第4章投影与视图综合测试-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

九年级数学·北师版·上册 中春123 第四章综合测试 全程导练 满分：120分 n 题 号 三 总分 得 分 装 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的)》 1.下列各种现象不属于中心投影的是 A.皮影戏中的影子 B.晚上在房间内墙上的手影 C.都市霓虹灯形成的影子 D.阳光下沙滩上人的影子 线2.如图是一个几何体的主视图，则该几何体是 △ 内 2题图 B C D 3.如图，一个几何体由6个完全相同的小立方块组成，它的主视图是 ( 正面 3题图 B D 4.在下列选项中，可以表示两棵树在同一时刻月光下影子的图形是 要 多 答 5.如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式.图② 的左视图是 ( 题 正面 5题图① 5题图② A D 6.如图，一个球在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球与长 方体的组合图形的三种视图中始终不变的是 ( A.左视图 B.主视图 C.俯视图 D.左视图和俯视图 影 光源 墙壁 6题图 7题图① 7题图② 7.手影游戏利用的物理原理是光是沿直线传播的，图①中的小狗手影就是 我们小时候常玩的游戏.在一次手影游戏中，小明的手距离墙壁2米，爸 爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图②所示，若在光源不动的情况 下，要使小狗手影的长度增加一倍，则小明手与光源的距离应() A.增加1米B.减少1米 C.增加2米 D.减少2米 8.曾有一个娱乐节目，选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿 墙而过，否则会被推入水池.类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个 不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞（如图所示），则该几何体 为 8题图 4 9.如图，小明家的客厅有一张高0.8m的圆桌，直径 BC为1m,在距地面2m的A处有一盏灯，圆桌的 影子最外侧两点分别为D,E,依据题意建立如图 D 所示的平面直角坐标系，其中点D的坐标为 2 9题图 (2,0),则点E的坐标是 ( ) 传 B.(3,0) C.(3.6,0) D.(4,0) 10.甲、乙两人在如图所示的平行四边形空地ABCD进行跑 步比赛，两人同时从点B出发，沿着平行四边形ABCD边 缘领时针跑步，日甲的速度是乙的速度的2俘当甲到达》 点E,乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在 同一条直线上，此时，点B处一根竖立的竹笔的影子（大” 阳光照射)刚好在对角线BD上，则CE的长为 (）10题图 A.4m B.8 m C.12m D.16m 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.谜语是以隐射事物或文字供人猜测的传统语言艺术形式，古时称“廋 辞(suci)”或“隐语”.谜语“正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈， 中间是一点”的谜底是 .（打一几何体) 12.广场上，一个大型字母宣传牌垂直于地面放置，其投影如图所示，则 该投影属于 (填“平行投影”或“中心投影”) 子品8 主视图 左视图 © ©©O 俯视图 12题图 13题图 13.若干桶方便面摆放在桌子上，如图所示的是它的三种视图，则这一堆 方便面共有 桶 9 14.同一时刻，身高1.72m的小明在太阳光下的影长为0.86m,小宝在 太阳光下的影长为0.64m,则小宝的身高为 m. 15.一透明的敞口正方体容器内装有一些液体，棱AB始终在水平桌面 上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE=α，如图①所示），此时液面刚好 过棱CD,并与棱BB交于点Q,液体的形状为直三棱柱，其三种视图 及尺寸如图②所示，当正方体容器平放（正方形ABCD在桌面上）时， 液体的深度是 dm C主视图Q左视图 C 5 dm 4 dm 俯视图 15题图① 15题图② 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或 推理过程) 16.(10分)如图，AB是公园的一圆形桌面的主视图，MW表示该桌面在 路灯O下的影子，CD是一个圆形凳面的主视图. (1)请你在图中标出路灯0的位置，并画出CD的影子PQ(要求保留 画图痕迹，光线用虚线表示)； (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m,测得MN为2m,求 路灯O与地面的距离. A B CTD M N 16题图 17.(8分)请画出如图所示的几何体的三种视图 正面 17题图 18.(8分)如图，这是由几个小立方块组成的几何体的俯视图.小正方形 中的数表示在该位置的小立方块的个数.请画出这个几何体的主视 图和左视图，并用阴影表示出来， 23 421 1 俯视图 主视图 左视图 18题图 19.(8分)如图所示是一个几何体的三种视图（单位：cm). (1)说明组成该几何体的两部分分别是什么几何体； (2)求该几何体的体积（结果保留π）. 29 主 126 左 视 图 30 图 俯 视 26 图 40* 19题图 20.(8分)如图是在一个棱长为3cm的正方体中间挖掉一个底面直径为 1cm的圆柱形成的几何体. (1)请画出这个几何体的三种视图： (2)求该几何体的表面积 正面 20题图 21.(8分)如图，是由一些大小相等的小立方块组合成的简单立体图形， 其中每个小立方块的棱长均为1. (1)图中共有小立方块 个，表面积为 (2)请画出该立体图形的三种视图； (3)若要使主视图与俯视图不变，则最多还可添加几个小立方块？ 主视图 左视图 俯视图 21题图 22.（12分)甲、乙两栋楼的位置如图所示，已知甲楼AB高16m. (1)如图①，当中午12：00时，物高与影长的比是1：√2，此时甲楼的影 子刚好不落到乙楼上，则两楼间距BD的长为 m; (2)如图②，当下午14：00时，物高与影长的比是1：2，此时甲楼的影 子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子DE的长. C 甲 F E B B 22题图① 22题图② -10 23.(13分)综合与实践 通常，路灯、台灯、手电筒等发出的光可以看成是从一个点发出的，在 点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影 【画图操作】如图①，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第 一根、第二根旗杆在同一灯光下的投影如图所示.请在图中画出光源 的位置及第三根旗杆在该灯光下的投影（不写画法）； 23题图① 【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走 到点B,他在路灯下的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变 化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为 6c A 23题图② 0 0 0 0 B C 【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆AB,在灯光下，小明在点D处测 得自己的影长DF=3m,沿BD方向前进到达点F处，测得自己的影 长FG=4m.已知小明的身高为1.6m,求灯杆AB的高度 GF D 23题图③由同角的余角相等，得∠BAP=∠ADP,∴.∠BEQ=∠BAP. 17.解：如答图. r∠EBQ=∠ABP, 在△BEO和△BAP中，BE=BA, L∠BEQ=∠BAP .△BEQ≌△BAP(ASA),.PA=QE,QB=PB, ∴.△PBQ是等腰直角三角形，∴.结合勾股定理易得PQ=√2PB, 主视图 左视图 PE-PA_PE-QE-PO=2. PB PB PB 23.【问题初探】解：设AB=1,AC=x,则BC=1-x. :点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC). 侣-C即子1解得-5（负值已会去） 俯视图 主视图 左视图 17题答图 18题答图 1 18.解：如答图. 即黄金比为5-1 B 19.解：(1)下面的是长方体，上面的是圆柱 2 D (2)这个几何体的体积为30×40×26+T×(20÷2)2×26= 【问题再探】解：如答图，点E即为AC的 (31200+2600T)cm. 黄金分割点， A E C 20.解：(1)三种视图如答图 知识迁移】证明：，四边形ACDE是正 方形，四边形CBFD是矩形，.∠EAB= 23题答图 (2)该几何体的表面积为3×3×6-2m×(2)+m×1×3 ∠BCD=90°，AC=CD=AE=DE=BF,BC=DF 点C为线段AB的黄金分割点， =54+5 πcm2. 怨-0-△EB一ABCD 【延伸拓展】证明：.五边形ABCDE是正五边形， ∴.∠BAE=∠AED=(5-2)×180°÷5=108°，AB=AE=DE, ∴.∠ABE=∠AEM=∠DAE=∠ADE=(180°-108°)÷2=36°. .:∠DAE=∠DAE,∠ADE=∠AEM=36 主视图 左视图 .△AME△AED,∴.AE:AD=AM:AE,∴AE2=AD·AM. 主视图 左视图 .·∠BED=∠AED-∠AEM=72° .∠DME=180°-72°-36°=72o ∴.∠DME=∠DEM,AE=DE=DM, .DM2=AD·AM,.点M是AD的黄金分割点， 第四章综合测试 俯视图 俯视图 20题答图 21题答图 1.D2.C3.B4.D5.A6.A7.D8.A9.A 21.解：(1)1038 1O.B[解析]如答图，连接EF.·四边形ABCD (2)该立体图形的三种视图如答图所示. 为平行四边形，∴.AD=BC=40m.,当甲到达 (3)若要使主视图与俯视图不变，则最多还可添加3个小立 点E,乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照 方块.即由前向后在第1行第1列添加2个小立方块，在第2 射)刚好在同一条直线上，此时，点B处一根 行第1列添加1个小立方块 竖立的竹竿的影子（太阳光照射）刚好在对角 22.解：(1)162 线BD上，∴.EF∥BD,∴.易得△CEF∽△CDB, (2)如答图，设FE⊥AB于点F,那么在Rt△AEF中，∠AFE 小侣器两人同时从成B出发，活清竿凸 行四边形ABCD边缘顺时针跑步，且甲的速度10题答图 =90°，BEF=BD=16,2m物高与影长的比是1：2， EF 是乙的速度的2倍，.BC+CE=2BF,.40+CE=2BF, 分，则AP=乃EF=8万m,故DB=PB=(16-82)m,落 ·BF=2(40+CE)=20+2CE,CF=BC-BF=40- 在乙楼上的影子DE的长为(16-82)m. (m+9)0-6s, 20-20B 20 40-,CE=8m 故选B. 11.圆锥12.中心投影13.614.1.28 15.1.5[解析]由三种视图可知CQ=5dm,正方体容器的棱 长AB=BC=4dm,.BQ=√CQ-BC=√52-4= B MN 22题答图 23题答图 3(dm),液体的体积为2×3×4×4=24(dm),.当正方 23.解：【画图操作】光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的投 影如答图所示，点P为光源，MN为影长. 体容器平放时，液体的深度是24÷(4×4)=1.5(dm). 【数学思考】D 16.解：(1)如答图. 【解决问题小CD∥EF∥AB, （2)如答图，作OF⊥MN,垂足为F, OF交AB于点E. △CDF∽△ABF,△ABG△EFG,CP=DE,E=G5 AB BF'AB GB .·AB∥MN,.∴.△OAB∽△OMN AB OE ·MNOF B 又m=8-8品 DF=3 m,FG=4 m,BF =BD+DF=(BD +3)m, .AB=1.2m,EF=1.2m, BG=BD+DF+FG=(BD +7)m, MN=2 m, N 3 4 号.0r02解得0r=3n 16题答图 21 BD+3=BD+7BD=9m,BF=9+3=12(m）, 答：路灯0与地面的距离为3m :16 2,解得AB=6.4m,灯杆AB的高度为6.4m 第五章综合测试 如答图，连接BC交直线l于点P,连接PA: 1.D2.C3.A4.B5.D6.B7.C8.B9.D PA =PB,..PA +PC=PB+PC, 10.D[解析]·抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴 ∴当P,B,C三点共线时PA+PC的值最小 在y轴右侧，a<0,b>0,c>0,.<0,故①错误抛物 设直线BC的函数表达式为y=kx+b(k≠0)， 线y=ax2+bx+c经过点(-2,0)，(3,0)，.对称轴为直线x 把c0,5),5.0)代人，得6-0，解得伦5， 1b=5, 2,即-6n=26=-a,心a=-6.把(-2,0)代入》 .直线BC的函数表达式为y=-x+5. 当x=2时，y=-x+5=3,点P的坐标为(2,3). =ax2+bx+c,得4a-2b+c=0,.-4b-2b+c=0,.c= 21.解：(1)由题意得，抛物线的顶点坐标为(12,7)， 6b,故②错误；抛物线开口向下，越靠近对称轴的点的 .∴.可设抛物线的表达式为y=a(x-12)2+7(a≠0). 纵坐标越大，∴.y2<y1<y3,故③正确；：a=-b,c=6b,.方 程cx2+bx+a=0可变成6bx2+bx-b=0,即6x2+x-1=0, 又：抛物线过点C(0,1),14a+7=1,a=-24, 解得=-子=行，故④错误故选D. 揽物线的表达式为y=六(x-12)2+7. 11.212.313.814.1915.2 1 16.解：(1)把点(3,3)代入y=x2-2ax+1-a,解得a=1, (2)当x=18时，y=-24×6+7=5.5<2.6+3=5.6, ∴.二次函数表达式是y=x2-2x=(x-1)2-1, ·水流不能浇灌到小树后面的草地. ∴.抛物线的顶点坐标为(1，-1). 22.解：(1)1-4 （2)当二次函数图象与坐标轴有两个交点时，抛物线顶点在 (2)函数图象如答图. x轴上或者抛物线经过原点. y ①抛物线顶点在x轴上，即抛物线与x轴有唯一交点， ∴对于方程x2-2ax+1-a=0,△=（-2a)2-4(1-a)=0, 解得a=-1±⑤ 2 2 ②抛物线经过原点，即1-a=0,解得a=1. 当a=1时，对于方程x2-2x=0,4=4>0,满足题意. -5-4-3-2-1 综上所述，a的值为5或25或1 --2 3 (3)A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=x2-2ax+1-a图象上 --1-5f--1 的两个点，y1=x号-2ax1+1-a,y2=x号-2ax2+1-a, 22题答图 .y1+y2=x号+x号-2a(x1+x2)+2-2a. (3)由图象可得函数图象对称轴为y轴；函数最小值为-4. x1+x2=-1,.2=-1-x1, (答案不唯一) .y1+y2=x7+(-1-x1)2+2a-2a+2=2x+2x1+3 (4)①2②x<-3或x>5 55 =24+2)+2≥2 23.解：(1)二次函数y=ax2+bx-3经过点A(-3,0), ·A,B是函数图象上两个不同的点， 1,0030解得8子： 两%夹-分方+>3 .二次函数的表达式为y=x2+2x-3. (2)设直线AE的函数表达式为y=x+t(k≠0)， 17.解：(1)将A(-1,0)和B(3,0)代入y1=ax2-2x+c, 直线过点A(-3,0),E(0,1), 得892，第得{8山) 「-3k+t=0,解 k=3’ 1 1c=-3, .抛物线的表达式为y=x2-2x-3. lt=1, lt=1, (2)当y=5时，x2-2x-3=5,解得x=-2或x=4. 1 点D在第一象限，.D(4,5) 直线AE的函数表达式为y=3x+1. 由题图得，当y2<y1时，x的取值范围是x<-1或x>4. 如答图，过点D作DG⊥x轴于点G,延长DG交AE于点F 18.解：(1)由题意，得BC=24-4x, .S=AB·BC=x(24-4x)=-4x2+24x. 设D(m,m2+2m-3),则Fm,3m+1 (2)S=-4x2+24x=-4(x-3)2+36, ∴.当x=3时，S有最大值，为36平方米， .DF= 3m+1-(m+2m-3)=-m- 3m 故32平方米不是最大面积， +4, B 19.解：(1)800 ∴.SAADE=SAAr+SADEF （2)设销售单价定为每千克x元， 由题意，得w=(x-8)[60+(20-x)×10]=-10x2+ =2Dfx(MG+00)=7×DFx3 1 23题答图 340x-2080=-10(x-17)2+810. (-m㎡-高+4到-引++9 31 512,169 -10<0,.当x=17时，0最大，wmx=810元 答：销售单价定为每千克17元时，每天销售该品种葡萄获得 的利润w最大，最大利润是810元. 当m= 名时，△10E的面积取得最大值为号 6 20.解：(1)把B(5,0)代入y=-x2+mx+5, 2 (3)存在.点P的坐标为(-1,6)或(-1，-√6)或(-1， 得-25+5m+5=0,解得m=4, -1)或(-1，-2)或(-1,4). ∴.抛物线的表达式为y=-x+4x+5 .·y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9, 第六章综合测试 1.A2.C3.C4.C5.C6.D7.D8.B9.B10.C ∴.抛物线的对称轴为x=2. 1.812日13214号152 1 (2)当y=0时，-x2+4x+5=0, 解得x=-1,x2=5,A(-1,0). 20题答图 当x=0时，y=-x2+4x+5=5,.C(0,5). 16.解：(1)P(从布袋中摸出一个球是红球)=8+16=3 81