第8卷 平面向量与复数（教师讲解卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以内蒙古对口招生数学考纲为基准，构建“概念-真题-迁移-提升”四维训练体系，通过近三年真题精讲培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|平面向量+复数系统概念|定义-运算-定理三级梳理|从基础概念到坐标表示的递进| |真题精讲|6道近三年真题|向量坐标法/数量积性质/复数四则运算|考点与真题精准对接| |举一反三|11道模拟题|题型变式训练|强化方法迁移应用| |拓展提升|10道综合题|跨情境问题解决|提升数学语言表达能力|

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第8卷 平面向量与复数（教师讲解卷） 【概念回顾】 （一）平面向量 1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作||. 2．向量的有关概念： 名称 定义 备注 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 3.向量的线性运算： 向量 运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 4.共线向量定理： 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. （1）平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. （3）平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 6．平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. （2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． （3）．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. ②模：|a|＝＝. ③夹角：cos θ＝＝. ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 7．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． （二）复数 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： ①虚数单位i: i2＝－1； ②形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 【真题精讲】 考点01 平面向量的运算 1.（2026·内蒙古·真题T19）已知点，，．若点 满足，且，求 点的坐标． 2.（2025·内蒙古·真题T04）已知向量，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 3.（2024·内蒙古·真题T08）已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ） A. 4 B. C. D. 考点02 平面向量的综合应用 4．（2025·内蒙古·真题T20）已知向量，向量与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 5.（2024·内蒙古·真题T20）已知，，求满足，且的点的坐标. 考点03 复数 6.（2025·内蒙古·真题T05）已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【举一反三】 1.（2023·内蒙古·真题T05）在中，，，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 不能确定 2．（25-26高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·内蒙古赤峰·二模）已知是边上的一点，若，，则实数值等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·内蒙古·模拟预测）已知，，则（    ） A．4 B．2 C． D．3 5．（25-26高三上·山东·一模）如图所示，已知向量，，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·内蒙古·三模）圆O中，弦满足，则（    ） A．2 B．4 C． D．1 8．（25-26高三下·重庆·对口/高职单招）复数的实部为________． 9．（25-26高三下·山西·对口/高职单招）已知平面向量，，且，则_____． 10．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知，是不共线的两个非零向量，，且与垂直， (1)求的值； (2)若与平行，求的值. 11．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）已知与的夹角为. (1)求的值； (2)当实数为何值时，与垂直. 【拓展提升】 1．（25-26高三下·内蒙古·三模）已知i为虚数单位，则复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·内蒙古赤峰·二模）复数满足（其中为虚数单位），则复数对应点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）已知实系数一元二次方程，且方程有一个根为，则实数m的值为（    ） A．10 B． C．8 D． 4．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）若复数，则它在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知复数，则复平面内对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·吉林·对口/高职单招）已知i是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·重庆·对口/高职单招）已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D． 8．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知，，与垂直，则的值为__________． 9．（23-24高二上·山东潍坊·期中）若单位向量，满足，且，则实数k的值为______． 10．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知向量的夹角为，且设 (1)若，求实数t的值. (2)当时，求夹角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第8卷 平面向量与复数（教师讲解卷） 【概念回顾】 （一）平面向量 1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作||. 2．向量的有关概念： 名称 定义 备注 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 3.向量的线性运算： 向量 运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 4.共线向量定理： 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. （1）平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. （3）平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 6．平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. （2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． （3）．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. ②模：|a|＝＝. ③夹角：cos θ＝＝. ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 7．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． （二）复数 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： ①虚数单位i: i2＝－1； ②形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 【真题精讲】 考点01 平面向量的运算 1.（2026·内蒙古·真题T19）已知点，，．若点 满足，且，求 点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】设点 的坐标为，表示出题干涉及的所有向量，利用平面向量共线、垂直的坐标运算性质列方程组，求解方程组即可得到 点坐标。 【详解】设点 的坐标为， 且点，，， 所以， ， ， ， 因为，， 所以，即， 解得， 所以 点的坐标为. 2.（2025·内蒙古·真题T04）已知向量，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算的坐标表示求出，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】向量， 则， 因为，则， 解得. 故选：B. 3.（2024·内蒙古·真题T08）已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量内积的运算法则和向量模的运算法则计算即可. 【详解】已知与均为单位向量， 则，，由它们的夹角为， 可得， 所以 ， 故选：D. 考点02 平面向量的综合应用 4．（2025·内蒙古·真题T20）已知向量，向量与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合平面向量的模长公式及平面向量内积的定义即可得解. （）根据题意结合平面向量垂直的性质即可得解. 小问1详解】 向量，向量与的夹角为，， 则由，解得. 【小问2详解】 因为，且， 则，故 则，解得. 5.（2024·内蒙古·真题T20）已知，，求满足，且的点的坐标. 【答案】或 【解析】 【分析】先设定，结合向量坐标的表示及运算，以及向量模的坐标表示，即可求解. 【详解】由题意，设， 又，， 所以， 即，得到， 又，即， 所以，解得或， 所以点坐标为或. 考点03 复数 6.（2025·内蒙古·真题T05）已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算求解即可. 详解】. 故选：B. 【举一反三】 1.（2023·内蒙古·真题T05）在中，，，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】用数量积定义计算即可得解. 【详解】因为在中，，， 所以. 故选：A 2．（25-26高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直的条件转化为向量内积为零求解即可. 【详解】向量，满足，， 则， 由，可得， 即，则有， 解得. 故选：A. 3．（25-26高三下·内蒙古赤峰·二模）已知是边上的一点，若，，则实数值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的分解与向量的线性运算求解即可； 【详解】因为是边上的一点，且， 所以， 所以，即， 所以，即. 故选：A 4．（25-26高三下·内蒙古·模拟预测）已知，，则（    ） A．4 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据向量内积的运算律列方程求解即可. 【详解】已知，， 由， 即，得， 解得， 故选：D. 5．（25-26高三上·山东·一模）如图所示，已知向量，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算，将用已知向量和表示. 【详解】由，可得： 化简可得： 代入，，得： 故选：D 6．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，且与不共线，列式求解即可． 【详解】由题意得，且与不共线， ∴，且，解得，且， 故的取值范围是． 故选：D． 7．（25-26高三下·内蒙古·三模）圆O中，弦满足，则（    ） A．2 B．4 C． D．1 【答案】A 【分析】利用数量积和投影的意义即可得出． 【详解】   如图，作,则. 则. 故选：A. 8．（25-26高三下·重庆·对口/高职单招）复数的实部为________． 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算及复数的定义求解即可. 【详解】， 所以复数的实部为. 故答案为：. 9．（25-26高三下·山西·对口/高职单招）已知平面向量，，且，则_____． 【答案】 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以， 解得. 故答案为：. 10．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知，是不共线的两个非零向量，，且与垂直， (1)求的值； (2)若与平行，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量线性运算与向量垂直的坐标表示，先求出x的值，继而求得的坐标，根据向量的模长，即可求解； （2）根据向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，， 因为与垂直， 所以， 即，解得， 所以， 所以， 所以； （2）由（1）得， 所以， ， 因为与平行， 所以，即， 所以. 11．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）已知与的夹角为. (1)求的值； (2)当实数为何值时，与垂直. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量内积的定义计算即可. （2）根据向量垂直则向量内积为零计算即可. 【详解】（1）由题意可得 ， . （2）与垂直, ， ， ，即， . 【拓展提升】 1．（25-26高三下·内蒙古·三模）已知i为虚数单位，则复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由复数的运算求出复数z，再写出共轭复数即可. 【详解】， 故其共轭复数为. 故选：C. 2．（25-26高三下·内蒙古赤峰·二模）复数满足（其中为虚数单位），则复数对应点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】根据复数的运算求得复数，进而得到其对应点的坐标确定象限； 【详解】因为复数满足，所以， 所以其对应点的坐标为，则其对应点位于第三象限， 故选：C 3．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）已知实系数一元二次方程，且方程有一个根为，则实数m的值为（    ） A．10 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据题意求出另一个根，利用韦达定理即可得解. 【详解】实系数一元二次方程，且方程有一个根为， 则另一个根为， 由韦达定理可知，，解得， 故选：. 4．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）若复数，则它在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的运算以及几何意义求解即可. 【详解】由已知，这个复数在复平面上对应点是， 即位于平面直角坐标系的第一象限. 故选：A. 5．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知复数，则复平面内对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共轭复数的概念和复数的几何意义求解即可. 【详解】复数，所以， 则复平面内对应的点的坐标是. 故选：B. 6．（23-24高三下·吉林·对口/高职单招）已知i是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 7．（25-26高三下·重庆·对口/高职单招）已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标表示列式即可求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 故选：C. 8．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知，，与垂直，则的值为__________． 【答案】 【分析】先由向量线性运算的坐标表示求出，再由与垂直可得，据此可求得的值. 【详解】因为，，所以，又与垂直， 所，即，所以. 故答案为：. 9．（23-24高二上·山东潍坊·期中）若单位向量，满足，且，则实数k的值为______． 【答案】6 【分析】根据，展开化简，即可求值. 【详解】， 因为向量，为单位向量，所以， 故答案为：6 10．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知向量的夹角为，且设 (1)若，求实数t的值. (2)当时，求夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直，内积为零即可求解. （2）根据向量的内积运算即可求解. 【详解】（1）向量的夹角为，且 由题意得， ， 则 即，解得. （2）当时， . . 则，夹角的余弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $