3.3 探索与表达规律（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 3.3探索与表达规律 知识归纳与题型总结 考点01 数字类规律探索 1. 基本必备思路： （1）观察：列出前几组数据； （2）猜想：寻找数量变化关系； （3）表达：用含正整数 n（n=1,2,3⋯）的代数式写出规律； （4）验证：代入后面的数检验是否成立。 关键：通常设序号为 n，第 1 个图形 / 数对应 n=1。 考向01 数字类规律探索 【例1】如图，将正整数按此规律排列成数表，则2026是表中第________行，第________列． 【对点1】已知，，，，那么________________________． 考点02 图形类规律探索 1.数出每个图形对应的数量，转化成数列找规律 2.直接观察图形增加方式：每次增加固定数量（等差型最多） 考向01 图形类规律探索 【例1】下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为________． 【对点1】中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪，摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示，表示，则表示______ 1、 选择题 1．如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是（     ） A．16 B．32 C．64 D．128 2．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（     ） A． B． C． D． 3．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有15个圆点，…，按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是（     ） A．36 B．42 C．45 D．48 4．任取一个三位数作为起始数，把百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字；将这个三位数的十位数字和个位数字均进行相同的操作，即完成第一次操作，得到下一个三位数．然后重复这个过程．以“641”作为起始数，百位：，；十位：；个位：，第一次操作后得到的数是382，…第2026次操作后得到的数是（     ） A．674 B．641 C．617 D．358 5．某学校举行青少年板球锦标赛，买回若干个相同的纸杯方便运动员饮水．如图，将纸杯整齐地叠放在一起，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，依此类推，个这样的纸杯叠放在一起的高度为（     ） A． B． C． D． 6．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（     ） A．51 B．64 C．66 D．81 7．位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 8．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 9．“勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（     ） A．512 B．1023 C．2047 D．2048 10．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．一个三位自然数，其各位数字互不相等且均不为0，百位数字比十位数字大2，我们称这个三位自然数为“兄弟数”，记．比如，各位数字互不相等且均不为0，百位数字4比十位数字2大2，所以427是“兄弟数”，．当“兄弟数”取最小值时，_________，若一个“兄弟数”，使恰为7的倍数，则满足题意的最大“兄弟数”是_________． 12．（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 13．如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成如图图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，的值为 ________． 14．如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为____________． 15．按一定规律排列的数：，，，，⋯，以此规律排列，第7个数是___． 3、 解答题 16．【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： (1)当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是________； (2)当三角形的个数是时，所用的磁力棒的根数是________（用含的代数式表示）； (3)同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由； 探究二：立体图形 (4)创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等边三角形． 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 17．三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图1给出了七边形的三角剖分的两种方法。 (1)将一个四边形进行三角剖分，则有______种剖分方法； (2)在图2中给出五边形的三角剖分的一种方法； (3)瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式：当时，，其中规定．请根据公式，计算七边形的三角剖分方法数． 将一个四边形进行三角剖分，则有种剖分方法； 18．利用Excel表格功能可以进行同一公式计算，如图，是表格设置运算的一部分，如：第一行表示的算式及显示的结果为：，依据运算规则，解决下列问题． (1)求第二行运算的结果； (2)若第三行的运算结果为最大的负整数，求“”处显示的数． 19．已知下列等式：①；②；③，… (1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； (2)请你找出规律，写出第n个式子 ． (3)利用（2）中发现的规律计算：． 20．计算： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 3.3探索与表达规律 知识归纳与题型总结 考点01 数字类规律探索 1. 基本必备思路： （1）观察：列出前几组数据； （2）猜想：寻找数量变化关系； （3）表达：用含正整数 n（n=1,2,3⋯）的代数式写出规律； （4）验证：代入后面的数检验是否成立。 关键：通常设序号为 n，第 1 个图形 / 数对应 n=1。 考向01 数字类规律探索 【例1】如图，将正整数按此规律排列成数表，则2026是表中第________行，第________列． 【答案】 64 10 【分析】观察数表可知，第行有个数，且前行共有个数，即第行最后一个数为，通过估算确定2026所在的行数，进而求出列数． 【详解】解：由图可知，第1行最后一个数是1， 第2行最后一个数是， 第3行最后一个数是， 第4行最后一个数是， 第行最后一个数是， 当时，， 当时，， ∵， ∴2026在第64行， ∵第63行最后一个数是2016， ∴第64行第1个数是2017， ， ∴2026是第64行第10列． 【对点1】已知，，，，那么________________________． 【答案】 【分析】观察式子可以得出规律：从开始连续个奇数相加的和等于，先确定算式里一共有多少个奇数，再套用规律计算． 【详解】解：观察已知式子： （个奇数）， （个奇数）， （个奇数）， （个奇数）， 总结规律：从开始，连续个奇数相加，结果等于． 最后一个奇数是，奇数的个数：， ． 考点02 图形类规律探索 1.数出每个图形对应的数量，转化成数列找规律 2.直接观察图形增加方式：每次增加固定数量（等差型最多） 考向01 图形类规律探索 【例1】下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为________． 【答案】 【分析】观察图形，得出第个图中所贴剪纸“〇”的个数为个，据此求解即可． 【详解】解：当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； … 从而可以探究：第n个图案所贴剪纸“○”的个数为个， ∴第个图中所贴剪纸“○”的个数为个． 【对点1】中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪，摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示，表示，则表示______ 【答案】 【详解】 解：根据题意，表示． 1、 选择题 1．如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是（     ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【分析】根据已知条件可得纸面积是纸面积的2倍，纸面积是纸面积的2倍，由此规律即可得出答案． 【详解】解：由题意得：纸面积是纸面积的2倍， 纸面积是纸面积的2倍，则纸面积是纸面积的倍， 纸面积是纸面积的2倍，则纸面积是纸面积的倍， ∴纸面积是纸面积的倍， ∴裁剪一张规格纸最多可得到32张规格纸． 2．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据前个图形的正方形数量，归纳出通用规律表达式，再把代入求值． 【详解】解：根据题意可知， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 则第个图形中正方形的个数为个， 故第个图形中正方形的个数为个． 3．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有15个圆点，…，按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是（     ） A．36 B．42 C．45 D．48 【答案】C 【分析】观察图形及数据，根据发现的规律求解即可． 【详解】由图可得：第①个图中有个圆点， 第②个图中有个圆点， 第③个图中有个圆点， ……， 第个图中有个圆点， 第⑦个图中圆点的个数是． 4．任取一个三位数作为起始数，把百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字；将这个三位数的十位数字和个位数字均进行相同的操作，即完成第一次操作，得到下一个三位数．然后重复这个过程．以“641”作为起始数，百位：，；十位：；个位：，第一次操作后得到的数是382，…第2026次操作后得到的数是（     ） A．674 B．641 C．617 D．358 【答案】C 【分析】按照题目操作规则计算多次结果，找出循环周期，再通过计算余数得到第2026次操作的结果． 【详解】解：第次操作后为； 第次操作：∵百位，得百位为；十位，，得十位为；个位，得个位为，∴第次操作后得到； 第次操作：∵百位，；十位，；个位，∴第次操作后得到； 第次操作：∵百位；十位，；个位，，∴第次操作后得到； 第次操作：∵百位，；十位；个位，，∴第次操作后得到； 第次操作：∵百位；十位；个位，，∴第次操作后得到； 操作结果每次为一个循环． ∵，余数为， ∴第次操作的结果与第次操作结果相同，为． 5．某学校举行青少年板球锦标赛，买回若干个相同的纸杯方便运动员饮水．如图，将纸杯整齐地叠放在一起，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，依此类推，个这样的纸杯叠放在一起的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察已知条件中纸杯数量与总高度的变化关系，求出每增加一个纸杯增加的高度，进而推算出8个纸杯的总高度． 【详解】由题意可知：3个纸杯比2个纸杯高，4个纸杯比3个纸杯高， ∴每增加一个纸杯，高度增加， ∴8个纸杯的高度为：． 6．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（     ） A．51 B．64 C．66 D．81 【答案】B 【分析】根据前三个图案中正方形个数的数值特征，归纳出第个图案的通项公式． 【详解】解：观察图形可知， 第①个图案正方形个数为， 第②个图案正方形个数为， 第③个图案正方形个数为， 第个图案正方形个数为， 当时，． 7．位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次计算次操作后剩余坐着的人数，再用总人数减去剩余坐着的人数，得到总站着的人数． 【详解】解：初始人数为， 第一次剩余：（人）， 第二次剩余：（人）， 第三次剩余：（人）， 第四次剩余：（人）， 第五次剩余：（人）， 则站着的总人数为：（人）． 8．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和以及“正方形数”可看成某个自然数的平方，依此规律逐一分析四个选项中的三个数是否符合该规律，由此即可得出结论． 【详解】解：A、9和16不是三角形数，该选项符合题意； B、， 该选项不符合题意； C、， 该选项不符合题意； D、； 该选项不符合题意． 9．“勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（     ） A．512 B．1023 C．2047 D．2048 【答案】B 【分析】写出前3组图形对应的正方形数量，将数值改写为多个相乘再减的结构，总结出第个图形的计算式子，把代入式子算出数值，匹配对应选项． 【详解】解：第①个图形正方形个数：， 第②个图形正方形个数：， 第③个图形正方形个数：． 归纳规律：第个图形中正方形个数为个相乘再减去． ∴第⑨个图形正方形的个数． 10．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ， ∴第2026次计算输出的结果是. 2、 填空题 11．一个三位自然数，其各位数字互不相等且均不为0，百位数字比十位数字大2，我们称这个三位自然数为“兄弟数”，记．比如，各位数字互不相等且均不为0，百位数字4比十位数字2大2，所以427是“兄弟数”，．当“兄弟数”取最小值时，_________，若一个“兄弟数”，使恰为7的倍数，则满足题意的最大“兄弟数”是_________． 【答案】 【分析】根据“兄弟数”定义确定最小，再计算；求最大“兄弟数”时从最大百位开始验证，结合整除条件得到结果． 【详解】解：∵“兄弟数”要求各位数字互不相等且均不为0，百位数字比十位数字大2，即，求最小的“兄弟数”时，优先让百位最小， ∵不为0，即， ∴，得最小为，对应， 再取最小的个位，不为0，且不等于、，得最小， ∴最小的“兄弟数”，． 设，则，，且互不相等， ∴， ∴， ∵是7的倍数， ∴能被7整除，整理得能被7整除。 要找最大的“兄弟数”，优先让尽可能大，最大为，此时，代入得，要求能被7整除， 可得，即，下一个符合条件的超出个位数范围，舍去， 此时，互不相等且均不为0，满足所有条件，所以满足题意的最大“兄弟数”是． 12．（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 【答案】 【分析】观察图形，每增加1个八边形就增加7根小棒，据此规律解答即可． 【详解】解：摆n个八边形要用根小棒． 13．如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成如图图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，的值为 ________． 【答案】 【分析】根据图中的规律表示出，结合解题． 【详解】解：由图可知，，，，， 则可推出， ∴原式 ． 14．如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为____________． 【答案】22 【分析】观察可知，序号每增加1，黑色棋子的个数就增加3，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形中黑色棋子的个数为， 第2个图形中黑色棋子的个数为， 第3个图形中黑色棋子的个数为， ……， 以此类推，可知，第7个图形中黑色棋子的个数为． 15．按一定规律排列的数：，，，，⋯，以此规律排列，第7个数是___． 【答案】 【分析】先观察已知数中分子底数的变化规律，推导出第个数的表达式，再将代入计算即可． 【详解】解：观察已知排列的数：第个数：， 第个数：， 第个数：， 第个数：， 由此可得规律，第个数为， 当时，代入得：． 3、 解答题 16．【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： (1)当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是________； (2)当三角形的个数是时，所用的磁力棒的根数是________（用含的代数式表示）； (3)同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由； 探究二：立体图形 (4)创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等边三角形． 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 【答案】(1)11 (2) (3)解：不能，假设同一平面内拼4个等边三角形，代入（2）得到的规律得需要磁力棒：根， ∵ ， ∴同一平面内，6根磁力棒不能组成4个等边三角形； (4)用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形 【分析】（1）观察图形中三角形个数和磁力棒根数的对应关系，找到每增加1个三角形时磁力棒的增量规律，因为1个三角形对应3根，之后每多1个三角形多2根，所以可推导个三角形时的磁力棒根数表达式，代入即可得到对应根数； （2）根据观察图形的增量规律总结个三角形时的磁力棒根数表达式即可； （3）先根据第2问得到的平面下个三角形需要的磁力棒数量公式，代入得到所需磁力棒数量，再和6比较判断即可； （4）因为正四面体的棱和等边三角形面的数量是固定的，所以直接统计棱数即磁力棒根数，统计面数即等边三角形个数即可． 【详解】（1）解：观察图形可得： 1个等边三角形需要根磁力棒， 2个等边三角形需要根磁力棒， 3个等边三角形需要根磁力棒， ∴5个等边三角形需要根磁力棒； （2）解：根据上述规律，个等边三角形需要的磁力棒根数为 ； （3）略； （4）解：三棱锥的各面都是等边三角形，共有6条棱，4个面，每个面都是等边三角形， ∴一共用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形． 17．三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图1给出了七边形的三角剖分的两种方法。 (1)将一个四边形进行三角剖分，则有______种剖分方法； (2)在图2中给出五边形的三角剖分的一种方法； (3)瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式：当时，，其中规定．请根据公式，计算七边形的三角剖分方法数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意画出四边形的不同三角剖分方法数； （2）根据题意画出五边形的三角剖分的一种方法； （3）根据公式进行计算即可求解． 【详解】（1）如图， 将一个四边形进行三角剖分，则有种剖分方法； （2）略 （3）由题意得，， ∵ 时，， 时，， ∴， 时，， ∴， 时，， ∴， 时，， ∴． 18．利用Excel表格功能可以进行同一公式计算，如图，是表格设置运算的一部分，如：第一行表示的算式及显示的结果为：，依据运算规则，解决下列问题． (1)求第二行运算的结果； (2)若第三行的运算结果为最大的负整数，求“”处显示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据第一行的运算示例，总结出通用运算规则：每行的运算为对应行A列数加B列数的和，乘以C列数，再减去D列数，提取第二行A、B、C、D列的数值，代入上述通用运算式，按照有理数混合运算法则计算即可； （2）先确定最大的负整数是，将第三行已知的A、B、D列数值和运算结果代入通用运算式，求出“☆”代表的数即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵最大的负整数为， ，解得． 19．已知下列等式：①；②；③，… (1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； (2)请你找出规律，写出第n个式子 ． (3)利用（2）中发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前三个式子的特点，写出第④个式子即可； （2）根据前三个式子的特点，找出规律，进行作答即可； （3）用规律表示出相应的数字，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，可得：第④个式子为； 故答案为：； （2）解：①第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； ∴第n个式子：； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． 20．计算： 【答案】885 【分析】先用倒序相加法化简，(n为正整数且)，再取，3，4，5，…，60得到，，，，…对应的值，所得结果再用倒序相加法计算即可． 【详解】设(n为正整数且)，则， ∴ ∴ 故 设，则， ∴ ∴， 即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $