第8卷 平面向量与复数（学生练习卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足内蒙古对口招生考纲，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑体系，聚焦平面向量与复数专题，精选近三年真题，教师讲解与学生练习双卷配套，强化运算能力、推理意识及应用意识等核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量与复数|24题（单选15+填空5+解答4，含近三年真题）|概念回顾夯实基础、真题精讲提炼通法、举一反三强化变式、拓展提升深化综合应用|向量（线性运算-坐标表示-数量积）与复数（概念-运算-几何意义）的概念生成与应用拓展，形成“概念-运算-应用”完整知识链|

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第8卷 平面向量与复数（学生练习卷） 一、单选题 1.（2025·内蒙古·真题T05）已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2．在平行四边形中，为线段上任一点，则（    ） A． B． C． D． 3．若向量，与相等，且，，则x的值为（   ） A．1 B．1或4 C．0 D． 4．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，则（    ） A． B．1 C．4 D． 6．已知点，，点满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．已知向量满足，，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知向量满足，且，则（   ） A． B． C．1 D． 9．如图所示，，M为的中点，则（   ）    A． B． C． D． 10．++=（   ） A． B． C． D． 11．已知点，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 12．已知m为实数，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．设，（），若它们的和为实数，差为纯虚数，则（   ） A． B．0 C．1 D．4 15．已知向量，若，则（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题 16．若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是________． 17．设为虚数单位，则______． 18．已知向量，那么________. 19．已知与是不共线的向量，，若与是共线向量，则________. 20．，，则__________. 三、解答题 21．已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； 22．已知向量，， (1)若，求的值； (2)求的余弦值. 23．（2025·内蒙古·真题T20）已知向量，向量与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 24.（2026·内蒙古·真题T19）已知点，，．若点 满足，且，求 点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第8卷 平面向量与复数（学生练习卷） 一、单选题 1.（2025·内蒙古·真题T05）已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算求解即可. 详解】. 故选：B. 2．在平行四边形中，为线段上任一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的图形，利用向量的运算规则得出结论. 【详解】根据平行四边形图形可知： . 故选：C.    3．若向量，与相等，且，，则x的值为（   ） A．1 B．1或4 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据向量相等的概念及向量的坐标表示求解. 【详解】已知，，则， 又向量，与相等， 所以，解得， 故选：A. 4．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行向量的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知，， 则，解得， 所以， 故选：A. 5．已知向量，，则（   ） A． B．1 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据向量内积的坐标表示计算. 【详解】已知向量，， 则， 故选：A. 6．已知点，，点满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点P的坐标为，求出向量的坐标，利用向量相等列式即可求解. 【详解】设点P的坐标为， 因为点，，且， 又， 所以，解得， 所以点P的坐标为. 故选：B. 7．已知向量满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的夹角公式求解. 【详解】已知，，， 则. 故选：D. 8．已知向量满足，且，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据向量内积的运算法则先求出，进而可得结果. 【详解】由已知得，， 则 ， 因此. 故选：B. 9．如图所示，，M为的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量的减法法则，即可求解. 【详解】因为，M为的中点， 所以. 故选：B. 10．++=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的运算求解即可. 【详解】++ =+++ =. 故选：B. 11．已知点，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示可得结果. 【详解】由已知可得：. 故选：C 12．已知m为实数，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据纯虚数的定义求出，利用充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】复数为纯虚数， 则，解得， 当时，复数为纯虚数，故充分性成立； 当复数为纯虚数时，，故必要性不成立， 所以“”是“复数为纯虚数”的充分不必要条件， 故选：. 13．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的代数运算化简后，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】因为， 所以复数z在复平面内对应的点的坐标为，对应的点位于第二象限. 故选：B 14．设，（），若它们的和为实数，差为纯虚数，则（   ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】由复数的加减运算和复数的分类求解即可. 【详解】由题意，， 因为为实数，则，解得； ， 因为为纯虚数， 则，解得， 因此. 故选：C. 15．已知向量，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的条件列式即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故选：D. 二、填空题 16．若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据复数在复平面上对应的点位于第二象限，列不等式求解即可. 【详解】复数对应点坐标为， 因为点在第二象限， 可得，解得， 所以. 故答案为：. 17．设为虚数单位，则______． 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算法则求解. 【详解】， 故答案为：2. 18．已知向量，那么________. 【答案】 【分析】根据向量模的坐标表示求解. 【详解】向量，那么， 故答案为：. 19．已知与是不共线的向量，，若与是共线向量，则________. 【答案】2 【分析】根据向量共线定理求解. 【详解】若与是共线向量，则， 则，即， 又与是不共线的向量， 所以且，解得. 故答案为：2. 20．，，则__________. 【答案】 【分析】根据平面向量运算的坐标表示即可得解. 【详解】，， 则， 故答案为：. 三、解答题 21．已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可； （2）求出、的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； 【详解】（1）因，又，，， 即， ，解得； （2）因为，， 又， ，解得. 22．已知向量，， (1)若，求的值； (2)求的余弦值. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据平面向量线性运算的坐标表示求出与的坐标，利用平面向量的平行列出方程即可得解. （）根据平面向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）向量，， ，， 因为，则， 解得. （2）向量，， 则，，， 所以. 23．（2025·内蒙古·真题T20）已知向量，向量与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合平面向量的模长公式及平面向量内积的定义即可得解. （）根据题意结合平面向量垂直的性质即可得解. 小问1详解】 向量，向量与的夹角为，， 则由，解得. 【小问2详解】 因为，且， 则，故 则，解得. 24.（2026·内蒙古·真题T19）已知点，，．若点 满足，且，求 点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】设点 的坐标为，表示出题干涉及的所有向量，利用平面向量共线、垂直的坐标运算性质列方程组，求解方程组即可得到 点坐标。 【详解】设点 的坐标为， 且点，，， 所以， ， ， ， 因为，， 所以，即， 解得， 所以 点的坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $