第11卷 圆锥曲线（学生练习卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线专题，以真题为载体构建“概念-性质-应用”逻辑链，通过双卷设计强化推理能力与运算能力，精准对接考纲核心考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|15题|覆盖椭圆、抛物线、双曲线定义及几何性质|从定义推导标准方程，延伸至离心率、焦点等性质应用| |填空题|5题|聚焦焦点弦、准线、焦距等核心计算|强化概念与公式关联，培养模型观念| |解答题|4题|综合考查方程求解与几何证明|构建“性质应用-综合推理”链条，提升数学思维|

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第11卷 集合、不等式 （学生练习卷） 一、单选题 1.（2026·内蒙古·真题T03）椭圆的焦距为2，则实数 的值为（ ） A. 1 B. 1或9 C. 4 D. 4或6 2.（2026·内蒙古·真题T11）已知圆锥曲线 关于坐标轴对称，其顶点在坐标原点，离心率为1，且经过点．则该曲线的准线方程为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 3.（2025·内蒙古·真题T11） 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4．设、分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上且满足，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．椭圆的长轴是短轴的2倍，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 7．若椭圆的方程为，则该椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．过椭圆的右焦点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 9．若双曲线，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆（）的左焦点为，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，则的周长是（    ） A．10 B．18 C．20 D．32 12．若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 13．平面中与点和直线的距离相等的点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 14．已知椭圆的一个焦点为，则它的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 16．已知是过抛物线焦点的弦，若线段中点的横坐标为2，则________． 17．已知直线l过抛物线C的焦点，l与C交于A，B两点，若的最小值为6，P为C的准线上一点，则的面积为 ． 18．抛物线的准线方程为______． 19．已知抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，则抛物线的方程为______． 20．已知双曲线的实轴长为2，虚轴长为4，则该双曲线的焦距为_________． 三、解答题 21．已知抛物线的焦点在直线上，，，是上的三个点. (1)求的方程； (2)已知，且直线经过点，，求直线的方程； 22．设分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列． (1)求; (2)若直线的斜率为1，求的值． 23．已知椭圆的离心率为，一个顶点的坐标为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求点到椭圆C上的点的最远距离． 24．已知椭圆中心在原点，焦点坐标分别为，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于两点，求弦的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第11卷 集合、不等式 （学生练习卷） 一、单选题 1.（2026·内蒙古·真题T03）椭圆的焦距为2，则实数 的值为（ ） A. 1 B. 1或9 C. 4 D. 4或6 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆焦点位置的不同，结合椭圆中 、 、 的关系以及焦距公式来求解 的值. 【详解】设 为半焦距， 已知椭圆焦距为 ，则，可得. 对椭圆分两种情况讨论： 当焦点在 轴上时，满足，，， 由可得，即， 当焦点在 轴上时，满足，，， 由可得，即， 综上， 的值为4或6， 故选：D. 2.（2026·内蒙古·真题T11）已知圆锥曲线 关于坐标轴对称，其顶点在坐标原点，离心率为1，且经过点．则该曲线的准线方程为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据离心率为1确定曲线为抛物线，再分对称轴为x轴、y轴两种情况设标准方程，代入已知点求解参数后计算对应准线方程即可. 【详解】圆锥曲线中离心率的曲线为抛物线. 若对称轴为x轴的情况 设抛物线标准方程为， 将点代入方程，即，解得，进而准线. 对称轴为y轴的情况 设抛物线标准方程为， 将点代入方程，即，解得，进而准线. 综上，该曲线的准线方程为或. 故选：C. 3.（2025·内蒙古·真题T11） 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义以及题目条件列出等式，求出p，进而得到 【详解】抛物线的准线为. 因为点在抛物线上，所以， 且点到点的距离等于其到准线的距离，即为. 点到直线的距离为. 因为点到点的距离与到直线的距离相等， 所以，解得. 又因为点在抛物线上，所以，解得. 从而. 故选：D. 4．设、分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上且满足，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆方程确定的值，设点，将其代入椭圆方程得，再由两点之间的距离公式列方程求解即可. 【详解】在椭圆中，，， 则，所以，， 设点，则，可得， ，解得， ， 因此，的面积为． 故选：D. 5．如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的准线方程即可确定焦点坐标. 【详解】由于抛物线的准线是直线， 所以它的焦点为． 故选：D. 6．椭圆的长轴是短轴的2倍，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出a与b的关系即可求解离心率. 【详解】因为长轴是短轴的2倍， 所以，即， 所以离心率. 故选:D. 7．若椭圆的方程为，则该椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程写出，结合求出，进而写出焦点坐标即可. 【详解】因为椭圆的方程为，则椭圆焦点在纵轴上， 所以，，则， 故焦点坐标为和． 故选：B. 8．过椭圆的右焦点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可设直线方程，再求出右焦点，代入即可. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 由，可得， 右焦点为，代入可得 ，， 所以所求的直线方程为. 故选：. 9．若双曲线，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】由双曲线得焦点在轴上，且，所以渐近线方程为. 故选：B. 10．已知椭圆（）的左焦点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据焦点坐标，得，结合椭圆中的关系，即可求解. 【详解】因为椭圆（）的左焦点为，焦点在轴上， 所以，即， 故. 故选：C. 11．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，则的周长是（    ） A．10 B．18 C．20 D．32 【答案】C 【分析】根据椭圆的方程得到，再根据椭圆的定义来求解的周长. 【详解】由椭圆可知， 即， 因为，是椭圆的两个焦点， 过的直线与椭圆交于，两点， 则， 的周长为 ， 故选：C． . 12．若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线渐近线方程，结合双曲线之间的关系以及离心率公式即可解得. 【详解】双曲线的渐近线方程是， ，， 双曲线的离心率是. 故选：C 13．平面中与点和直线的距离相等的点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义判断即可. 【详解】由抛物线的定义可知，平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹为抛物线， 所以可知焦点为，且， 所以抛物线的方程为. 故选：B． 14．已知椭圆的一个焦点为，则它的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意确定，由离心率公式可得答案． 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，， 则得， 离心率为. 故选：C. 15．双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程确定，求出渐近线方程即可. 【详解】由可得， 即，焦点在轴上. 所以渐近线方程. 故选：C. 二、填空题 16．已知是过抛物线焦点的弦，若线段中点的横坐标为2，则________． 【答案】6 【分析】根据抛物线方程求出准线方程，利用抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离即可求解. 【详解】由抛物线方程可知，则其准线方程为， 设，因为线段中点的横坐标为2， 所以，则， 所以. 故答案为：6. 17．已知直线l过抛物线C的焦点，l与C交于A，B两点，若的最小值为6，P为C的准线上一点，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】首先设抛物线的解析式，写出抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径，求出，的面积是与乘积的一半. 【详解】设抛物线的解析式， 则焦点为，对称轴为轴，准线为， 因为为通径时，取得最小值，此时为6， 所以，得到， 又点在准线上，过点作的垂线，垂直为， 所以， 即 . 故答案为：9.    18．抛物线的准线方程为______． 【答案】 【分析】根据抛物线方程求出值即可得解. 【详解】抛物线焦点在轴负半轴上，且， 则准线方程为， 故答案为：. 19．已知抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，则抛物线的方程为______． 【答案】 【分析】先根据椭圆方程得到椭圆焦点，再根据椭圆焦点与抛物线焦点重合，求解抛物线方程. 【详解】因为椭圆， 所以椭圆焦点在轴上，， 椭圆的上焦点坐标为， 又抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，设抛物线方程为 则，得到，， 故答案为：. 20．已知双曲线的实轴长为2，虚轴长为4，则该双曲线的焦距为_________． 【答案】 【分析】根据实轴、虚轴的关系求、的值，再求焦距. 【详解】双曲线的实轴长为， ． 虚轴长为 ． ， 该双曲线的焦距为． 故答案为：． 三、解答题 21．已知抛物线的焦点在直线上，，，是上的三个点. (1)求的方程； (2)已知，且直线经过点，，求直线的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，先表示出抛物线的焦点坐标，代入直线，求得p的值，即可求解； （2）根据题意，结合抛物线方程求出焦点坐标，将点C代入抛物线方程，求出点C的坐标，继而表示出直线的方程，与抛物线联立方程组，结合韦达定理，及向量垂直的坐标表示，即可求得参数值，即可求得直线方程. 【详解】（1）因为抛物线的焦点坐标为， 又焦点在直线上， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由（1）知，抛物线的方程为，所以焦点 又点在抛物线的图像上， 所以，解得，所以点C的坐标为 设，则， 由题意，易知直线的斜率必存在，设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， 所以， ， 因为，所以, 即， 所以， 所以，整理得， 解得或， 当时，直线方程为，点C在直线上，不符合题意； 当时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为. 22．设分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列． (1)求; (2)若直线的斜率为1，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义以及等差数列的性质求解即可. （2）设出直线方程，联立两方程，根据弦长公式求解即可. 【详解】（1）由椭圆知，， 则由椭圆定义知 即，又成等差数列． 所以，解得. （2）由题意可设l的方程式为，其中. 设，， 联立直线与椭圆方程， 化简得．则，． 因为直线的斜率为1，所以，即． 则． 化简整理得，因为 解得． 23．已知椭圆的离心率为，一个顶点的坐标为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求点到椭圆C上的点的最远距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和顶点求得，即可得出椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C上一动点为，求得的表达式，利用二次函数的性质结合的范围求的最大值即可. 【详解】（1）由已知可得，，，所以． 由，可得． 所以椭圆C的标准方程为． （2）设椭圆C上一动点为，则，所以，且． 又 ． 因为，所以当时，取得最大值． 即点到椭圆C上的点的最远距离为． 24．已知椭圆中心在原点，焦点坐标分别为，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于两点，求弦的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、焦点坐标等可求椭圆的标准方程. （2）联立椭圆方程与直线方程解出交点坐标，再由两点间距离公式求解. 【详解】（1）由题意知椭圆焦点在轴上，且 ，        又因为，所以，       所以，       所以椭圆方程为. （2）联立，整理得，      解得或， 所以或  ， 设， 所以，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $