4.1指数与指数函数（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 指数函数与对数函数 4.1 指数与指数函数 【复习目标】 1.掌握实数指数幂的运算法则； 2.理解指数函数的概念，掌握其图像和性质； 3.能运用指数函数知识解决有关问题. 考点1 实数指数幂的有关概念及运算法则 【知识梳理内容】 1.根式的概念 (1)如果一个数的n次方等于a(n>1，n∈N＋)，那么这个数叫作a的n次方根，式子 叫作n次根式，这里 叫作根指数， 叫作被开方数． (2)()n＝ (n>1，n∈N)． (3)当n为奇数时，＝ ；当n为偶数时，. 2.有理数指数幂的有关概念 (1)正整数指数幂:若b=＝an(n∈N＋)，则称 ，a称为幂的 ，n成为幂的 . (2)零指数幂:a0＝ (a≠0) (3)负整数指数幂:a－n＝(n∈N＋，a≠0) (4)分数指数幂:； 3.实数指数幂的运算性质:(a>0，b>0，m，n∈R) (1)aman＝ . (2)＝ . (3)(am)n＝ . (4)(ab)m＝ . (5)()n＝. 【即时训练】 1.计算的结果是(  ) A.3 B. C.0 D. 2.的运算结果是(  ) A.5 B. C.25 D. 3.计算的结果是(  ) A.2 B.4 C.8 D.16 4.将根式转换为分数指数幂的形式，正确的是(  ) A. B. C. D. 5.的值是(  ) A.2 B. C. D. 6.化简的结果正确的是(  ) A.5 B. C.14 D. 7.下列式子计算正确的是(  ) A. B. C. D. 8.下列等式成立的是(  ) A. B. C. D. 9.函数的定义域为(  ) A. B. C. D. 10.计算的值为(  ) A. B. C. D. 11.若，则(  ) A. B.1 C.2 D.10 12.定义一种新运算:，则(  ) A.32 B.24 C.16 D.18 考点2 指数函数 【知识梳理内容】 1.指数函数的概念 一般地，形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数叫作 ，其中x是 ，函数的定义域是 . 2.指数函数的图像和性质 底数 a>1 0＜a＜1 图像 性质 (1)定义域为R；(2)值域为(0，＋∞)； (3)函数的图像都过定点 ；(4)都是非奇非偶函数 (5)在R上是 函数 (5)在R上是 函数 (6)当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 (6)当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 【即时训练】 13.下列函数中，属于指数函数的是(  ) A. B. C. D. 14.若指数函数过点，则(  ) A. B.3 C.9 D.27 15.比较与的大小，正确的是(  ) A. B. C. D.无法比较 16.指数函数的单调性为(  ) A.在上单调递增 B.在上单调递减 C.在递增 D.在递减 17.函数的定义域是(  ) A. B. C. D. 18.当且时，函数的图象恒过定点，则点的坐标为(  ) A. B. C. D. 19.已知函数的图像经过，则的值为(  ) A. B. C. D. 20.不等式的解集可以表示为(  ) A. B. C. D. 21.下列关系正确的是(  ) A. B. C. D. 22.定义运算，则函数的大致图像是(  ) A.   B.   C.   D.   1.(2025年山东省春季高考数学真题)已知函数，且)，当时，，则直线的图象可能是(  ) A. B.C.D. 2.(2022年山东省春季高考数学真题)已知且，若函数 在上具有单调性，则实数的取值范围是___________________. 3.(2026年山东省春季高考数学真题)已知函数，且， (1)求实数b的值； (2)函数的最小值和最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 指数函数与对数函数 4.1 指数与指数函数 【复习目标】 1.掌握实数指数幂的运算法则； 2.理解指数函数的概念，掌握其图像和性质； 3.能运用指数函数知识解决有关问题. 考点1 实数指数幂的有关概念及运算法则 【知识梳理内容】 1.根式的概念 (1)如果一个数的n次方等于a(n>1，n∈N＋)，那么这个数叫作a的n次方根，式子叫作n次根式，这里 n 叫作根指数， a 叫作被开方数． (2)()n＝ a (n>1，n∈N)． (3)当n为奇数时，＝ a ；当n为偶数时，. 2.有理数指数幂的有关概念 (1)正整数指数幂:若b=＝an(n∈N＋)，则称b是a的n次幂，a称为幂的底数，n成为幂的指数. (2)零指数幂:a0＝1(a≠0) (3)负整数指数幂:a－n＝(n∈N＋，a≠0) (4)分数指数幂:； 3.实数指数幂的运算性质:(a>0，b>0，m，n∈R) (1)aman＝am+n. (2)＝am-n. (3)(am)n＝amn. (4)(ab)m＝ambm. (5)()n＝. 【即时训练】 1.计算的结果是(  ) A.3 B. C.0 D. 【答案】D 【分析】根据指数运算求解即可. 【详解】. 故选:D. 2.的运算结果是(  ) A.5 B. C.25 D. 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质即可得解. 【详解】，故结果为5． 故选:A. 3.计算的结果是(  ) A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】C 【分析】根据实数指数幂的运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 4.将根式转换为分数指数幂的形式，正确的是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】运用根式与分数指数幂的转换关系求解. 【详解】由根式与分数指数幂的转换关系，可知， 故选:A. 5.的值是(  ) A.2 B. C. D. 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算求解. 【详解】. 故选:B. 6.化简的结果正确的是(  ) A.5 B. C.14 D. 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】， 故选:. 7.下列式子计算正确的是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据指数的运算求解即可. 【详解】选项A，，错误. 选项B，，错误. 选项C，，错误. 选项D，，正确. 故选:D. 8.下列等式成立的是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据根式的性质判断A，根据指数幂的运算法则判断BCD. 因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选:C 9.函数的定义域为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质，分母的性质及指数幂的运算法则列出不等式组即可得解. 【详解】函数， 则，解得且， 所以定义域为， 故选:. 10.计算的值为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数幂的运算，及根式与分数指数幂的转化，即可求解. 【详解】原式. 故选:C. 11.若，则(  ) A. B.1 C.2 D.10 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】，则， 解得， 故选:. 12.定义一种新运算:，则(  ) A.32 B.24 C.16 D.18 【答案】A 【分析】根据题意，结合新运算的计算公式，及指数幂的运算，即可求解. 【详解】因为，所以. 故选:A. 考点2 指数函数 【知识梳理内容】 1.指数函数的概念 一般地，形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 R . 2.指数函数的图像和性质 底数 a>1 0＜a＜1 图像 性质 (1)定义域为R；(2)值域为(0，＋∞)； (3)函数的图像都过定点(0，1)；(4)都是非奇非偶函数 (5)在R上是 增 函数 (5)在R上是 减 函数 (6)当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 (6)当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 【即时训练】 13.下列函数中，属于指数函数的是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义及一般形式判断各选项. 【详解】指数函数的一般形式为（且），其中自变量在指数位置，底数是常数且满足且. 选项A:，该函数中，自变量在底数位置，不符合指数函数的定义，所以该选项错误， 选项B:，该函数中的系数是3，不满足指数函数的一般形式，所以该选项错误， 选项C:，此函数中，自变量在指数位置，底数，满足且，符合指数函数的一般形式，所以该选项正确， 选项D:，该函数中，自变量在底数位置，不符合指数函数的定义，所以该选项错误， 故选:C. 14.若指数函数过点，则(  ) A. B.3 C.9 D.27 【答案】B 【分析】将点代入指数函数解析式中即可得解. 【详解】指数函数过点， 则，解得， 故选:. 15.比较与的大小，正确的是(  ) A. B. C. D.无法比较 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数，底数，所以函数在上为增函数， 则， 故选:. 16.指数函数的单调性为(  ) A.在上单调递增 B.在上单调递减 C.在递增 D.在递减 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质即可得解. 【详解】指数函数，定义域为， 底数，所以函数在上单调递减， 所以选项ACD错误，选项B正确. 故选:. 17.函数的定义域是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据二次根式的被开方数非负及指数函数的单调性求解. 【详解】函数有意义，则，即， 因为在上单调递增，所以， 所以函数的定义域为. 故选:A. 18.当且时，函数的图象恒过定点，则点的坐标为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用指数函数的性质求解. 【详解】在函数中，令，即， 此时， 所以，函数的图象恒过定点. 故选:B. 19.已知函数的图像经过，则的值为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先将已知点代入指数函数解析式求出底数，再代入计算的值. 【详解】指数函数的底数满足且， 因为函数图像过点，所以有： ， 结合，解得，因此函数解析式为. 则 ， 故选:C. 20.不等式的解集可以表示为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】首先由指数函数的单调性列不等式，再由含绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】已知不等式， 因为在上单调递增， 所以由，得， 即，解得， 所以原不等式的解集为， 故选:A. 21.下列关系正确的是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可得解. 【详解】，，因为，所以，故错误； 因为函数，底数，所以函数在定义域内为减函数，则，故正确； 因为函数，底数，所以函数在定义域内为增函数，则，则，故错误； 因为函数，底数，所以函数在定义域内为减函数， 则，故错误， 故选:. 22.定义运算，则函数的大致图像是(  ) A.   B.   C.   D.   【答案】A 【分析】利用指数函数的单调性结合所给代数式可判断. 【详解】因为，则函数， 又因为，解得，，解得， 所以函数， 当时，函数图像为一条直线， 当时，函数图像为一条曲线，且为增函数， 综上所述：函数的大致图像是A选项的图象. 故选:A. 1.(2025年山东省春季高考数学真题)已知函数，且)，当时，，则直线的图象可能是(  ) A. B.C.D. 【答案】A 【分析】由指数函数的性质得出的范围，再判断一次函数的图象即可. 【详解】函数(，且)， 当时，，即， 所以，则， 所以直线的图象为直线从左到右上升，且在轴的截距为， 在轴的截距为，只有A选项图象符合要求. 故选:A. 2.(2022年山东省春季高考数学真题)已知且，若函数 在上具有单调性，则实数的取值范围是___________________. 【答案】 【分析】由分段函数的单调性求得. 【详解】当时，，在上是减函数，在上是减函数， 且当时，，即满足在上是减函数，具有单调性； 当时，，在上是增函数，在[上是增函数， 要使在上具有单调性，即为增函数，必须满足, 解得; 综上，实数的取值范围为或. 故答案为:. 3.(2026年山东省春季高考数学真题)已知函数，且， (1)求实数b的值； (2)函数的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为27 【分析】(1)根据分段函数的解析式代入求解即可. (2)根据指数函数的单调性以及二次函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为函数， 又，所以， 解得. 【小问2详解】 当时，，此时在上为减函数， 所以时，函数最大值为，最小值为， 当，，函数开口向上，对称轴为， 即时，单调递减；，单调递增； 所以时，函数最小值为，最大值为， 综上，在区间上最小值为，最大值为27． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $