专题1 一无二次方程的解法-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（人教版·新教材）

救：的值为-子或1 5.(1)证明：x2-(m+4)x+3m+3=0, .a=1,b=-(m+4),c=3m+3, .△=b2-4ac=[-(m+4)]2-4(3m+3)=m2-4m+4= (m-2)2≥0， .不论m取何值，方程总有两个实数根。 (2)解：由(1)得4=(m-2)2, 由一元二次方程的求根公式， 得x=m+4±(m-2) 2 名=m+4+m-2 2 m+1,2=m+4-m-22=3, 2 .不论m取何值，方程有一根为定值，定值为3， 【能力提升综合练】 6.C7.D8.- 2 9.x1=1+3,2=1-3 3 2 10.解：(1)x=2=3 。(2)方程无实数根. (3)x1=x2=-2.(4)y1=2+2,y2=2-2 (5)x1=1+=1-而 2,x2= 2 11.解：(1).：已知方程是关于x的一元二次方程， ∴.m-1≠0，即m≠1. .a=m-1,b=-2m,c=m+1, ∴.b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4>0, ..x= 2m±v4-m±1 2(m-1)m-11=1,2=千1 2 (2)由(1)知名=1，名=m+1=m+2三1+二 m-1= m-1 ·方程的两个根都为正整数， m二1是正整数 2 又：m为整数， ∴.m-1=1或m-1=2,解得m=2或m=3, ∴.当m=2或m=3时，该方程的两个根都为正整数. 【素养探究创新练】 12.(1)证明：因为4=[-(m+1)]2-4×2(m-1)=m2- 6m+9=(m-3)2≥0， 所以无论m取何值，方程总有实数根。 (2)解：①若腰长为4，则x=4是原方程的根。 将x=4代人原方程， 得16-4(m+1)+2(m-1)=0,懈得m=5, 所以原方程为x2-6x+8=0, 解得1=2,2=4， 此时三角形另外两边的长分别为4和2. ②若底边长为4，则原方程有两个相等的实数根， 所以4=(m-3)2=0,所以m=3, 所以原方程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2。 由于2+2=4，不符合三角形的三边关系，所以此种情况 不存在. 综上，三角形另外两边的长分别为4和2 25.2.3因式分解法 【知识要点分类练】 1.D2.B3.C4.11 5.解：(1)x(x+55)=0,x=0或x+55=0, 参考答案及解析 1=0,2=-5V5. (2)(3y-4+y)(3y-4-y)=0, .3y-4+y=0或3y-4-y=0, y1=1,y3=2. (3)x2-2x+1=0,(x-1)2=0,.x1=x2=1. (4)(3x+1)(3x+1+1)=0,(3x+1)(3x+2)=0, .3x+1=0或3x+2=0, 1 2 小名=-3为=-3 6.D7.(1)直接开平方(2)配方(3)因式分解 8.解：(1)用直接开平方法，1=12，x2=0. 92=35-2四 (2)用公式法，1-35：2 8 8 (3)用配方法，m1=13,m2=-7. 2 (4)用因式分解法，x1=-3,=3 【能力提升综合练】 9.C10.C11.A 12.2或-号13.-1或414.6 15.解：(1)方程x2-mx+m+1=0的一个根为x=2, .22-2m+m+1=0, ∴.m=5, .一元二次方程为x2-5x+6=0, 解得x=2或x=3, ,m=5,方程的另一根为x=3. (2)当等腰三角形的三边长为2,2,3时，周长为7；当等腰 三角形的三边长为2,3,3时，周长为8. 【素养探究创新练】 16.解：(1)方程x2-x-20=0不是“隔根方程”。 理由如下：x2-x-20=(x-5)(x+4)=0, x-5=0或x+4=0,解得x1=5,x2=-4. 5-（-4)=9≠2， ∴方程x2-x-20=0不是“隔根方程”. (2)x2+(m-1)x-m=0,(x+m)(x-1)=0, x+m=0或x-1=0,解得x1=-m,2=1. 当-m=1+2时，解得m=-3; 当-m+2=1时，解得m=1. 综上所述，m的值为-3或1. 微专题2用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 1.解：(1)(x-4)(x+3)=0,.x-4=0或x+3=0, 名1=4，x=-3. (2)(2x-3)(x+2)=0,∴.2x-3=0或x+2=0, 3 六为=2为=-2. (3)方程4x2-8x-5=0可分解为(2x-5)(2x+1)=0, 2x-5=0或2x+1=0,名=3名=-7 专题1一元二次方程的解法 1.解：(1)=号6=-号(2)m=52=-3. 2.解：(1)x1=1+5,x2=1-√5. 2=-1+9=-1- 2 3.解：(1)x(2x+1)-3(2x+1)=0,(2x+1)(x-3)=0, ·3… 全程导练·九年级数学（上册） 2x+1=0或-3=0，%=-7=3. (2)(3x+x-1)(3x-x+1)=0,(4x-1)(2x+1)=0, 4x-1=0或2x+1=0, 1 六刘=4次=2 4.解：(1)a=1,b=-25,c=1, .4=b2-4ac=(-25)2-4×1×1=8>0, ∴.方程有两个不相等的实数根， x25,±8=5±2， 2 1=5+2,x2=5-√2. (2)原方程可化为3x2+2x-3=0. a=3,b=2,c=-3, .4=62-4ac=22-4×3×(-3)=40>0, .方程有两个不相等的实数根， x=-2±40=-1±10 2×3 3 名=1+0 3 ,9=1-0 3 5.解：(1)x1=4,x2=-2.(2)y1=2,y2=4. (3)x1=2+√/13,2=2-√13. 1 (4)x1=23=2. 6.解：①当x-2≥0，即x≥2时，原方程化为x2-2(x-2)-4 =0,即x2-2x=0,解得x1=0,2=2. x≥2，x1=0舍去，x=2; ②当x-2<0,即x<2时，原方程化为x2-2(2-x)-4=0, 即x2+2x-8=0,解得1=2，x2=-4. x<2,x1=2舍去，x=-4. 综上所述，原方程的解是x1=2,2=-4. 7.解：(1)设x2=y,则原方程化为y2-y-6=0, 解得y1=3,y2=-2. 当y=3时，x2=3,x=±5； 当y=-2时，x2=-2,无实数解， ∴原方程的解为1=5,2=-√5. (2)设x2-2x=y,则原方程化为y2-5y-6=0, 解得y1=6,y2=-1. 当y=6时，x2-2x=6,解得x1=1+万，x2=1-√万； 当y=-1时，x2-2x=-1,解得3=x4=1. 综上所述，原方程的解为x1=1+√7， 2=1-7,x3=x4=1. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 【知识要点分类练】 1.A2.C3.-1 4.解：(1)x1+为2=-4，x12=-6. 5 (2)x+2=3为=-3 （3)方程转化为4-7+1=0，+=子=子 1 (④)方程转化为32+3-5=0,1+=-1,1=-号 5.B6.B7.A8.C9.-1 ·4· 10.解：x1,x2是方程x2-3x-5=0的两个根，x1+2=3, 1·2=-5. (1)x好+号=(x1+x2)2-2x1x2=32+2×5=19. (2)1+1=4+9=-3 x1x2x1·x2 51 (3)2+4号+6_✉+)2-2。-19 1x2x1·x2 1·2 5 (4)(x1-2)2=x好+x好-2x1x2=19+10=29. 【能力提升综合练】 11.B12.B13.7 14.(1)证明：a=1,b=-2,c=-3m2, ∴.4=(-2)2-4×1×(-3m2)=4+12m2>0, .方程总有两个不相等的实数根 2)解由照意，日5解得份 lB=3. 6=-3m2,-3m2=-3,.m=±1. 15.解：(1)△ABC是以BC为斜边的直角三角形， BC=5,AB2+AC2=25. :AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+ k2+3k+2=0的两个实数根， ..AB+AC=2k+3,AB.AC=k2+3k+2, .AB2 +AC2=(AB +AC)2-2AB.AC, 即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25, 解得k=2或-5（不符合题意，舍去）， ·当k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形 (2):△ABC是等腰三角形， .当AB=AC时，△=b2-4ac=0, .(2k+3)2-4(k2+3k+2)=0, 无解，k不存在； 当AB=BC时，即AB=5, .5+AC=2k+3,5AC=2+3k+2, 解得k=3或4， ∴.AC=4或6， .△ABC的周长为14或16. 【素养探究创新练】 16.解：(1)2 (2)3m2-m-2=0,3n2-n-2=0,m≠n, ∴.m,n可看作方程3x2-x-2=0的两个不相等的实 数根， 心m+n=-b 2 ,飞+m_2+m2_（m+n)2-2m_ m n mn mn 3 (3)p+q=t-5,9=5- 16 p9可看作方程2-(1-5)+拍。0的两个实数根。 4=8-4ac=[-4-5012-4x1×写，0 t<5,5-t>0,.(t-5)2(5-t)-64≥0， 即(5-t)3≥64，.5-t≥4，.t≤1，∴.t的最大值为1.第二十五章一元二次方程 专题1一元二次方程的解法 [答案P3] 类型1直接开平方法 类型4公式法 1.用直接开平方法解下列方程： 4.用公式法解下列方程： (1)81x2-25=0; (1)x2-23x+1=0; (2)(3y-3)2-144=0. 2l22- 3 类型2配方法 2.用配方法解下列方程： (1)x2-2x-2=0; 类型5用适当的方法解一元二次方程 5.解下列方程： (1)2(x-1)2-18=0; (2)2x2+4x-3=0. (2)y2-6y+8=0; 类型3因式分解法 3.用因式分解法解下列方程： (1)x(2x+1)=3(2x+1); (3)x2-4x=9: (2)9x2-(x-1)2=0. (4)2x2-5x+2=0. 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园自自 13 全程导练·九年级数学（上册） 类型6解含绝对值的一元二次方程 类型刀用换元法解方程 6.阅读理解以下内容，并解决问题： 7.阅读材料，解答问题 解方程：x2+|x|-2=0. 解方程：(4x-1)2-10(4x-1)+24=0. 解：①当x≥0时，原方程化为x2+x-2=0, 解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y, 解得x1=1,x2=-2. 则原方程化为y2-10y+24=0, .x≥0，∴.x=1; 解得y1=6,y2=4, ②当x<0时，原方程化为x2-x-2=0, .4x-1=6或4x-1=4, 解得x1=2,x2=-1. x<0,.x=-1. 综上所述，原方程的解是x1=1,x2=-1. 以上方法就叫作“换元法”，达到简化或降次的目 依照上述解法，解方程：x2-21x-21-4=0. 的，体现了转化的思想 请仿照材料解下列方程： (1)x4-x2-6=0; (2)(x2-2x)2-5x2+10x-6=0. 14 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园自