．如图，，已知． (1)若，求的长； (2)若，求． 17．如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． (1)求证：． (2)添加一个条件 求证：． 18．如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 相似形 知识点一 比例线段及其性质 1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． 2．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点二 平行线分线段成比例 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。 2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。 知识点三 黄金分割 定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这个分割叫做黄金分割，该点为黄金分割点，比值叫做黄金数。 知识点四 相似多边形 1．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形． 2．相似多边形对应边的比叫做相似比． 3．多边形的相似比为1的相似多边形是全等形． 4．相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 知识点五 相似三角形性质与判定 1．相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2．相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点六 相似三角形的实际应用 1. 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算。 2. 整式加减实际上就是去括号、合并同类项。 3. 整式加减的一般步骤：如果有括号，那么先去括号；观察有无同类项；利用加法的交换律和结合律，分组同类项；合并同类项。 知识点七 位似 1．如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2．位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k． 易错点1 比例式写错对应项 易错提醒 1.已知 a:b=c:d，求 a:c时，直接把 b和 d位置搞反；或在写比例中项时出错（如 a:b=b:c，则 b2=ac，容易把 b 写成 ac​ 但忘记正负——线段长度必须为正）。 2.牢牢抓住“内项积 = 外项积”，写比例式前先标出“前项、后项、内项、外项”。黄金分割中，较长部分与全长之比为0.618，千万别记反（较短部分与全长之比才是 0.382）。 【对点训练】1．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 易错点2 忽视“线段比”的正负性 易错提醒 1.计算比例线段时，默认比例系数 k>0，但有些题中比例可能涉及有向线段或坐标轴上的点（需结合坐标系），漏掉绝对值或负号。 2.纯几何线段比直接取正；若涉及坐标（如位似坐标变换），需考虑 k 的符号（同向为正，反向为负）。 【对点训练】2．．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； （2）解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去） 易错点3 A字型与X字型的“上下左右”对应关系搞混 易错提醒 1.如图中 DE∥BC，学生常写成，但若 AD 是“上”的部分，AB 是“全”，则正确应为  ；若写成 ​，则对应 。位置不对应，比例必错。 2.避坑指南：标注法——画图时，把对应顶点用相同颜色或符号标出（如 D 对应 E，B 对应 C），明确“小三角形边”对应“大三角形边”。 【对点训练】3如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】略 易错点4 平行线分线段成比例定理的“推广”用错 易错提醒 1.定理说的是“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”。学生常错误地认为“平行线间任意两条线段都成比例”，忽略了必须在同一直线（截线）上。 2.记住“三线两截”——必须是三条平行线截两条直线，且比例式中的线段必须位于这两条截线上。 【对点训练】4．如图，数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和，点为数轴上方一点，连接，，过点作，交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是根据相似三角形的判定，得，得到，即可解答． 【详解】解：∵数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 易错点5 用“SSA”判定相似（致命错误） 易错提醒 1.已知两边成比例且其中一边的对角相等，就认为两个三角形相似。这是绝对错误（与全等不同，相似没有SSA判定定理）。 2.相似判定只有AA、SAS（夹角）、SSS。若已知两边及其中一边对角，必须转化为“夹角”或用特殊角（如直角、等腰）判断，否则无法判定。 【对点训练】5．如图，，若，，则的长为（） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可求出未知线段的长度． 【详解】解：∵， ∴， 将已知条件，，代入上式，得： 化简，得： ∴ 易错点6 相似三角形对应顶点“对号入座”不分 易错提醒 1.若 △ABC~△DEF，写比例式时写成 ​（把 B对到 E，C 对到 F，但 AC 与 EF 不对应）。顶点顺序直接决定对应边，错一个字母全盘皆输。 2.写比例式前，先在草稿纸上画对应关系图（A↔D，B↔E，C↔F），然后按顺序写比例式：​。 【对点训练】6．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 易错点7 忽略“隐藏的公共角/对顶角 易错提醒 1.在复杂图形中，明明有公共角或对顶角，却只盯着已知边，漏掉了最直接的“AA”判定条件。 2.看到两个三角形有公共顶点或交叉线，先找对顶角或公共角，它们往往是证明相似的第一把钥匙。 【对点训练】7．已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【分析】利用平行线分线段成比例可得，由已知条件变形可得，进而可得，即可证明，推出，即得结论. 【详解】解：略. 易错点8 面积比与相似比“平方关系”搞反 易错提醒 1.相似比为 2:3，学生直接写面积比为2:3，或者把“相似比 = 面积比平方根”算错。 2.死记硬背——面积比 = 相似比²，周长比 = 相似比，对应高/中线/角平分线比 = 相似比。例如相似比 2:3，面积比为 4:9；若面积比为 1:4，相似比为 1:2。 【对点训练】8．如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴相似三角形对应边成比例可得，故选项A错误； 相似三角形对应角相等可得，故选项B错误； 相似三角形面积比等于相似比的平方可得，故选项C错误； 相似三角形周长比等于相似比可得，故选项D正确． 易错点9 相似三角形“高之比”应用错误 易错提醒 1.两个相似三角形，只知道底边成比例，就认为高也成比例，但前提必须是“对应边上的高”。若题目未指明是对应高，不能直接套用。 2.对应高、对应中线、对应角平分线之比才等于相似比，一定要找“对应”二字。 【对点训练】9．若，且面积比为，则其对应边上的高的比为_______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．根据相似三角形的性质，先由面积比求出相似比，再利用相似三角形对应高的比等于相似比得出结果即可． 【详解】解：∵，且面积比为， ∴相似比为， ∴对应边上的高的比为． 易错点10 位似中心在图形内部时，方向搞混 易错提醒 1.位似中心在三角形内部时，学生常把位似图形画在错误方向（反向或偏离），或用坐标计算时漏掉负号。 2.位似比 k：k>0 为同向位似（对应点在位似中心同侧），k<0 为反向位似（对应点在中心异侧）。坐标系中：若原点为位似中心，点 A(x,y) 的对应点为(kx,ky) 或 (−kx,−ky)，看题目要求“同侧”还是“异侧”。 【对点训练】10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点、、分别与点A、B、C对应，且点在第一象限； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______． 【答案】(1) 即为所求： (2) 【分析】本题考查了画位似图形，位似图形的性质． （1）根据要求作图即可； （2）根据位似图形面积比等于相似比的平方作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 故答案为：． 易错点11 位似作图时“对应点连线过位似中心”漏画 易错提醒 1.画位似图形时，只画了对应点，忘记连线验证所有对应点是否都经过位似中心（导致图形不是位似图形）。 2.作图后，必须用直线连接所有对应点，检查它们是否交于同一点（即位似中心），这是位似图形的“硬性检验”。 【对点训练】11．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出，的位似图形，使与的相似比为2，且点的对应点分别是； (2)与的面积比为________． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 【分析】本题考查作图-位似变换，相似的性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：与的相似比为， 与的面积比为， 即与的面积比为． 故答案为：． 易错点12 相似三角形“动点问题”分类讨论不全 易错提醒 1.题目给出一个动点，存在两种相似的对应方式（如 △ABC~△DEF 或 △ABC~△DFE），学生只考虑了一种情况就得出唯一答案，导致漏解。 2.遇到“相似三角形的存在性”，务必按对应顶点分类讨论（如“情况1：A对应D，B对应E；情况2：A对应D，B对应F”），分别列比例方程，解出所有符合条件的结果。 【对点训练】12．如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【详解】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 易错点13 相似比与线段长“顺序”颠倒 易错提醒 1.已知小三角形与大三角形相似，相似比为 1:2，当求小三角形边长时，直接用 2÷1=2 来算，但若大边已知，则应乘以 ​，容易搞反谁是分子谁是分母。 2.先设“未知量”，如设小三角形边长为 x，写出比例式 ，再交叉相乘，绝不会错。 【对点训练】13．如图，在平行四边形中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质得，，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”得出答案； （2）先说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ； （2）解：， ． 四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 一、单选题 1．如图，在中，点，分别在，上，单独添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形判定方法是解答此题的关键．根据相似三角形的判定进行解答即可． 【详解】解：A、，， ， 故A选项不符合题意； B、，， ， 故B选项不符合题意； C、，， ， 故C选项不符合题意； D、，， 不能判定， 故D选项符合题意； 故选：D． 2．如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 3．如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．利用平行线的性质得到两组对应角相等，从而证明三角形相似，再结合中点条件得到相似比，进而求出线段的比值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 4．已知，与的面积比为，则和的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此由面积比可求相似比即可． 【详解】解：∵与的面积比为， ∴和的相似比为：，即． 故选D． 5．如图是小孔成像图，根据图中所示的尺寸，像的长是物长的（　　）    A． B．3倍 C． D．2倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 如图：先证明，再利用相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】解：如图：过O作，，    ∵， ∴，， ∴，即． ∴像的长是物的长的． 故选A． 6．如图，与交于点，且．若，则的面积与的面积之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 7．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段放大得到线段，若，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：以原点为位似中心，将线段放大得到线段，， 点的坐标与点的坐标的比值为，且符号相反， 点的坐标为， 点的坐标为，即． 8．如图，在中，，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，则的长为（   ） A．6 B．5.5 C．5 D．4.5 【答案】A 【分析】证明可得，再进一步求解即可. 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， ∴. 二、填空题 9．，，，的面积为，则的面积为__________． 【答案】36 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质可得，据此即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为：， 故答案为：． 10．如图，在中，点D在线段上，，，，那么________． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质正确列式求解是关键． 根据题意得到，，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：4 ． 11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________； （2）若，则_____________． 【答案】 【分析】（1）根据正方形性质，在正方形中，，在正方形中，，，从而判定是等腰直角三角形，得到，数形结合表示出计算即可得到答案； （2）先根据等腰直角三角形性质得到、，进而判定，再由相似三角形的性质得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）在正方形中，， 在以为对角线作正方形，，，则是等腰直角三角形， ， 则； （2）在等腰中，；在等腰中，； 则， ，， ， 则， ，即， 解得． 【点睛】熟记等腰直角三角形的判定与性质，结合图形找准判定两个三角形相似的方法是解决问题的关键．尤其是第二问中，借助等腰直角三角形边的关系得到是判定两个三角形相似的核心． 三、解答题 13．如图，已知，分别是它们对应的高线，已知，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应高的比等于相似比，据此列式解答即可． 【详解】解：∵知，分别是它们对应的高线， ∴ ∵， ∴． 14．如图，在中，，分别与相交于点D，E．若，，则的值为多少？ 【答案】 【分析】证明，即可解答． 【详解】解：， ， ． 15．如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点， (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）由平行四边形得到，即可证明； （2）由得到，再代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．如图，，已知． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，则证明再结合，得出，又因为，求出，即可作答． （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即，又因为，则，再列式计算得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故； （2）解：由（1）得且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． (1)求证：． (2)添加一个条件 求证：． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质说明，再根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； 对于（2），分别根据“角边角”和“角角边”证明即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ． ， ， ， ； （2）解：或或． 证明如下： 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ． 故答案为：或或． 18．如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)③ (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $