第6卷 三角函数的图像与性质（学生练习卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以内蒙古对口招生数学考纲为核心，构建“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”四维训练体系，聚焦三角函数图像与性质专题，实现从基础概念到综合应用的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选1-3、6|通过真题回顾周期、最值等核心概念，强化抽象能力|从三角函数定义出发，构建“定义-图像-性质”逻辑链| |图像变换|单选13-14、填空16、20|提炼平移伸缩变换规律，培养几何直观|结合图像特征推导变换法则，体现空间观念| |性质应用|单选4-5、7-12、15、填空18-19|归纳单调性、对称性判断方法，发展推理能力|以性质为桥梁，连接概念与实际问题，渗透模型意识| |综合解答|解答21-24|通过“五点法”作图等规范解题流程，提升应用意识|整合图像与性质，形成“识图-用图-建模”完整解题路径|

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第6卷 三角函数的图像与性质 （学生练习卷） 一、单选题 1.（2026·内蒙古·真题T08）若函数（）的图象与直线只有一个交点，则实数 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过 的取值范围确定的取值范围，结合正弦函数在上的图象与性质，判断直线与给定函数仅有一个交点时 的取值即可 【详解】当时，， 所以，则， 函数在是一个完整周期的正弦曲线， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 若直线与图像只有一个交点，说明直线只经过函数的最高点或最低点， 因为当时函数与有两个或三个交点， 当时，函数与没有交点， 所以 或， 故选：D. 2．下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】由，得， 对比选项，只有选项D，符合. 故选：D. 3．函数取得最大值时，的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的性质即可求解. 【详解】函数取得最大值为1， 此时， 当时. 故选：D. 4．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点，中心对称 C．函数在单调递减 D．将该图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象 【答案】D 【分析】根据正弦型三角函数的图像及性质分析求解即可. 【详解】由图像可知：， 所以函数的最小正周期， 所以，解得：； 又因为图像过点，所以， 解得：，因为，所以， 因此函数解析式为：. 对于A选项：最小正周期，故A错误； 对于B选项：令，解得：， 即函数的对称中心为，，与，不一致，故B错误； 对于C选项：当时，， 此时函数在该区间先减后增，故非单调递减，故C错误； 对于D选项：由选项的平移变换后的解析式为： ，故D正确； 故选：D. 5．若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用周期公式求出的值，再根据正弦函数对称轴的性质得到对称轴通式，代入整数即可验证. 【详解】已知函数的最小正周期为，所以. 因此函数解析式为. 令，解得. 令，解得. 令，解得. 令，解得. 令，解得. 故选：B. 6．若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数的值域建立关于m的不等式，求解不等式即可得到m的取值范围. 【详解】根据正弦函数的性质，对任意实数，均有， 要使有意义，则需满足， 解得，即实数的取值范围是. 故选：A. 7．函数的最大值是（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】通过换元将含正弦的函数转化为二次函数，结合二次函数单调性求解最大值即可. 【详解】令，由正弦函数的值域可得， 则原函数等价于，， 该函数为开口向上的二次函数，二次项系数，对称轴为， 因此函数在区间上单调递减， 当时，函数取得最大值，代入得. 故选：D. 8．函数在区间上的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的单调性求值即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以最小值为，最大值为，值域为． 故选：D. 9．函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【分析】根据题意结合正弦函数的性质即可得解. 【详解】函数定义域为， ，符合偶函数的定义，故错误； 又因为的最小正周期为，是将的图像在轴下方的部分翻折到上方，图像如图所示：    所以的最小正周期为，故错误，正确， 故选：. 10．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值以及正弦函数的单调性求解即可. 【详解】选项A，，，即，A错误. 选项B，因为，在此区间递减，因此，B错误； 选项C，，C正确； 选项D，，D错误. 故选：C. 11．函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】根据正弦函数的最值求解即可. 【详解】函数 所以函数的最大值为. 故选：B. 12．已知函数，则（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换得，利用正弦函数的单调性逐项判断即可. 对于AB，当时，，而正弦函数在上先递增后递减， 因此函数在区间上不单调，AB错误； 对于CD，当时，，而正弦函数在上单调递减， 因此在区间上单调递减，C错误，D正确. 故选：D 13．将函数的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，所得图像对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数图像变换对应解析式变换求解即可. 【详解】将函数的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，则周期变为原来的一半， 则所得图像对应的函数解析式为. 故选：C 14．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据正弦型函数图像的平移变换即可求解. 【详解】因为函数， 要得到函数的图像， 需要将函数的图像向左平移个单位长度. 故选：A. 15．下列说法不正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的值域是 C．函数的最小正周期是 D．函数在上是减函数 【答案】D 【分析】根据正弦函数、余弦函数的基本性质逐一验证各选项的表述，选出错误的选项. 【详解】选项A：的定义域为，且，符合奇函数定义，故A正确. 选项B：对任意，的最大值为，最小值为，即值域为，故B正确. 选项C：余弦函数的周期为，其中最小的正周期为，故C正确. 选项D：由正弦函数的单调性可知，在上单调递增，不是减函数，故D错误. 故选：D. 二、填空题 16.（2025·内蒙古·真题T17）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合图像的平移变化规律即可得解. 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 则， 所以，因为， 所以， 故答案为：. 17.（2024·内蒙古·真题T16） 如图，某小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿着走到用了1分钟，从沿着走到用了2分钟.若此人步行的速度为每分钟米，则该扇形的半径为_________.米. 【答案】 【解析】 【分析】连接，分别得出的长，再由余弦定理求值即可. 【详解】已知此人步行速度为每分钟米， 所以，， 其中， 因为，所以， 连接， ， 所以. 则该扇形的半径为， 故答案为：. 18．已知函数的最小正周期为，则________. 【答案】6 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式即可得解. 【详解】函数的最小正周期为， 则，解得， 故答案为：. 19．设和分别表示函数的最大值和最小值，则等于________． 【答案】2 【分析】根据正弦函数的最值得到函数的最值，即可解得. 【详解】因为，则， 所以函数的最大值，最小值， 所以. 故答案为：2 20．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为__________. 【答案】 【分析】根据正弦函数的平移伸缩变换规则求解即可. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 可得，再左移变为  . 故答案为：. 三、解答题 21．已知正弦型函数的图像如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求当x取何值时，函数取得最小值，并求出函数的最小值. 【答案】(1) (2)，最小值是 【分析】（1）首先由最值确定的值，再由周期确定的值，最后将代入函数解析式中求解即可. （2）运用整体法列方程求解即可. 【详解】（1）由图像可知函数的最大值为，最小值为， 因为，所以， 因为，所以， 解得，则， 将代入得， 即，得， 解得，因为， 所以，所以. （2）由（1）可得，， 当时，， 此时，解得， 所以当，有最小值是. 22．已知函数. (1)求该函数的最小正周期； (2)若将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，用“五点法”作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图. 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式化简函数，再根据正弦函数的周期求解即可. （2）根据图像平移规律得到，再根据五点法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以该函数的最小正周期. （2）. 列表： 0 0 3 0 0 描点、连线、标示图象：    得到函数在上的简图. 23．已知函数． (1)求的最大值； (2)设，则把函数的图象沿x轴至少向左平移多少个单位长度，可得到函数的图象？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的余弦公式和辅助角公式可得，可求最大值； （2）设把函数的图象向左平移t个单位长度，利用平移求得， 令，计算求解即可. （1） ， 因，故的最大值为． （2）设把函数的图象向左平移t个单位长度，可得到函数的图象， 则有恒成立， 故有，得， 要使为最小正数，则取，此时， 即把函数的图象沿x轴至少向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 24．已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若的最小正周期为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到函数解析式，代入，结合诱导公式求值即可. （2）先化解函数解析式，再根据三角函数最小正周期可解出的值. 【详解】（1）当时，， 把代入，， 又，， 即. （2） ， 又函数的最小正周期为，， 即，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第6卷 三角函数的图像与性质 （学生练习卷） 一、单选题 1.（2026·内蒙古·真题T08）若函数（）的图象与直线只有一个交点，则实数 的值是（ ） A. B. C. D. 2．下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 3．函数取得最大值时，的取值可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点，中心对称 C．函数在单调递减 D．将该图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象 5．若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程是（ ） A． B． C． D． 6．若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．函数的最大值是（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 8．函数在区间上的值域是（    ） A． B． C． D． 9．函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 10．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 12．已知函数，则（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 13．将函数的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，所得图像对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 14．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 15．下列说法不正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的值域是 C．函数的最小正周期是 D．函数在上是减函数 二、填空题 16.（2025·内蒙古·真题T17）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为__________. 17.（2024·内蒙古·真题T16） 如图，某小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿着走到用了1分钟，从沿着走到用了2分钟.若此人步行的速度为每分钟米，则该扇形的半径为_________.米. 18．已知函数的最小正周期为，则________. 19．设和分别表示函数的最大值和最小值，则等于________． 20．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为__________. 三、解答题 21．已知正弦型函数的图像如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求当x取何值时，函数取得最小值，并求出函数的最小值. 22．已知函数. (1)求该函数的最小正周期； (2)若将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，用“五点法”作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图. 23．已知函数． (1)求的最大值； (2)设，则把函数的图象沿x轴至少向左平移多少个单位长度，可得到函数的图象？ 24．已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若的最小正周期为，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $