第5节 二次函数及其性质讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦二次函数及其性质高考核心考点，依据课标要求构建“基础夯实-考点突破-分层练习”复习体系，涵盖定义、解析式、图象及单调性、最值等内容，通过知识梳理、重点汇总、基础测试及考点突破（典例+变式）环节，帮助学生系统建立知识联系，突破学习难点。 资料突出方法创新与素养培养，如“区间最值三步法”引导学生通过对称轴分析、分类讨论培养数学思维，设置基础测试、课后练习、拔高练习分层训练，配合思维点拨提升解题效率，助力学生快速掌握高考题型，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第5节 二次函数及其性质 课标要求： 1． 理解二次函数的图象和性质； 2． 能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 模块一：基础夯实与概念辨析 1、 知识梳理 1． 二次函数的定义 形如的函数，其中为常数，且． 2． 二次函数解析式的三种形式 （1） 一般式：（） 1 适用场景：已知图象上任意三点的坐标 （2） 顶点式：（） 1 顶点坐标： 2 适用场景：已知顶点坐标和图象上另一点 3 核心作用：直接获取顶点坐标、对称轴（）和最值（） （3） 交点式：（） 1 函数零点：为函数零点 2 适用场景：已知二次函数的两个零点和图象上另一个点 3 核心作用：直接获取函数零点、对称轴（） 3． 二次函数的图象和性质 函数 （） （） 图象 （抛物线） 定义域 值域 对称轴 顶点坐标 奇偶性 当时是偶函数，当时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 4． 系数的几何意义 （1） ：决定开口方向和大小．越大，开口越小；越小，开口越大； （2） ：与共同决定对称轴的位置 1 时，对称轴为轴 2 同号时，对称轴在轴左侧 3 异号时，对称轴在轴右侧 （3） ：决定抛物线与轴的交点位置，交点为 二、重点汇总 1．常用结论 （1）特殊点的函数值（常用于参数范围的判断） 1　 时， 2　 时， 3　 时， 4　 时， （2） 奇偶性：二次函数为偶函数的充要条件是（对称轴为轴），二次函数不可能是奇函数； （3） 二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关； （4） 二次函数（），当且时，恒成立；当且时，恒成立． 2．易错提醒 （1）忽略二次项系数（）：含参数二次函数题目，必须先讨论（退化为一次函数）与两种情况； （2）混淆对称轴公式：对称轴是，容易漏掉负号和分母中的； （3）单调区间书写错误：二次函数的单调增区间和减区间应分开书写，不能用并集符号“∪”连接； （4）区间最值直接代顶点：对称轴不在给定区间内时，不能取顶点为最值，只能取区间端点． 三、基础测试 1．请判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． （1）二次函数的对称轴是．（　　） （2）若二次函数的图象顶点在轴上，则．（　　） （3）二次函数的对称轴为，顶点为．（　　） （4）若二次函数两点函数值相等，则两点横坐标之和等于对称轴两倍．（　　） （5）若二次函数的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．（　　） （6）二次函数（）的最值一定是．（　　） 2．对于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．在区间上单调递减 3．函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数顶点为，且过点，则函数解析式为（　　） A． B． C． D． 5．二次函数的对称轴为，则_________． 6．函数的最大值为_________． 模块二：考点突破与题型演练 考点一 二次函数的解析式 【考法分析】给出顶点、零点、三点坐标、最值、对称等条件，求函数解析式，是基础必考题型，三种解析式灵活选用． 【典例1】已知二次函数的对称轴为，最大值为，且图象过原点，则_________． 【变式1】已知二次函数的图象过，且顶点距轴的距离等于，则二次函数的解析式为_________． 【思维点拨】求二次函数的解析式时的选择规律： （1） 已知三点求解析式：选择一般式，列方程求解 （2） 已知顶点坐标、对称轴、最大（小）值：选择顶点式 （3） 已知与轴的交点坐标：选择交点式 考点二 二次函数的图象 【考法分析】主要考查根据解析式判断图象特征（开口、对称轴、顶点、最值）或根据图象特征确定解析式中的参数． 【典例2】（1）已知二次函数，若，且，则的图象可能是（　　） A． B． C. D． （2）已知二次函数（）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（1）已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C. D． （2）【多选】二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】在分析二次函数的图象与参数的关系时，一般注意以下几点： （1）看开口：由的正负决定； （2）看对称轴：由决定，结合“左同右异”判断符号关系； （3）找交点：与轴交点为；与轴的交点个数可以判断的正负； （4）用特殊点的函数值：常用的有等． 考点三 二次函数的单调性 【考法分析】二次函数的单调性考查方式一般有两种：求单调区间和根据区间上的单调性求参数． 【典例3】（1）已知二次函数的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为（　　） A． B． C． D． （2）二次函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________． 【变式3】（1）函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． （2） 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_________． 【思维点拨】求二次函数的单调性问题，注意以下几点： （1） 根据开口方向和对称轴判断二次函数的单调性； （2） 当二次项的系数为参数时，需要考虑参数为零，变成一次函数的问题； （3） 含绝对值的分段二次函数：先去绝对值写成分段函数，分别求每段的对称轴与单调性，再整合出整体递增区间． 考点四 二次函数的最值 【考法分析】核心重难点，分三类题型，必须结合图象判断对称轴与区间位置关系，分类讨论． 【典例4】（1）函数在区间上的最小值为_________． （2）二次函数在区间上的最小值为_________． （3）函数在区间上的最小值为_________． 【变式4】（1）已知函数在上有最大值，最小值，则实数的取值范围为_________． （2）若函数在区间上的最大值为，则_________． （3）若函数在区间上的值域为，则的最大值为_________． 【思维点拨】区间最值三步法： （1）求对称轴，判断开口方向； （2）分三类：对称轴在区间左、区间内、区间右； （3）分别计算每类情况下顶点 / 端点函数值，确定最值； 关键：动轴、动区间必须分类讨论，不能直接代顶点． 课后练习 1、 单选题 1． 设函数，若，则（　　） A． B． C． D． 2． 已知函数，且，则（　　） A． B． C． D． 3． 设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．“函数（）在区间上单调递增”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数在区间上单调，则实数一定不可能为（　　） A． B． C． D． 6．已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知函数在上的最大值为，则实数的值为（　　） A． B．或 C．或 D．或 8．设且，函数，，若，则下列说法正确的是（　　） A．的最大值为 B．的最小值为 C． D． 2、 多选题 9．设，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．如图，二次函数的图象与轴交于两点，，其中，下列四个结论正确的是（　　） A. B． C． D． 11．已知二次函数，以及区间，下列说法正确的是（　　） A．的对称轴为直线，函数在上单调递减，上单调递增 B．若区间内函数最小值为，则实数的取值范围是 C．当时，在区间上，函数最大值在处取得 D．若区间上函数的最大值为，则仅存在个实数符合条件 3、 填空题 12．已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 13．函数的单调递增区间是_________． 14．当时，二次函数的最大值为，则_________． 4、 解答题 15． 根据下列条件，求二次函数的解析式． （1） 图象经过点，，； （2） 当时，函数有最小值，且经过点． 16． 已知二次函数，且． （1） 若函数的图象关于直线对称，求的解析式； （2） 若函数在上单调，求的取值范围． 17． 已知函数． （1） 若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； （2） 若函数在区间上的最大值为，求实数的值． 18． 已知二次函数满足，． （1） 求的解析式； （2） 若在上没有最大值，求实数的取值范围． 19． 已知函数满足当时，取得最大值，且． （1） 求的解析式； （2） 若，求函数的最大值． 拔高练习 1． 如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 2． 设，若函数在区间上单调递减，则的取值范围（　　） A． B． C． D． 3． 已知，若对于，均有成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4． 若函数关于对称，则其最小值为（　　） A． B． C． D． 5． 已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6． 已知二次函数的定义域为，若，，且函数的图象经过、不同两点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知函数，，记的最小值为，则的最大值为_________． 8．已知二次函数（）的值域为，则的最小值为_________． 9．设，．若存在使得在区间上的值域为，则的值为_________． 参考答案 三、基础测试 1．（1）× 【解析】二次函数的对称轴是． （2）√ 【解析】二次函数的图象顶点在轴上，所以对称轴是，所以． （3）× 【解析】二次函数的对称轴为，顶点为． （4）√ 【解析】二次函数两点函数值相等，则对应的横坐标关于对称轴对称，所以两点横坐标之和等于对称轴的两倍． （5）× 【解析】设二次函数的零点为，则函数解析式为，所以解析式与有关，不是确定的． （6）× 【解析】对称轴不一定在区间，内，所以最值不一定是． 2．C 【解析】，∴图象开口向下，选项A错误； 对称轴为，选项B错误； ，， ∴顶点坐标是，选项C正确； 对称轴是，图象开口向下， ∴函数在区间上单调递增，选项D错误． 3．B 【解析】对称轴为， ∴函数的单调递增区间为． 4．A 【解析】二次函数的顶点为， ∴设函数解析式为， ∵函数过点，即， ∴，∴函数解析式为． 5． 【解析】函数的对称轴为，∴． 6． 【解析】． 【典例1】 【解析】函数有最大值，则， 根据对称轴和最大值，设， 图象过原点，即，∴， ∴，∴． 【变式1】或 【解析】二次函数的图象过，， ∴对称轴为， 顶点距轴的距离等于， 可设二次函数解析式为或， 图象过，则或， ∴或， ∴二次函数的解析式为或． 【典例2】（1）A 【解析】，， ∴，即， ，即， ∴图象开口向下，与轴交点在轴上方，即选项A． （2）A 【解析】图象开口向下，∴， 由图象知，， 即，，选项A不正确； 图象对称轴为，∴， ∴，即，选项B正确； ∴，选项D正确； 由图象知，∴， ∴，选项C正确． 【变式2】（1）D 【解析】根据一次函数的图象，，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧，即选项D． （2）AB 【解析】由图象知，即，选项A正确； 图象与轴有两个交点，∴， ∴，选项B正确； 对称轴为，∴， ∴，∴，选项C错误； 由图象可知，，∴， ∴，即， ∴，选项D错误． 【典例3】（1）B 【解析】图象经过坐标原点， ∴，即，即， ∴，对称轴为， ∴函数的单调增区间为． （2） 【解析】函数在上单调递增， ∴对称轴，即，． 【变式3】（1）A 【解析】当时，， 单调递增区间为， 当时，， 定义域内无单调递增区间， ∴单调递增区间为． （2） 【解析】当时，，在区间上单调递增，符合题意， 当时，函数在区间上单调递增， ∴，，即， 综上，． 【典例4】（1） 【解析】对称轴为在区间内，∴． （2） 【解析】对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，． （3） 【解析】对称轴为， 当即时，， 当即时，， 当时，． 【变式4】（1） 【解析】对称轴为，， 函数的最小值为，∴， ，∴， ∴． （2）或 【解析】对称轴为， 当时，，∴， 当时，，无解， 当时，， 综上，或． （3） 【解析】对称轴为，， 函数在区间上的值域为， ∴对称轴在区间内，故， 方程的解为，， ∴，，∴的最大值为． 课后练习 1．D 【解析】，∴， ∴对称轴为，即，即． 2．B 【解析】对称轴为， 由得， ∴，即． 3．A 【解析】，∴对称轴不是轴，排除第一、二个图， 剩下的两个图对称轴在轴右侧，则异号，∴， ∴图象是第四个图，∴，即，∴． 4．B 【解析】时函数在区间上单调递增， ∴“函数（）在区间上单调递增”是“”的必要不充分条件． 5．D 【解析】， ∴函数在和上单调递增，在上单调递减， 函数在区间上单调，则或， ∴或，∴不可能是． 6．B 【解析】对称轴为，在区间内， ∴，， ∴在区间上的值域为， （）在区间上的值域为， 根据题目条件，， ∴，∴． 7．D 【解析】若，则，最大值为，∴， ∴函数为二次函数，对称轴为，在区间内， 若，则，∴， 若，则，∴， 综上，的值为或． 8．D 【解析】，∴， 由，∴， ∴，∴，∴， 带入得，， ∴， 不知正负，二次函数的开口方向不确定， ∴不确定有最大值或最小值，选项A、B错误； ，， ， ∴选项C错误，选项D正确． 9．AD 【解析】对于选项A，图象开口向下，∴， 对称轴在轴左侧，∴同号，∴， 又，∴，∴，符合题意； 对于选项B，图象开口向下，∴， 对称轴在轴右侧，∴异号，∴， 又，∴，∴，不符合题意； 对于选项C，图象开口向上，∴， 对称轴在轴左侧，∴同号，∴， 又，∴，∴，不符合题意； 对于选项D，图象开口向上，∴， 对称轴在轴右侧，∴异号，∴， 又，∴，∴，符合题意． 10．BCD 【解析】图象开口向上，∴， 对称轴在轴右侧，异号，∴， 又，∴，∴，选项A错误； ，即，选项B正确； ，∴， ，∴， 即，即，选项C正确； 对称轴，∴，∴， ，，∴， 当且仅当时取等号，∴等号不成立， ∴，选项D正确． 11．ABC 【解析】由二次函数的解析式可知，选项A正确； ，区间内函数最小值为， ∴对称轴在区间内，∴，∴，选项B正确； 二次函数在区间上单调递增，∴最大值在处取得，选项C正确； ，解得，， 当时，函数在上单调递减，∴最大值为， 当时，函数在上单调递增，∴最大值为， ∴有个实数满足条件，选项D错误． 12． 【解析】，∴对称轴为， 设函数解析式为， 带入和得： ，， ∴． 13．和 【解析】当时，，单调递增区间为， 当时，，单调递增区间为． 14． 【解析】对称轴为， 当，即时，，∴， 当，即时，，∴，矛盾， ∴． 15．解：（1）设解析式为， 图象经过，，， ∴，∴， ∴解析式为． （2）当时，函数有最小值，则顶点为，开口向上， 设解析式为， 图象经过，∴， ∴，∴解析式为． 16．解：（1），∴， 图象关于直线对称，∴， ∴，，∴解析式为． （2），∴， ∴， ∴对称轴为， 函数在区间上单调，∴或， 解得：或， ∴的取值范围是． 17．解：（1）函数对称轴为， 函数在区间上不单调，∴， ∴． （2）若即，则，∴， 若即，则，∴，舍去， ∴实数的值为． 18．解：（1）设， ，∴，， ， ∴， ∴，∴，， ∴． （2），对称轴为， 函数在上没有最大值，则， ∴． 19．解：（1）当时，函数最大值为， ∴函数顶点为，设函数解析式为， ，则，∴， ∴． （2）当即时， ， 当时，， 当即时， ， ∴． 拔高练习 1．D 【解析】设点在函数上，则点在函数的图象上， ∴，∴． 2．D 【解析】的对称轴为， ， 当即时，， 此时， 在区间上单调递减，则， 故此时，； 当时，令， 可以得到， 当时，， ，∴在区间上单调递增， ，故此时不符合题意； 同理，当时，在区间上单调递减， ，解得， 综上，的取值范围是． 3．B 【解析】根据题意，在区间上的最小值大于等于在区间上的最大值, 函数的对称轴为， 要满足条件，分两种可能性， ①在递减区间上，即，即； ②对称轴在区间内，此时只需满足：， 即且， 即， 综上，． 4．B 【解析】则，， 关于对称，则的解为，， ∴，，∴， 令，则，带入可得： ​ ， 令（），则， 函数开口向上，对称轴为，， ∴函数的最小值为． 5．A 【解析】设，易得在上递减，在上递增，且有两个零点和． 因可由保持轴上方部分并将轴下方部分沿轴翻折得到，如上图，在上递减，在上递增，在上递减，在上递增． ① 当时，在的最大值， 在的最大值为，，矛盾； ② 当时，在的最大值， 在的最大值为，，矛盾； ③ 当时，在的最大值， 在的最大值为，，矛盾； ④ 当时，在的最大值，因， 在单调递增，最大值，，，矛盾； ⑤ 当时，在的最大值， ∵，∴，由图可知，此时只需令即可， 解得或，所以． 综上所述，的取值范围是． 6．D 【解析】已知二次函数的定义域为，且， ∴函数的图象关于直线对称，设，其中， 由可得，∴， 函数的图象经过、不同两点， ∴，且有， 得， ∵，∴，可得或， 综上，实数的取值范围是． 7． 【解析】二次函数的对称轴为， 当，即时， ； 当，即时，函数在上单调递增， ； 当，即时，函数在上单调递减， ； ∴， 当时，； 当时，，为开口向下的二次函数， 其对称轴为，， ∴； 当时，， ，∴，，∴， 综上，的最大值为． 8． 【解析】二次函数的值域为， ∴的最小值为，且， 二次函数的对称轴为， ∴，即， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为． 9．或 【解析】函数的对称轴为， 若对称轴不在区间内， 即或，即或时， 函数在区间上单调， 此时， 即， 可得或，与或矛盾， 故对称轴必在区间内，即， 此时，最大值在区间端点处取得， ∴， 若，即，则，故， 若，即，则，故， 综上，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $