第7卷 正弦定理与余弦定理（教师讲解卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足内蒙古对口招生考纲，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑体系，系统梳理正弦定理与余弦定理的内容、变形及应用，精选近三年真题及变式题，培养推理能力与模型意识，实现方法迁移与能力提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|2表+3公式|定理内容、变形及应用场景系统梳理|概念（定理）→原理（变形推导）→应用（解三角形类型）| |真题精讲|2考点3真题|余弦定理求边长面积、正弦定理求边角|真题情境→定理选择→逻辑推理| |举一反三|10题|基础题型解法迁移|考点覆盖→变式训练→技能巩固| |拓展提升|11题|综合问题分析与转化|复杂情境→模型构建→能力提升|

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第7卷 正弦定理与余弦定理（教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 【真题精讲】 考点01 余弦定理 1.（2026·内蒙古·真题T21）某单位有一块如图所示的四边形空地 ，测得，，，，． （1）求的值； （2）若在这一空地上种植草皮，每平方米成本为 元，需要投入多少资金？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出的长，再由余弦定理求出的值，最后由二倍角的余弦公式求值即可. （2）根据三角形的面积公式求值即可. 【小问1详解】 连接，因为， ，， 所以， 因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，，， 所以，则， 所以，， 所以，因为每平方米成本为 元， 所以需要投入元. 2.（2025·内蒙古·真题T19）在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据三角形的性质得出角最大，结合余弦定理即可得解. （）根据题意结合两角和的正切公式即可得解. 【小问1详解】 在中，， 因为边最大，所以角最大， 则， 因为，所以. 【小问2详解】 ，则， 则. 所以. 故答案为：. 考点02 正弦定理 3.（2024·内蒙古·真题T19）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的关系式和正弦定理即可得解； （2）由二倍角公式和两角和的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 由，且， 得， 由正弦定理， 即. 【小问2详解】 ， ， 所以 . 【举一反三】 1．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）在中，已知a=7，b=5，c=3，则此三角形的最大内角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据大边对大角可知边所对的角为最大内角. 【详解】∵a=7，b=5，c=3, 根据大边对大角可知边所对的角为最大内角， ∴根据余弦定理可得， ∴. 故选:B. 2．（25-26高三下·重庆·对口/高职单招）已知的内角，，的对边分别是，，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边化为角，再通过两角和的正弦公式求解. 【详解】已知，根据正弦定理可得：， 整理可得：，即， 又，所以， 因为是三角形内角，则，所以，即， 又因为，所以. 故选：C. 3.（2023·内蒙古·真题T14）在中，，则 . 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为. 所以. 所以. 因为. 4．（13-14高三下·天津·职教高考）在中，已知，，，则________________ 【答案】/ 【分析】利用正弦定理，即可求解. 【详解】由题意知，，， 由正弦定理得， 即， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 5.（2023·内蒙古·真题T19）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行和正弦定理边角互化求解角度即可. （2）由三角形面积公式直接求解即可. 【小问1详解】 因为向量与平行， 所以有，即， 由正弦定理得, 又，， 从而, 由于， 所以. 【小问2详解】 因为，， 由（1）知，. 所以三角形的面积为. 6．（中职生对口升学考试一卷通（十四））在中，内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式化简得，解出，即可确定的大小. （2）根据余弦定理求值即可. 【详解】（1）在中，由，得，则， 即 ， ，解得或（舍去）. 又，. （2）在中，， 由余弦定理得， . 7．（中职生对口升学考试一卷通（十））在中，内角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据正弦定理，两角和与差的正弦公式，诱导公式，三角形的性质即可求解. （2）根据正余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 所以，又， 所以，所以，所以. （2）由（1）得，则由正弦定理得，又， 所以，所以. 8．（24-25高三下·河南·职教高考）在中，三个内角的对边分别为，三条边满足. (1)求； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题目条件以及余弦定理求解. （2）根据正弦定理以及三角形的面积公式求解. 【详解】（1）已知，根据余弦定理， 将代入可得， 因为，所以. （2）由正弦定理，已知，，， 则， 因为，所以，， 那么， 所以的面积. 9．（24-25高三上·广东·职教高考）已知在，内角的对边分别为， (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求解即可； （2）由正弦定理求解即可. 【详解】（1）已知， 由余弦定理得， 所以. （2）由（1）知且， 由正弦定理，得， 故. 10．（23-24高三下·江西·对口/高职单招）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)求AB边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积公式代入计算即可. （2）先由余弦定理求解边c，再由面积相等即可求解高. 【详解】（1）. （2）由余弦定理可得，， 所以, 设边上的高为则： ， 解得， 即：边上的高是. 【拓展提升】 1．（24-25高一下·吉林延边·期中）在中，若 ，则（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】在中，若 ， 由正弦定理，，得， 因为，所以，又， 所以. 故选：B. 2．（24-25高三下·吉林·职教高考）已知分别为三个内角的对边，且，边（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】因为， 所以在三角形中，由余弦定理可得， . 故选：A. 3．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）三角形三边满足，该三角形最大的内角是_______. 【答案】 【分析】根据比例设参数的方法求出，结合三角形的性质得到最大角为，利用余弦定理即可得解. 【详解】三角形三边满足， 设， 则， 所以， ， ， 所以最大边为，则该三角形最大的内角为， ， 因为，所以， 则该三角形最大的内角为， 故答案为：. 4．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）在中，已知，求的值为______. 【答案】 【分析】根据正弦定理得出的比值即可确定答案. 【详解】已知， 设， 则， 所以， 即 由正弦定理得，， 设， 则， 故答案为：. 5．（中职生对口升学考试一卷通（九））已知的内角所对的边分别为，且，则_____． 【答案】/ 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由，得． 故答案为：. 6．（25-26高三下·内蒙古·三模）在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c且满足． (1)求角B值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理求解即可. （2）根据二倍角公式以及两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，进而. 因为，解得. （2）若，则. 且，进而. . 7．（21-22高二上·新疆喀什·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，. (1)求a，c的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求出的值，进而求得a，c的值； （2）先由同角三角函数求出，再利用正弦定理求出，最后利用两角差的正弦公式即可得解. 【详解】（1）由余弦定理，得， 即， 又因为，，，则，所以， 由，，解得. （2）因为在中，， 所以. 由正弦定理，得， 因为，所以A为锐角， 所以， 所以 . 8．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三内角A，C，B成等差数列，.若向量，共线.求a，b的值. 【答案】 【分析】利用三个内角成等差数列，可求得角,再利用两向量共线，可求得角,然后利用正弦定理求解. 【详解】在中，三内角成等差数列，所以有, 又因三角形内角和,所以; 因为共线，所以, 又因, 即,，所以,; 由正弦定理可得， . 9．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）已知在的三边分别为，且， (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理以及同角三角函数的关系求解即可. （2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理及已知得， 即得，即，因为，所以. （2）由余弦定理得，即得， 即为，解得，所以， 因此. 10．（2025-2026学年黑龙江省职教高考文化课统一考试数学试题）在中，已知，，，求BC的长和的面积． 【答案】， 【分析】由余弦定理和三角形的面积公式即可得解. 【详解】在中， ，，， 由余弦定理可得 ， 所以， . 11．（24-25高三下·浙江·职教高考）如图，在中，，，D是AB上一点，且，.    (1)的大小； (2)的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的余弦定理和特殊角的三角函数值求解即可； （2）由（1）可知，再结合三角函数的正弦定理、两角差的正弦公式和三角形面积公式，分析求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， 又， 所以. （2）因为， 所以； 因为， 所以； 因为， 所以 ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第7卷 正弦定理与余弦定理（教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 【真题精讲】 考点01 余弦定理 1.（2026·内蒙古·真题T21）某单位有一块如图所示的四边形空地 ，测得，，，，． （1）求的值； （2）若在这一空地上种植草皮，每平方米成本为 元，需要投入多少资金？ 2.（2025·内蒙古·真题T19）在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 考点02 正弦定理 3.（2024·内蒙古·真题T19）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求； （2）求. 【举一反三】 1．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）在中，已知a=7，b=5，c=3，则此三角形的最大内角是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·重庆·对口/高职单招）已知的内角，，的对边分别是，，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 3.（2023·内蒙古·真题T14）在中，，则 . 4．（13-14高三下·天津·职教高考）在中，已知，，，则________________ 5.（2023·内蒙古·真题T19）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 6．（中职生对口升学考试一卷通（十四））在中，内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)求的值. 7．（中职生对口升学考试一卷通（十））在中，内角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 8．（24-25高三下·河南·职教高考）在中，三个内角的对边分别为，三条边满足. (1)求； (2)若，，求的面积. 9．（24-25高三上·广东·职教高考）已知在，内角的对边分别为， (1)求； (2)求. 10．（23-24高三下·江西·对口/高职单招）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)求AB边上的高． 【拓展提升】 1．（24-25高一下·吉林延边·期中）在中，若 ，则（     ） A． B． C． D．或 2．（24-25高三下·吉林·职教高考）已知分别为三个内角的对边，且，边（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）三角形三边满足，该三角形最大的内角是_______. 4．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）在中，已知，求的值为______. 5．（中职生对口升学考试一卷通（九））已知的内角所对的边分别为，且，则_____． 6．（25-26高三下·内蒙古·三模）在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c且满足． (1)求角B值； (2)若，求的值． 7．（21-22高二上·新疆喀什·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，. (1)求a，c的值； (2)求的值. 8．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三内角A，C，B成等差数列，.若向量，共线.求a，b的值. 9．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）已知在的三边分别为，且， (1)求； (2)若，求的面积. 10．（2025-2026学年黑龙江省职教高考文化课统一考试数学试题）在中，已知，，，求BC的长和的面积． 11．（24-25高三下·浙江·职教高考）如图，在中，，，D是AB上一点，且，.    (1)的大小； (2)的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $