【选择题专项】05 平面向量及其运算 2027年山东省（春季高考）《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦平面向量核心概念与运算，以真题为引领构建从概念辨析到综合应用的递进训练体系，培养几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|6题|判断向量基本属性（单位向量、共线等）|从向量定义出发，构建概念间关联| |线性运算|3题|结合几何图形（平行四边形、三角形）|基于概念推导线性运算规则| |坐标运算|6题|共线、模长计算|概念向代数表示转化| |数量积应用|13题|垂直、夹角、模长及几何应用|运算规则拓展至数量积应用| |真题再现|7题（2022-2026年）|反映命题趋势|覆盖高频考点，强化应用意识|

2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项（五） 平面向量及其运算 1．下列说法错误的是（   ） A．若向量与都是单位向量，则 B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 【答案】A 【分析】根据单位向量、零向量、共线向量以及相等向量的定义求解即可. 【详解】选项A.向量与都是单位向量，则它们的模都为1，但它们的方向可能不同，错误. 选项B.零向量与任意向量都共线，正确. 选项C.两个共线向量一定平行，正确. 选项D.相等向量一定共线. 故选：A. 2．下列说法正确的是（    ） ①有向线段的三要素是起点、方向、长度； ②向量的两要素是大小和方向； ③同向且等长的有向线段是相等向量； ④在平行四边形中，． A．① B．①⑤ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据有向线段、向量、相等向量的定义可以判断. 【详解】由有向线段、向量、相等向量的定义可以直接判断①②③正确； 由平行四边形的性质可知，与方向相同，④正确． 故选：D 3．在矩形中，，则向量的长等于（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】首先进行向量线性运算，随后进行向量模的计算即可. 【详解】因为， 又，的长为. 故选：D. 4．给出下列命题，①零向量的长度为0，方向是任意的；②若都是单位向量，则；③若，则或，则所有正确的命题的序号是（    ） A．② B．①③ C．① D．①② 【答案】C 【分析】根据题意，结合零向量、单位向量、相等向量、向量的模的概念，即可判断求解. 【详解】因为零向量的长度为0，方向是任意的，故①正确； 若都是单位向量，则长度相等，但方向不一定相同，故不一定相等，故②错误； 若，即长度相等，但方向可以任意的，不一定方向相同或相反，故③错误； 故正确的命题的序号是①. 故选：C. 5．如图所示，圆O中的向量 是（    ）    A．有相同终点的向量 B．共线向量 C．相等的向量 D．模相等的向量 【答案】D 【分析】根据向量的概念判断选项即可. 【详解】圆O中的向量都是从圆心O出发到圆上点的向量，起点相同，终点不同，故AB错误； 向量 的长度都等于圆的半径，故模相等，但方向不同，故C错误，D正确. 故选：D. 6．如图所示，在平行四边形中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法法则即可解答. 【详解】由图可知，， 所以. 故选：C. 7．在四边形中，，若，则四边形的形状为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算，向量的相等及向量的模的定义即可得解. 【详解】∵在四边形中，. ∴.且. ∴四边形为平行四边形． ∵. ∴. ∴四边形的对角线长度相等. ∴平行四边形为矩形． 故选：. 8．已知向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性关系判断三点共线即可； 【详解】因为，，， 所以， 所以， 所以，共线，且有公共点， 所以三点共线． 故选：C 9．如图所示，，，是的三等分点，则用向量和线性表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法和减法法则化简即可. 【详解】如图所示，，，是的三等分点， 则， 又， 所以， 故选：B. 10．已知向量，，且与共线，则实数（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由两向量共线的坐标表示，列方程求解即可. 【详解】因为向量，，且与共线， 所以，解得. 故选：B. 11．已知平面内三点，且，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量线性运算的坐标表示得到，从而列式即可得解. 【详解】因为， 所以， 则由，得， 则，解得. 故选：C. 12．已知向量，，若与共线，则等于（   ） A． B． C．-2 D．2 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示得出向量的坐标，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】由向量，， 得， ， 由与共线，得， 即，整理得， 所以. 故选：A. 13．已知两点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示即可解答. 【详解】已知两点，， 则， 故选：A. 14．已知点在函数的图象上，点A的坐标是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在函数图像上，则点的坐标满足函数解析式列出等式得到点的坐标，再根据向量的模长公式求得线段的长度. 【详解】由点在函数图像上.所以. 则，所以， ， ． 故选：D. 15．如图所示，网格中的每个单元格都是边长为1的正方形，向量的始点和终点都在网格线的交点处，则（      ）    A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】在网格中建立直角坐标系，得到向量的坐标，再利用模长公式求解即可. 【详解】在网格中建立直角坐标系，    由图可知：，， 则， 所以， 故选：C. 16．设平面向量，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，模的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，，则． 故选：B. 17．已知平面向量，，向量与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求向量的坐标，再根据向量与垂直则即可求解. 【详解】， 因为与垂直，所以， 即，解得，因此选项D正确. 故选：D. 18．若向量， ，与方向相同，则等于（    ）. A．6 B．7 C． D．5 【答案】C 【分析】由题可设，据此可得的值，计算出的坐标，再利用向量模的坐标表示可求解. 【详解】由题可知，，即， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：C 19．已知点，，则与向量同方向的单位向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与向量同方向的单位向量为，则有，利用模的坐标表示可得的值，据此可求解. 【详解】因为点，，所以. 设与向量同方向的单位向量为，则有 ， 由，可得，解得， 即，所以与向量同方向单位向量的坐标为. 故选：C 20．设，向量，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求向量的平行与垂直关系求解x与y的值，再根据向量的坐标运算以及模长公式求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得， 即， 又向量，且， 所以，解得， 即， 所以， 则有. 故选：B. 21．已知椭圆的焦点分别是，点M在椭圆上，如果，那么点M到x轴的距离是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程、焦点坐标、向量数量积的坐标运算计算即可求解. 【详解】解：依题意得，，设 则. 又. 所以点M到x轴的距离为． 故选：B 22．设，且与的夹角是锐角，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的夹角为锐角，得到内积的要求即可求解. 【详解】夹角为锐角 故选：A . 23．已知，则等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量模长公式，即可求解. 【详解】因为， 所以， 得到， 所以， . 故选：D. 24．如图，在中，是中点，，则（    ）    A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】解法一：根据向量的内积公式求解即可； 解法二：先化简为，再由内积的运算律进行求解. 【详解】解法一：由题意得，在中，，则， 在中，，则，则， 所以. 解法二：由题意得，在中，，所以， 因为，又， 所以. 故选：D. 25．已知向量满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用模长公式求出，再用夹角公式即可得到答案. 【详解】由模长公式， 由夹角公式， 故选：A. 26．已知，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 【答案】A 【分析】先求出向量的模，即可判断三角形三条边的关系，进而求解. 【详解】， ， ， ， ， 为直角三角形． 故选：A 27．在四边形中，，且，则四边形是（　　） A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】B 【分析】根据相等向量和向量的内积等于0易判断四边形的形状. 【详解】因为, 所以, 所以四边形是平行四边形, 因为, 所以, 所以平行四边形是矩形. 故选:B. 28．在青岛奥帆中心举行的帆船比赛中，运动员借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果称为视风风速.视风风速是真风与船行风的向量和，其中船行风与船速大小相等、方向相反.某时刻运动员甲测得的视风风速向量与船速向量如图所示（图中线段长度代表速度大小，单位：），则该时刻的真风速度大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，画图表示出真风速度，由此求解即可. 【详解】根据题意可得，    ∴该时刻的真风速度大小为. 故选：C. 29.（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，A，B，C，三点共线，且，O是直线外任意一点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法以及减法的几何运算求解即可. 【详解】因为A，B，C三点共线，且，所以， 所以，即， 化简得. 故选：A. 30.（2025年山东省春季高考数学真题）如图所示，网格中的每个单元格都是边长为1的正方形，向量的始点和终点都在网格的交点处，则（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】在网格中建立坐标系，得到向量的坐标，再利用模长公式求解即可. 【详解】在网格中建立坐标系，如图所示： 由图可知：， 所以， 因此， 故选：A． 31.（2024年山东省春季高考数学真题）如图所示，在中，三条边长均为1，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列运算结果为单位向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算和相等向量和相反向量计算出结果易得答案. 【详解】由题意得： A：， 因为，故为单位向量； B：，，故不是单位向量； C：，故不是单位向量； D：， 因为，故不是单位向量. 故选：A． 32.（2023年山东省春季高考数学真题）已知向量，若，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量共线的坐标运算列式求解值． 【详解】若， 则，解得， 故选：D． 33.（2023年山东省春季高考数学真题） 如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的运算法则与向量的内积即可求解. 【详解】因为分别是的中点， 所以 故选：C． 34.（2022年山东省春季高考数学真题）已知向量与向量的方向相反，，则等于（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】C 【分析】由题知两向量的夹角为，根据向量的内积的定义可求解. 【详解】因为向量与向量的方向相反， 所以它们的夹角为， 所以. 故选：C． 35.（2022年山东省春季高考数学真题）已知点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的模长公式结合三角函数的两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项（五） 平面向量及其运算 1．下列说法错误的是（   ） A．若向量与都是单位向量，则 B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 2．下列说法正确的是（    ） ①有向线段的三要素是起点、方向、长度； ②向量的两要素是大小和方向； ③同向且等长的有向线段是相等向量； ④在平行四边形中，． A．① B．①⑤ C．①②③ D．①②③④ 3．在矩形中，，则向量的长等于（   ） A． B．2 C． D．4 4．给出下列命题，①零向量的长度为0，方向是任意的；②若都是单位向量，则；③若，则或，则所有正确的命题的序号是（    ） A．② B．①③ C．① D．①② 5．如图所示，圆O中的向量 是（    ）    A．有相同终点的向量 B．共线向量 C．相等的向量 D．模相等的向量 6．如图所示，在平行四边形中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 7．在四边形中，，若，则四边形的形状为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 8．已知向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，，，是的三等分点，则用向量和线性表示为（   ）    A． B． C． D． 10．已知向量，，且与共线，则实数（   ） A． B． C． D．2 11．已知平面内三点，且，则（    ） A．5 B． C． D． 12．已知向量，，若与共线，则等于（   ） A． B． C．-2 D．2 13．已知两点，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知点在函数的图象上，点A的坐标是，则的值是（    ） A． B． C． D． 15．如图所示，网格中的每个单元格都是边长为1的正方形，向量的始点和终点都在网格线的交点处，则（      ）    A．4 B．5 C． D． 16．设平面向量，，则的值是（   ） A． B． C． D． 17．已知平面向量，，向量与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 18．若向量， ，与方向相同，则等于（    ）. A．6 B．7 C． D．5 19．已知点，，则与向量同方向的单位向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 20．设，向量，，且，，则（    ） A． B． C． D． 21．已知椭圆的焦点分别是，点M在椭圆上，如果，那么点M到x轴的距离是（    ） A． B． C． D．1 22．设，且与的夹角是锐角，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 23．已知，则等于（   ） A．1 B． C． D． 24．如图，在中，是中点，，则（    ）    A． B． C．4 D．2 25．已知向量满足，，，则（   ） A． B． C． D． 26．已知，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 27．在四边形中，，且，则四边形是（　　） A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 28．在青岛奥帆中心举行的帆船比赛中，运动员借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果称为视风风速.视风风速是真风与船行风的向量和，其中船行风与船速大小相等、方向相反.某时刻运动员甲测得的视风风速向量与船速向量如图所示（图中线段长度代表速度大小，单位：），则该时刻的真风速度大小为（   ）    A． B． C． D． 29.（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，A，B，C，三点共线，且，O是直线外任意一点，若，，则（ ） A. B. C. D. 30.（2025年山东省春季高考数学真题）如图所示，网格中的每个单元格都是边长为1的正方形，向量的始点和终点都在网格的交点处，则（   ） A．4 B．5 C． D． 31.（2024年山东省春季高考数学真题）如图所示，在中，三条边长均为1，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列运算结果为单位向量的是（   ） A． B． C． D． 32.（2023年山东省春季高考数学真题）已知向量，若，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 33.（2023年山东省春季高考数学真题） 如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 34．（2022年山东省春季高考数学真题）已知向量与向量的方向相反，，则等于（   ） A． B．6 C． D．12 35．（2022年山东省春季高考数学真题）已知点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $