专题08位似图形与坐标变换暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

专题08位似图形与坐标变换暑假预习讲义 ① 理解位似核心概念：分清位似图形与相似图形的区别和联系，知晓位似属于特殊的相似；能准确找出位似图形的位似中心，辨别位似图形。 ② 熟记位似图形性质：掌握位似图形对应点连线必经位似中心、对应边互相平行、图形相似的特点；会依据相似比判断图形放大、缩小倍数。 ③ 掌握平面直角坐标系中位似作图规律：牢记以坐标原点为位似中心时，横、纵坐标同步乘相似比的变化规则，能根据要求画出放大或缩小后的位似图形。 ④ 学会利用坐标确定图形变换：结合平移、轴对称、旋转、位似四种变换，读懂坐标变化前后图形的演变过程，根据点的坐标推导变换方式。 ⑤ 能够逆向解题：已知变换前后对应点坐标，反推位似中心位置与相似比；依托坐标计算线段长度、图形面积。 ⑥ 区分各类图形变换差异：厘清平移、对称、旋转全等变换和位似缩放变换的不同，避免概念混淆。 ⑦ 梳理高频易错点：坐标系内做位似图形容易漏掉原点两侧两种情况、坐标缩放时正负符号出错、找不准位似中心；规范作图步骤，提升几何识图与坐标运算能力。 预习必备 知识梳理 1.位似图形的定义 2.位似图形的性质 3.位似图形的作图步骤 4.易错辨析表 5.平面直角坐标系中点的基础变换 6.平面直角坐标系中的位似 7.坐标变换综合解题思路 8.预习专用易错警示 常考题型 精讲精练 1.位似图形相关概念辨析 2.位似图形的识别 3.判断位似中心 4.求两个位似图形的相似比 5.作已知图形缩放n倍的位似图形 6.相似三角形的综合问题 7.实际问题中坐标表示位置 8.方向角和距离确定物体位置 9.由方位描述确定物体位置 10.求位似图形的对应坐标 11.坐标系位似图形比值计算 12.在坐标系中画位似图形 13.在坐标系中画位似中心 14.坐标与图形综合 强化题型 解答题6题 知识点01：位似图形的相关概念 1. 位似图形定义 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这两个图形叫做位似图形。 这个公共交点叫做位似中心； 这时两个图形的相似比又称为位似比。 2. 构成位似图形的 3 个必备条件（缺一不可） ① 两个图形必须相似； ② 对应顶点连线交于同一个位似中心； ③ 对应边互相平行（或共线）。 辨析：位似图形一定是相似图形；相似图形不一定是位似图形。 3. 位似中心的位置分类 （1）位似中心在两个图形之间； （2）位似中心在两个图形同一侧； （3）位似中心在图形内部； （4）位似中心在图形的顶点、边上。 知识点02：位似图形的性质 1.位似图形是特殊的相似图形，满足相似图形一切性质（对应角相等、对应边成比例；周长比 = 位似比，面积比 = 位似比的平方）； 2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； 3.对应线段互相平行（或在同一直线上）； 4.经过位似中心的直线上的对应点都在这条直线上。 知识点 03 作位似图形的标准步骤 已知原图、位似中心、位似比，绘制位似图形： 1.选点：在原图形上选取若干个关键点（多边形取顶点）； 2.连线：分别连接位似中心与各个关键点； 3.截取：沿着射线（或反向延长线），根据位似比截取对应点； 4.成型：按照原图顺序，顺次连接截取得到的对应点，得到位似图形。 【易错点拨】 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法。 ⚠️注意：同一个原图、同一个位似中心、同一个位似比，可以作出两个位似图形（中心两侧各一个）。 知识点04：易混辨析表格 对比项目 相似图形 位似图形 关系 只要求对应角相等、对应边成比例 属于特殊的相似图形 对应顶点连线 无要求 所有对应顶点连线交于同一点（位似中心） 对应边 成比例，不一定平行 互相平行（或共线） 能否放大缩小作图 不能直接利用相似作图 可以借助位似实现图形放大、缩小 知识点05:平面直角坐标系中点的基础变换（平移、对称、旋转） 设点 P(x,y) 变换类型 变换规则 变换后坐标 向右平移a个单位 横坐标+a，纵坐标不变 P1(x+a, y) 向左平移a个单位 横坐标-a，纵坐标不变 P1(x-a, y) 向上平移b个单位 纵坐标+b，横坐标不变 (P1x,y+b) 向下平移b个单位 纵坐标-b，横坐标不变 (P1x,y-b) 关于x轴对称 横坐标不变，纵坐标相反数 P1(x, -y) 关于y轴对称 纵坐标不变，横坐标相反数 P1(-x, y) 关于原点中心对称 横、纵坐标都取相反数 P1(-x, -y) 绕原点顺时针旋转 90° (x,y)(y,-x) (P1y,-x) 绕原点逆时针旋转 90° (x,y)(-y,x) (P1-y, x) 知识点 06 平面直角坐标系中的位似变换 1.在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|，即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)，则其位似图形对应顶点的坐标为(kx0，ky0)或(-kx0，-ky0)。 2.平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 知识点07：坐标变换综合解题思路 1.看清变换顺序：变换顺序不同，最终坐标结果不同； 2.位似缩放优先注意：只有原点为位似中心才能直接坐标同乘k； 3.图形放大缩小只改变边长，不改变角度； 4.求面积：坐标变换后，平移、对称、旋转不改变面积；位似变换面积比=k2。 知识点08：预习专用易错警示 1. 原点位似有两种坐标结果！做题经常漏其中一种情况； 例：点A(2,4)，位似比，以原点为位似中心，对应点为(1,2) 或 (-1,-2)。 2.区分：全等变换不改变大小；位似会改变图形大小； 3.不要混淆旋转 90° 坐标公式，建议画图辅助记忆； 4.位似比有正负含义：正代表同侧，负代表异侧。 题型1.位似图形相关概念辨析 【典例】如图四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，四边形是四边形的位似图形，图中还可以找到___对相似三角形（可用字母表示），它们分别是____ ． 【跟踪专练2】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 题型2.位似图形的识别 【典例】下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C．D． 【跟踪专练1】视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【跟踪专练2】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3.判断位似中心 【典例】如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（   ） A．点M B．点N C．点E D．点F 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 题型4.求两个位似图形的相似比 【典例】如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是______． 【跟踪专练1】如图，四边形与四边形位似，点为它们的位似中心，且四边形与四边形的周长之比为，则为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，每个小方格都是单位正方形，△ABC与是位似图形，点O是位似中心，是由△ABC的边扩大为原来的___倍得到的． 【跟踪专练3】如图，与是位似图形，位似中心为点O，若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 题型5.作已知图形缩放n倍的位似图形 【典例】如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作的位似图形，若点D是点A的对应顶点，则点B的对应顶点是（　　）    A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【跟踪专练1】课堂上数学老师让同学们完成“以点为位似中心，将扩大到原来的两倍得到，画出一个符合条件的”的作图题，小明和小刚率先完成，他们的作图如下： A．小明正确，小刚错误 B．小明错误，小刚正确 C．两人的作图都正确 D．两人的作图都错误 【跟踪专练2】如图，在直角坐标系中，先以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到，再将绕着原点逆时针旋转，得到的，若点是对应点，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型6.相似三角形的综合问题 【典例】如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 【跟踪专练1】如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则_______． 【跟踪专练2】如图，平面内三点A、B、C，AB=8，AC=6，以BC边为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BCD，连接AD，则的最大值是（    ） A．98 B．100 C．72 D．70 题型7.实际问题中坐标表示位置 【典例】为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“科”的坐标分别为，则“技”的坐标为__________． 【跟踪专练1】如图，以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，已知北京四中的坐标为，那么北京四中道元校区的坐标为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】中国象棋中的“马”沿“日”字形对角线走，俗称“马走日”，现有三个棋子的位置如图所示，若建立平面直角坐标系，使帅、相所在点的坐标分别为，则马直接走到第一象限时，对应点的坐标是______． 【跟踪专练3】将如图所示的运动宣传海报放在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型8.方向角和距离确定物体位置 【典例】已知我市新华书店在某学校北偏西方向处，新华书店可能是图中（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练1】据古籍《鹖（hé）冠子》记载：“斗柄东指，天下皆春；斗柄南指，天下皆夏；斗柄西指，天下皆秋；斗柄北指，天下皆冬．”古人通过观察北斗七星斗柄的不同指向就可以确定季节．如图是北斗七星的部分平面模型图． 天玑在天璇的______偏__________方向______处． 【跟踪专练2】小敏打电话给小丽：“你在哪？”．在下面小丽的回话中，最能确定小丽具体位置的是（     ） A．我和你相距800米，在你的东面． B．我在你北偏东的方向，离你800米远． C．我在你北偏东的方向． D．你向北走500米，然后转再走300米就可以找到我． 题型9.由方位描述确定物体位置 【典例】下列选项中不能确定物体位置的是（     ） A．电影院5排8号 B．南偏西 C．无终东街1586号 D．东经，北纬 【跟踪专练1】货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小明和小文相约去游乐园游玩，以下是他们的一段对话，根据两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（    ） A．向北直走，再向西直走 B．向北直走，再向西直走 C．向北直走，再向西直走 D．向南直走，再向西直走 题型10.求位似图形的对应坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，的顶点为．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为，的位似图形，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________． 【跟踪专练2】如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型11.坐标系位似图形比值计算 【典例】如图，与位似，点O为位似中心，若，则(   ) A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为_____． 【跟踪专练2】如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 题型12.在坐标系中画位似图形 【典例】平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【跟踪专练1】已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    【跟踪专练2】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 题型13.在坐标系中画位似中心 【典例】如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型14.坐标与图形综合 【典例】如图，直线经过点，且轴，直线经过点，且轴，直线，相交于点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别是，，，，直线交边于点D，点E在边上．若，则的长为___________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，将放大到原来的2倍，得到，在网格内画出； (3)与的周长比是________，与的面积比是________． 2．如图是某景区的分布示意图，小天和小河在游玩过程中通过建立平面直角坐标系，分别对“竹海听风”和“荷塘月色”的位置做出如下描述： 小天：“竹海听风”的坐标是． 小河：“荷塘月色”位于原点的西北方向． 实际上，小天和小河的说法都是正确的． (1)在图中建立平面直角坐标系并填空：根据小天和小河的描述，则“桃花源”的坐标是_____________； (2)已知“松韵亭”的坐标是，用表示方向的角描述“松韵亭”与“桃花源”的位置关系． 3．在的网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 5．如下图，在平面直角坐标系中，已知的顶点，，，，．求点A，B的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08位似图形与坐标变换暑假预习讲义 ① 理解位似核心概念：分清位似图形与相似图形的区别和联系，知晓位似属于特殊的相似；能准确找出位似图形的位似中心，辨别位似图形。 ② 熟记位似图形性质：掌握位似图形对应点连线必经位似中心、对应边互相平行、图形相似的特点；会依据相似比判断图形放大、缩小倍数。 ③ 掌握平面直角坐标系中位似作图规律：牢记以坐标原点为位似中心时，横、纵坐标同步乘相似比的变化规则，能根据要求画出放大或缩小后的位似图形。 ④ 学会利用坐标确定图形变换：结合平移、轴对称、旋转、位似四种变换，读懂坐标变化前后图形的演变过程，根据点的坐标推导变换方式。 ⑤ 能够逆向解题：已知变换前后对应点坐标，反推位似中心位置与相似比；依托坐标计算线段长度、图形面积。 ⑥ 区分各类图形变换差异：厘清平移、对称、旋转全等变换和位似缩放变换的不同，避免概念混淆。 ⑦ 梳理高频易错点：坐标系内做位似图形容易漏掉原点两侧两种情况、坐标缩放时正负符号出错、找不准位似中心；规范作图步骤，提升几何识图与坐标运算能力。 预习必备 知识梳理 1.位似图形的定义 2.位似图形的性质 3.位似图形的作图步骤 4.易错辨析表 5.平面直角坐标系中点的基础变换 6.平面直角坐标系中的位似 7.坐标变换综合解题思路 8.预习专用易错警示 常考题型 精讲精练 1.位似图形相关概念辨析 2.位似图形的识别 3.判断位似中心 4.求两个位似图形的相似比 5.作已知图形缩放n倍的位似图形 6.相似三角形的综合问题 7.实际问题中坐标表示位置 8.方向角和距离确定物体位置 9.由方位描述确定物体位置 10.求位似图形的对应坐标 11.坐标系位似图形比值计算 12.在坐标系中画位似图形 13.在坐标系中画位似中心 14.坐标与图形综合 强化题型 解答题6题 知识点01：位似图形的相关概念 1. 位似图形定义 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这两个图形叫做位似图形。 这个公共交点叫做位似中心； 这时两个图形的相似比又称为位似比。 2. 构成位似图形的 3 个必备条件（缺一不可） ① 两个图形必须相似； ② 对应顶点连线交于同一个位似中心； ③ 对应边互相平行（或共线）。 辨析：位似图形一定是相似图形；相似图形不一定是位似图形。 3. 位似中心的位置分类 （1）位似中心在两个图形之间； （2）位似中心在两个图形同一侧； （3）位似中心在图形内部； （4）位似中心在图形的顶点、边上。 知识点02：位似图形的性质 1.位似图形是特殊的相似图形，满足相似图形一切性质（对应角相等、对应边成比例；周长比 = 位似比，面积比 = 位似比的平方）； 2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； 3.对应线段互相平行（或在同一直线上）； 4.经过位似中心的直线上的对应点都在这条直线上。 知识点 03 作位似图形的标准步骤 已知原图、位似中心、位似比，绘制位似图形： 1.选点：在原图形上选取若干个关键点（多边形取顶点）； 2.连线：分别连接位似中心与各个关键点； 3.截取：沿着射线（或反向延长线），根据位似比截取对应点； 4.成型：按照原图顺序，顺次连接截取得到的对应点，得到位似图形。 【易错点拨】 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法。 ⚠️注意：同一个原图、同一个位似中心、同一个位似比，可以作出两个位似图形（中心两侧各一个）。 知识点04：易混辨析表格 对比项目 相似图形 位似图形 关系 只要求对应角相等、对应边成比例 属于特殊的相似图形 对应顶点连线 无要求 所有对应顶点连线交于同一点（位似中心） 对应边 成比例，不一定平行 互相平行（或共线） 能否放大缩小作图 不能直接利用相似作图 可以借助位似实现图形放大、缩小 知识点05:平面直角坐标系中点的基础变换（平移、对称、旋转） 设点 P(x,y) 变换类型 变换规则 变换后坐标 向右平移a个单位 横坐标+a，纵坐标不变 P1(x+a, y) 向左平移a个单位 横坐标-a，纵坐标不变 P1(x-a, y) 向上平移b个单位 纵坐标+b，横坐标不变 (P1x,y+b) 向下平移b个单位 纵坐标-b，横坐标不变 (P1x,y-b) 关于x轴对称 横坐标不变，纵坐标相反数 P1(x, -y) 关于y轴对称 纵坐标不变，横坐标相反数 P1(-x, y) 关于原点中心对称 横、纵坐标都取相反数 P1(-x, -y) 绕原点顺时针旋转 90° (x,y)(y,-x) (P1y,-x) 绕原点逆时针旋转 90° (x,y)(-y,x) (P1-y, x) 知识点 06 平面直角坐标系中的位似变换 1.在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|，即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)，则其位似图形对应顶点的坐标为(kx0，ky0)或(-kx0，-ky0)。 2.平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 知识点07：坐标变换综合解题思路 1.看清变换顺序：变换顺序不同，最终坐标结果不同； 2.位似缩放优先注意：只有原点为位似中心才能直接坐标同乘k； 3.图形放大缩小只改变边长，不改变角度； 4.求面积：坐标变换后，平移、对称、旋转不改变面积；位似变换面积比=k2。 知识点08：预习专用易错警示 1. 原点位似有两种坐标结果！做题经常漏其中一种情况； 例：点A(2,4)，位似比，以原点为位似中心，对应点为(1,2) 或 (-1,-2)。 2.区分：全等变换不改变大小；位似会改变图形大小； 3.不要混淆旋转 90° 坐标公式，建议画图辅助记忆； 4.位似比有正负含义：正代表同侧，负代表异侧。 题型1.位似图形相关概念辨析 【典例】如图四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的知识；结合题意，根据位似图形的性质，得，可得，进一步即可得到答案． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，四边形是四边形的位似图形，图中还可以找到___对相似三角形（可用字母表示），它们分别是____ ． 【答案】 4 ，，， 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，，，根据相似三角形的判定定理写出所有的相似三角形．熟记位似图形的概念、相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是四边形的位似图形， ∴，，，， ∴，，，，共4对相似三角形， 故答案为：4；，，，． 【跟踪专练2】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， 则，本选项说法正确，不符合题意； B、与是位似图形， 三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意； C、，相似比为， ， ，本选项说法错误，符合题意； D、与是位似图形， ，本选项说法正确，不符合题意． 题型2.位似图形的识别 【典例】下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形． 根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意； 故选：B 【跟踪专练1】视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】B 【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意； B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意； C、①和④是位似图形，则此项不符合题意； D、②和④是位似图形，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键． 【跟踪专练2】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，故与不成位似图形， ∴与成位似图形有3个． 题型3.判断位似中心 【典例】如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的位似，掌握位似中心是位似点连线的交点是解题的关键． 根据位似中心是位似点连线的交点判断即可． 【详解】解：如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（   ） A．点M B．点N C．点E D．点F 【答案】C 【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵对应点的连线交于点， 点为位似中心， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式；先确定位似中心为点P，然后用待定系数法求出直线的解析式为：，再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵A与是对应点，与为对应点， ∴与的交点P为位似中心， ∵与都在x轴上， ∴点P在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得： ∴位似中心坐标是， 故选：A． 题型4.求两个位似图形的相似比 【典例】如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， 和的面积比为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，四边形与四边形位似，点为它们的位似中心，且四边形与四边形的周长之比为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用位似图形的周长比等于相似比直接求解即可． 【详解】解：四边形与四边形位似，点为它们的位似中心，且四边形与四边形的周长之比为， ． 【跟踪专练2】如图，每个小方格都是单位正方形，△ABC与是位似图形，点O是位似中心，是由△ABC的边扩大为原来的___倍得到的． 【答案】 【分析】本题考查求图形的位似比，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据图形，先得出位似中心为点，由即可得出位似比，得出答案． 【详解】解：连接并延长，连接并延长，相交于点，如下图所示： ∴点为位似中心， ∵点，， ∴，， 故位似比为， 即是由△ABC的边扩大为原来的倍得到的， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，与是位似图形，位似中心为点O，若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用位似图形的面积比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：， 与的位似比为， 与的面积比是． 题型5.作已知图形缩放n倍的位似图形 【典例】如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作的位似图形，若点D是点A的对应顶点，则点B的对应顶点是（　　）    A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】D 【分析】连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接并延长，      ∵以点为位似中心，点D是点A的对应点， ∴位似比为， ∴ ∴则点B的对应点是N， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】课堂上数学老师让同学们完成“以点为位似中心，将扩大到原来的两倍得到，画出一个符合条件的”的作图题，小明和小刚率先完成，他们的作图如下： A．小明正确，小刚错误 B．小明错误，小刚正确 C．两人的作图都正确 D．两人的作图都错误 【答案】C 【分析】根据位似的性质，以点为位似中心，将扩大到原来的两倍得到，可以在同侧也可以在异侧，据此即可求解． 【详解】解：依题意，以点为位似中心，将扩大到原来的两倍得到，可以在同侧也可以在异侧， 故选：C． 【点睛】本题考查了画位似图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在直角坐标系中，先以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到，再将绕着原点逆时针旋转，得到的，若点是对应点，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键．根据位似，旋转变换的性质画出图象即可解决问题； 【详解】解：如图，即为所求． 观察图象可知： 故选D． 题型6.相似三角形的综合问题 【典例】如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 【答案】B 【详解】∵与是位似图形，相似比为1：3， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，平行线分线段成比例等知识，掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键．首先由得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，，，…，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， ∴， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理，，，…， （个） 故答案为∶． 【跟踪专练2】如图，平面内三点A、B、C，AB=8，AC=6，以BC边为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BCD，连接AD，则的最大值是（    ） A．98 B．100 C．72 D．70 【答案】A 【分析】以AB为斜边作等腰直角三角形∆AOB，连接OD，利用相似三角形的性质得出OD，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，以AB为斜边作等腰直角三角形∆AOB，连接OD， ∵∆CBD，∆AOB都是等腰直角三角形， ∴，，∠ABO=∠CBD=45°， ∴，∠ABC=∠OBD， ∴∆ABC~∆OBD， ∴， ∴， ∵AB=8，∠AOB=90°，OA=OB， ∴OA=OB=， ∵AD≤OA+OD， ∴AD≤， AD2≤98， 故选：A． 【点睛】题目主要考查旋转变换，相似三角形的判定和性质，作出相应辅助线，构造相似三角形及确定点D的运动轨迹是解题关键． 题型7.实际问题中坐标表示位置 【典例】为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“科”的坐标分别为，则“技”的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：∵“创”“科”的坐标分别为， ∴建立平面直角坐标系如下： 可知“技”的坐标为． 【跟踪专练1】如图，以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，已知北京四中的坐标为，那么北京四中道元校区的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系： 北京四中道元校区的坐标为 ． 【跟踪专练2】中国象棋中的“马”沿“日”字形对角线走，俗称“马走日”，现有三个棋子的位置如图所示，若建立平面直角坐标系，使帅、相所在点的坐标分别为，则马直接走到第一象限时，对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】直接利用已知点得出平面直角坐标系，进而得出马直接走到第一象限时所在点的坐标． 【详解】解：直角坐标系如图所示： 马直接走到第一象限时所在点的坐标是． 【跟踪专练3】将如图所示的运动宣传海报放在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知点A和点C的坐标确定平面直角坐标系的原点位置及单位长度，再根据点B在网格中的相对位置确定其坐标． 【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如下： ∴点B的坐标为． 题型8.方向角和距离确定物体位置 【典例】已知我市新华书店在某学校北偏西方向处，新华书店可能是图中（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据方位角的定义求解即可． 【详解】解：由图可得，北偏西为，乙到中心距离为；丙到中心距离为， ∴位于学校北偏西方向处的是丙，即新华书店可能是图中丙． 【跟踪专练1】据古籍《鹖（hé）冠子》记载：“斗柄东指，天下皆春；斗柄南指，天下皆夏；斗柄西指，天下皆秋；斗柄北指，天下皆冬．”古人通过观察北斗七星斗柄的不同指向就可以确定季节．如图是北斗七星的部分平面模型图． 天玑在天璇的______偏__________方向______处． 【答案】 南 西 3 【分析】根据方向角的定义，以天璇为观测点建立方向坐标系，结合图形中的角度标注确定天玑相对于天璇的方向，根据比例尺和线段上的刻度确定两点间的距离． 【详解】解：由图可知，方向标指示向上为北，则向下为南，向左为西，向右为东， 以天璇为观测点，天玑位于天璇的左下方，即南偏西方向， 图中标注的角表示天璇与天玑连线与正南方向的夹角， ∴方向为南偏西， 观察天璇与天玑之间的线段，该线段被短竖线分为段，根据右下角比例尺可知每段长度为， ∴天璇与天玑之间的距离为， 综上所述，天玑在天璇的南偏西方向处． 故答案为：南，西，3． 【跟踪专练2】小敏打电话给小丽：“你在哪？”．在下面小丽的回话中，最能确定小丽具体位置的是（     ） A．我和你相距800米，在你的东面． B．我在你北偏东的方向，离你800米远． C．我在你北偏东的方向． D．你向北走500米，然后转再走300米就可以找到我． 【答案】B 【分析】平面内确定一个点的具体位置需要两个独立的确定条件，同时具备确定方向和确定距离才能得到唯一位置． 【详解】解：在平面内确定一个点的具体位置，需要同时有确定的方向和距离两个条件，逐一分析选项： 选项A的方向表述“东面”不够精确，无法唯一确定位置； 选项B同时给出确定方向（北偏东）和确定距离（800米），可以唯一确定小丽的具体位置； 选项C只有方向，没有距离，无法确定位置； 选项D中转未说明转动方向，存在两个可能的位置，无法确定具体位置； 题型9.由方位描述确定物体位置 【典例】下列选项中不能确定物体位置的是（     ） A．电影院5排8号 B．南偏西 C．无终东街1586号 D．东经，北纬 【答案】B 【分析】平面内确定一个物体的位置需要两个独立的有序信息，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A、电影院5排8号，有排数和号数两个信息，可以确定位置； 选项B、只有方向“南偏西”，没有距离信息，缺少确定位置的必要条件，不能确定物体位置； 选项C、无终东街1586号，有街道名称和门牌号两个信息，可以确定位置； 选项D、东经，北纬，有经度和纬度两个信息，可以确定位置． 【跟踪专练1】货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是根据方位角找出对应的图形，掌握方位角的定义是解决此题的关键． 根据方位角的定义判断即可． 【详解】解：A．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，故本选项符合题意； B．货轮A在岛屿O的南偏西方向上，故本选项不符合题意； C．货轮A在岛屿O的南偏东方向上，故本选项不符合题意； D．货轮A在岛屿O的北偏西方向上，故本选项不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】小明和小文相约去游乐园游玩，以下是他们的一段对话，根据两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（    ） A．向北直走，再向西直走 B．向北直走，再向西直走 C．向北直走，再向西直走 D．向南直走，再向西直走 【答案】A 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据题意，画出坐标系，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：根据题意建立直角坐标系， 由图可知：小文向北直走，再向西直走就能到游乐园门口了； 故选A． 题型10.求位似图形的对应坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，的顶点为．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为，的位似图形，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据关于以原点为位似中心的点的坐标关系，点的坐标就是把点的坐标乘以，据此计算即可． 【详解】解：∵点O为位似中心，的位似图形为，位似比为， 而， ∴，即． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据题意可得位似比为或，用点A的横纵坐标乘以对应的位似比即可求出点的坐标． 【详解】解：∵，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到， ∴位似比为或， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 综上所述，点的对应点的坐标为或． 【跟踪专练2】如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点，   ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 题型11.坐标系位似图形比值计算 【典例】如图，与位似，点O为位似中心，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到'，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质得到，再根据、两点的坐标得到，所以． 【详解】解：，， ， 与是以原点为位似中心，位似比为的位似图形， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是利用位似图形的周长比等于位似比． 先根据求出位似比，再结合位似图形周长比等于位似比，计算的周长． 【详解】解：由，得， 因为与是位似图形，位似比为， 所以它们的周长比为． 已知的周长为，设的周长为，则，解得． 故选：C． 题型12.在坐标系中画位似图形 【典例】平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【答案】两；同 【详解】平面直角坐标系中位似图形的作法：位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心两侧；②位似图形在位似中心同侧． 【跟踪专练1】已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    【答案】 【分析】先画出图形，再根据图形可得的坐标． 【详解】解：如图，为所作；点的坐标为．    故答案为． 【点睛】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键． 【跟踪专练2】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知，点C的坐标为(-2，3)， 以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2， 则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)， 故选：D． 【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键． 题型13.在坐标系中画位似中心 【典例】如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案． 【详解】如图，分别连接、、，其所在直线交于点 则点G为所求的位似中心， 故选：C． 【点睛】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】解：连接，交于点O， ∴点O是位似中心， 故答案为：D． 题型14.坐标与图形综合 【典例】如图，直线经过点，且轴，直线经过点，且轴，直线，相交于点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等，平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等，即可解答． 【详解】解：直线a经过点，且轴， 点M的纵坐标是， 直线b经过点，且轴， 点M的横坐标是， 点M的坐标是． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别是，，，，直线交边于点D，点E在边上．若，则的长为___________． 【答案】1 【分析】由长方形的性质以及点的坐标可得出，，求出长方形的面积，进而可得出，进而可求出的长，进而求出，再根据即可求出，进而可求出的长． 【详解】解：∵长方形的顶点坐标分别是，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出． 过点分别作轴，轴，垂足分别为点，先证明，推出，再通过点的坐标即可求出的值，从而得到点的坐标 ． 【详解】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为点 ． ， ． 轴，轴， 和都是直角三角形 ． 在和中， ， ， ． ， ． ， ， ， ， ． 点在轴正半轴上， ，故选：D ． 解答题 1．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，将放大到原来的2倍，得到，在网格内画出； (3)与的周长比是________，与的面积比是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，作位似图形，相似图形的性质，掌握坐标与图形的特点，位似图形的作法及相似图形的性质是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据位似比作图即可； （3）根据坐标与图形可得点的坐标，由位似比即为相似比，根据周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：如图，为所求； ； （3）解：∵位似比为， ∴周长比为，面积比为，即， 故答案为：． 2．如图是某景区的分布示意图，小天和小河在游玩过程中通过建立平面直角坐标系，分别对“竹海听风”和“荷塘月色”的位置做出如下描述： 小天：“竹海听风”的坐标是． 小河：“荷塘月色”位于原点的西北方向． 实际上，小天和小河的说法都是正确的． (1)在图中建立平面直角坐标系并填空：根据小天和小河的描述，则“桃花源”的坐标是_____________； (2)已知“松韵亭”的坐标是，用表示方向的角描述“松韵亭”与“桃花源”的位置关系． 【答案】(1)， (2)“桃花源”位于“松韵亭”的东北方向（或“松韵亭”位于“桃花源”的西南方向） 【分析】（1）根据小天和小河的描述建立平面直角坐标系，再写出“桃花源”的坐标即可； （2）根据“桃花源”和“松韵亭”的坐标，结合方向角的定义解答即可． 【详解】（1）解：在图中建立平面直角坐标系：略． 则“桃花源”的坐标是． （2）解：在平面直角坐标系中标出“松韵亭”如下： 则“桃花源”位于“松韵亭”的东北方向（或“松韵亭”位于“桃花源”的西南方向）． 3．在的网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 【答案】(1)如图，即为所求： (2)，， 【分析】（1）连接并延长至点，使，则即为点的对应点，同样的方法作出，的对应点，，从而得到； （2）利用（1）所画图形就可以得到各顶点坐标． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出周长比即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且相似比为， ∴． 5．如下图，在平面直角坐标系中，已知的顶点，，，，．求点A，B的坐标． 【答案】点A的坐标为，点B的坐标为 【分析】如图，作轴于点，轴于点，根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半结合勾股定理可求出，，再根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理可求出，，再根据点的坐标特征即可求出点，的坐标． 【详解】解：如图，作轴于点，轴于点． ，，， ， ． ，， ， ． ， ． ， ， ∴点的坐标为． 在等腰直角三角形中，，， ， ， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形性质，含度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：如图为所求： (2)解：如图为所求： (3)和是位似图形； 点M的坐标为． 【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解． （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解． （3）根据位似图形的定义即可判断，连接对应点的交点即为位似中心点，写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：和是位似图形；图略， 由图可得点M的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $