第15卷 概率与统计（学生练习卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以内蒙古对口招生考纲为基准，通过“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”逻辑体系，聚焦概率与统计核心考点，实现方法迁移与能力贯通。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率基础|单选8题+填空3题|事件关系判定（集合思想）、古典概型计算（列举法/组合数）、对立事件应用|从事件定义到概率计算，构建“概念-公式-应用”推理链条| |统计应用|单选7题+填空2题|抽样方法选择（分层/系统抽样特征）、数据特征分析（方差/中位数）、图表解读（频率分布直方图面积计算）|遵循“数据收集-整理-分析”流程，强化数据意识与运算能力| |综合解答|解答题4题|统计案例处理（平均数/概率估计）、图表数据应用（优秀人数计算）|整合概率与统计知识，通过实际情境培养数学语言表达与模型应用能力|

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第15卷 概率与统计 （学生练习卷） 一、单选题 1.（2026·内蒙古·真题T07）在2026年伦敦世乒赛男团比赛中，中国队队员甲要参加两盘比赛．设事件 为“甲两盘都胜”， 为“甲两盘都负”， 为“甲恰有一盘胜”， 为“甲至少有一盘胜”，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 2．七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：，则这组分数的中位数和众数分别是（ ） A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，85 3．某样本数据的频率分布直方图的部分图形如图所示，则数据在的频率约为（    ） A．0.25 B．0.5 C．0.05 D．0.025 4．样本中共有五个个体，其值分别为，若该样本的平均值为1，则样本的方差为（    ） A． B． C． D． 5．甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，采用分层抽样的方法抽取名学生进行体能测试，则乙校抽取人数为（    ） A． B． C． D． 6．采用系统抽样的方法，从个体数为2013的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率（    ） A． B． C． D． 7．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为，B点表示四月的平均最低气温约为. 下面叙述不正确的是 （    ）    A．各月的平均最低气温都在以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于的月份有5个 8．近视是一种常见的眼科疾病.近年来，我国中小学生近视率呈逐年上升趋势.为了解某市中小学生的视力情况，现开展视力健康专项调查，结果如下.请结合这些资料回答. 学段 在校生人数（万人） 调查人数（人） 小学 100 1000 初中 45 450 高中 40 400 合计 185 1850    可以推测，该市100万小学生中，眼睛近视的人数约为（    ） A．230人 B．1850人 C．23万人 D．100万人 9．已知甲、乙两组数据的平均数都是10，甲组数据的方差为0.5，乙组数据的方差为0.8，则（    ） A．甲组数据比乙组数据的波动大 B．甲组数据比乙组数据的波动小 C．甲组数据与乙组数据的波动一样大 D．甲、乙两组数据的波动大小不能比较 10．为了解某中职学校学生体能达标情况，拟从全校抽取名学生进行体能测试，由于各年级体能水平差异较大，宜采用的抽样方法是（   ） A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 11．一个不透明的盒子中有4个黑球，3个白球，每个球除颜色外都相同，以下正确的是（    ） A．任意摸出一个球，一定是白球 B．任意摸出一个球，一定是黑球 C．任意摸出一个球，不一定是白球 D．任意摸出一个球，一定不是白球 12．袋中装有6个大小相同的球，其中黑球2个，白球2个，红球2个，从袋中随机取2个球，都不是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 13．给出下列四种说法： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时可使”是不可能事件； ③“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件； ④从装有8个红球，6个白球的袋中任取2球，事件“至少有一个白球”和“都是红球”是两个对立事件； 其中不正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．从1，2，3，4四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之和为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 15．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在内的频数为（　 　） A．20 B．30 C．40 D．50 二、填空题 16.（2026·内蒙古·真题T16）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则两次的点数之和除以4的余数为3的概率是________． 17.（2025·内蒙古·真题T15）某校高三年级举行的个人技能比赛中有10名同学参赛，其中一班2名同学参赛，二班3名同学参赛，其它班级有5名同学参赛，若采取抽签的方式确定他们的比赛顺序，则二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为__________. 18．设A，B为两个对立事件，设，则________________. 19．从的展开式各项的系数中任取2个，其和为奇数的概率是________． 20．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：___________． 0 1 2 三、解答题 21．为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动为响应学校号召高二9班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为 甲：68，69，71，72，74，78，83，85； 乙：65，70，70，73，75，80，82，85. (1)求甲、乙两人成绩的平均数和中位数； (2)现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适? 22．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀.    (1)求的值； (2)求分数为优秀的人数. 23．为了了解某校学生学习我国优秀传统文化的情况，随机抽取了该校100名学生调查他们一周课外阅读古诗文的时间，根据所得调查结果的数据，得到如下表所示的频数分布表： 分组 0-0.5（小时） 0.5-1.0（小时） 1.0-1.5（小时） 1.5-2.0（小时） 2.0-2.5（小时） 频数 10 30 30 20 10 (1)用事件发生的频率来估计相应事件的概率，试估计该校学生一周课外阅读古诗文的时间不低于1小时的概率； (2)若每组中各个学生阅读时间用该组的中间值（如0-0.5的中间值为0.25）来估计，试估计该校学生一周课外阅读古诗文的平均时间. 24．手机支付也称为移动支付（），是当今社会比较流行的一种付款方式．某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对岁至岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的调查，把回答“会”的个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频数分布表和频率分布直方图． 组数 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 频数 x y 3 (1)求的值； (2)若从第组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第15卷 概率与统计 （学生练习卷） 一、单选题 1.（2026·内蒙古·真题T07）在2026年伦敦世乒赛男团比赛中，中国队队员甲要参加两盘比赛．设事件 为“甲两盘都胜”， 为“甲两盘都负”， 为“甲恰有一盘胜”， 为“甲至少有一盘胜”，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确各事件对应的比赛结果，再逐一判断事件的包含、交、并运算是否成立． 【详解】甲参加两盘比赛的所有结果对应3个互斥事件：A（两盘都胜）、C（恰有1盘胜）、B（两盘都负）， 事件D“至少有1盘胜”包含“恰有1盘胜”和“两盘都胜”两种情况，即． 对选项A：若事件A发生，则必然满足“至少有1盘胜”，即D一定发生，故，故A正确． 对选项B：事件B（两盘都负）和事件D（至少1盘胜）不可能同时发生，故，故B正确． 对选项C：A是两盘都胜，C是恰有1盘胜，二者的并集就是所有“至少1盘胜”的情况，故，故C正确． 对选项D：左边表示“两盘都胜或两盘都负”，右边，即所有比赛结果，二者不相等，故D错误． 故选：D． 2．七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：，则这组分数的中位数和众数分别是（ ） A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，85 【答案】B 【分析】利用中位数和众数的定义即可求解. 【详解】数据按从小到大的顺序排一列：. 所以这组分数的中位数和众数分别是. 故选：B. 3．某样本数据的频率分布直方图的部分图形如图所示，则数据在的频率约为（    ） A．0.25 B．0.5 C．0.05 D．0.025 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图中小矩形的面积是频率即可求解. 【详解】解：由频率分布直方图的部分图形知， 数据在的频率约为： . 故选：C. 4．样本中共有五个个体，其值分别为，若该样本的平均值为1，则样本的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平均值计算得到，再结合方差公式得到答案即可. 【详解】由题意得，样本的平均值，所以， 所以样本的方差为. 故选：D 5．甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，采用分层抽样的方法抽取名学生进行体能测试，则乙校抽取人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先计算出抽样比，再由乙校人数乘以抽样比即可解答. 【详解】已知甲校有名学生，乙校有名学生， 丙校有名学生，采用分层抽样的方法抽取名学生， 则抽样比为， 则乙校抽取人数为. 故选：B. 6．采用系统抽样的方法，从个体数为2013的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用系统抽样的概率即可得解. 【详解】采用系统抽样的方法，从个体数为2013的总体中抽取一个容量为50的样本， 在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率是. 故选：C. 7．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为，B点表示四月的平均最低气温约为. 下面叙述不正确的是 （    ）    A．各月的平均最低气温都在以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于的月份有5个 【答案】D 【分析】由题意根据样本均值的概念结合题中图形数据判断即可. 【详解】对A，由图形可得各月的平均最低气温都在以上，故A正确； 对B，七月的平均温差约为，而一月的平均温差约为，故B正确； 对C，三月和十一月的平均最高气温都在左右，基本相同，故C正确； 对D，平均最高气温高于时月份只有3个，故D错误. 故选：D. 8．近视是一种常见的眼科疾病.近年来，我国中小学生近视率呈逐年上升趋势.为了解某市中小学生的视力情况，现开展视力健康专项调查，结果如下.请结合这些资料回答. 学段 在校生人数（万人） 调查人数（人） 小学 100 1000 初中 45 450 高中 40 400 合计 185 1850    可以推测，该市100万小学生中，眼睛近视的人数约为（    ） A．230人 B．1850人 C．23万人 D．100万人 【答案】C 【分析】根据调查数据，用样本估计整体. 【详解】根据抽样调查分析，小学生近视率为，可以推测，该市100万小学生中，眼睛近视的人数约为万人. 故选：C 9．已知甲、乙两组数据的平均数都是10，甲组数据的方差为0.5，乙组数据的方差为0.8，则（    ） A．甲组数据比乙组数据的波动大 B．甲组数据比乙组数据的波动小 C．甲组数据与乙组数据的波动一样大 D．甲、乙两组数据的波动大小不能比较 【答案】B 【分析】根据方差的统计意义进行求解即可. 【详解】方差越大数据波动越大，方差越小数据波动越小．则甲组数据比乙组数据的波动小． 故选：B. 10．为了解某中职学校学生体能达标情况，拟从全校抽取名学生进行体能测试，由于各年级体能水平差异较大，宜采用的抽样方法是（   ） A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 【答案】D 【分析】根据分层抽样的适用条件即可解答. 【详解】根据各年级体能水平差异较大， 可知宜采用的抽样方法为分层抽样法， 故选：D. 11．一个不透明的盒子中有4个黑球，3个白球，每个球除颜色外都相同，以下正确的是（    ） A．任意摸出一个球，一定是白球 B．任意摸出一个球，一定是黑球 C．任意摸出一个球，不一定是白球 D．任意摸出一个球，一定不是白球 【答案】C 【分析】除颜色外完全相同的几个球，摸到每个球的概率一样，可能摸到黑球，也可能摸到白球，据此逐项判断选项即可. 【详解】一个不透明的盒子中有4个黑球，3个白球，每个球除颜色外都相同，摸到每个球的概率一样， 故任意摸出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故A，B，D错误，C正确. 故选：C. 12．袋中装有6个大小相同的球，其中黑球2个，白球2个，红球2个，从袋中随机取2个球，都不是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型概率的计算，结合组合的相关知识即可解得. 【详解】所有的取法共有种， 取出两个球均不是白球的概率为种， 故不是白球的概率为， 故选：B 13．给出下列四种说法： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时可使”是不可能事件； ③“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件； ④从装有8个红球，6个白球的袋中任取2球，事件“至少有一个白球”和“都是红球”是两个对立事件； 其中不正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据事件的分类，以及对立事件的定义，即可判断选项. 【详解】①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”正确，所以是必然事件；故①正确； ②不存在，使，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件；故②正确； ③“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；故③正确； ④根据对立事件的定义，可知事件“至少有一个白球”的对立事件是一个白球都没有，即都是红球，故④正确； 故选：A 14．从1，2，3，4四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之和为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过列举可知，从四个数字中任取两个不同数字，共有6种取法；这两个数字之和为奇数，共有4种取法，根据古典概型的计算公式可求解. 【详解】从1，2，3，4四个数字中任取两个不同数字， 有，，，，，，共6种不同的取法， 其中这两个数字之和为奇数，有，，，，共4种不同的取法， 所以这两个数字之和为奇数的概率为. 故选：D 15．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在内的频数为（　 　） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【分析】利用频率分布直方图中频率的求法，结合频数计算公式即可求解. 【详解】样本数据落在内的频数为. 故选：B. 二、填空题 16.（2026·内蒙古·真题T16）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则两次的点数之和除以4的余数为3的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，总的基本事件个数为， 两次的点数之和除以4的余数为3有， 共个基本事件， 所以其概率为， 故答案为：. 17.（2025·内蒙古·真题T15）某校高三年级举行的个人技能比赛中有10名同学参赛，其中一班2名同学参赛，二班3名同学参赛，其它班级有5名同学参赛，若采取抽签的方式确定他们的比赛顺序，则二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】用捆绑法和插空法求出满足条件的事件数，再由古典概型概率公式计算即可. 【详解】将二班的3名同学看作一个整体，共有种情况， 将这个整体与除一班外其他班级的5名同学进行全排列共有种情况， 将上述排列形成的7个空，安排一班的2名同学，共有种情况， 故满足条件的基本事件数为， 而基本事件总数为， 故二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为. 故答案为：. 18．设A，B为两个对立事件，设，则________________. 【答案】/ 【分析】根据题意结合对立事件概率的性质即可得解. 【详解】因为A，B为两个对立事件，则， 又，则. 故答案为：. 19．从的展开式各项的系数中任取2个，其和为奇数的概率是________． 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式所有项的系数，求出系数为奇数的个数，利用古典概型概率公式即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为， 所以的展开式各项的系数分别为：， 即， 其中有4项为奇数，有2项的系数为偶数， 所以其和为奇数的概率为. 故答案为：. 20．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：___________． 0 1 2 【答案】/ 【分析】根据离散型随机变量的分布列和等可能事件的概率公式计算即可. 【详解】因为试验是从装有个球（3个红球，2个白球）的袋中随机取出2个球， 所以所有可能结果共有个，为红球个数， 则，，. 故答案为：. 三、解答题 21．为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动为响应学校号召高二9班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为 甲：68，69，71，72，74，78，83，85； 乙：65，70，70，73，75，80，82，85. (1)求甲、乙两人成绩的平均数和中位数； (2)现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适? 【答案】(1)甲、乙的平均数为，中位数分别为. (2)选甲. 【分析】（）根据题意结合平均数公式及中位数定义即可得解. （）根据题意算出甲乙的方差即可得解. 【详解】（1）甲的平均数为， 中位数为； 乙的平均数为， 中位数为. （2）人教版： 甲的方差为 乙的方差为 高教版： 甲的方差为 乙的方差为 甲的方差小于乙的方差，甲的平均数与乙的平均数相等， 所以甲的成绩稳定，故选甲. 22．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀.    (1)求的值； (2)求分数为优秀的人数. 【答案】(1) (2)80 【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积和为1，列式可求解； （2）先求频率分布直方图中后两组的频率，再利用频数等于频率乘以样本容量求出优秀人数． 【详解】（1）由题中的频率分布直方图可得， ， ， ； （2）某校共高三400名学生， 不低于80分为优秀， 由题中的频率分布直方图可得， 分数为优秀的人数为. 23．为了了解某校学生学习我国优秀传统文化的情况，随机抽取了该校100名学生调查他们一周课外阅读古诗文的时间，根据所得调查结果的数据，得到如下表所示的频数分布表： 分组 0-0.5（小时） 0.5-1.0（小时） 1.0-1.5（小时） 1.5-2.0（小时） 2.0-2.5（小时） 频数 10 30 30 20 10 (1)用事件发生的频率来估计相应事件的概率，试估计该校学生一周课外阅读古诗文的时间不低于1小时的概率； (2)若每组中各个学生阅读时间用该组的中间值（如0-0.5的中间值为0.25）来估计，试估计该校学生一周课外阅读古诗文的平均时间. 【答案】(1) (2)小时 【分析】（1）计算频率，即可估计相应事件的概率； （2）根据平均数的概念计算即可. 【详解】（1）由题，该校学生一周课外阅读古诗文的时间不低于1小时的频率为， 则估计该校学生一周课外阅读古诗文的时间不低于1小时的概率为. （2）由题，该校学生一周课外阅读古诗文的平均时间为： 小时. 24．手机支付也称为移动支付（），是当今社会比较流行的一种付款方式．某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对岁至岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的调查，把回答“会”的个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频数分布表和频率分布直方图． 组数 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 频数 x y 3 (1)求的值； (2)若从第组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数． 【答案】(1) (2)第一组抽2人，第3组抽3人 【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据，结合表中的数据计算即可. （2）首先求出抽样比，再用第组的频数乘以抽样比即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 第一组，频率和组距的比为， 则， 第三组，， 从而. （2）由（1）可知，第1组为人，第3组共有人， 所以抽取的比例， 则从第1组抽取的人数为， 从第3组抽取的人数为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $