第10卷 直线与圆（学生练习卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦直线与圆专题，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑体系，师生双卷+PPT配套，强化几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|20题（含3道真题）|圆的方程互化、位置关系判断（距离公式）、切线方程（点斜式）、弦长计算（垂径定理）|从圆的概念（圆心/半径）到方程（标准/一般），再到直线与圆位置关系，形成“概念-方程-应用”推导链| |解答题|4题|轨迹方程求法、切线方程求解、弦长计算、圆的方程确定|通过实际问题（如拱桥）与代数运算结合，体现模型意识与推理能力|

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第10卷 直线与圆 （学生练习卷） 一、单选题 1．已知动圆M经过定点且和直线相切，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆相切的性质、抛物线的定义及标准方程求解. 【详解】因为动圆M经过定点，且和直线相切， 所以点M到点的距离等于它到直线的距离， 又点不在直线上， 所以M的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线． 设抛物线方程为，则，解得， 故点M的轨迹方程为， 故选：B． 2．圆的圆心坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆心坐标即可. 【详解】圆的圆心坐标是， 故选：A. 3．某圆拱桥跨度为20m，拱高为4m，则该圆拱桥所在圆的半径为（     ） A．14.5m B．12.5m C．10.5m D．8.5m 【答案】A 【分析】设出圆心和半径，根据题意找出数量关系，由勾股定理设出方程即可求解. 【详解】    如图所示，设圆心为，半径为，圆拱桥最高点为， 纵截面与水面交点分别为和，中点为， 所以，， 由题意可知，，， 由勾股定理可知， 即，解得：， 所以该圆拱桥所在圆的半径为. 故选：A. 4．已知圆，则圆C的圆心和半径分别为（     ） A．，3 B．，3 C．，9 D．，9 【答案】A 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而得出圆心坐标和半径. 【详解】已知圆的方程为，即， 可知圆心坐标为，半径， 故选：A. 5．圆O的方程为，直线，直线，则两直线与圆的位置关系分别是（    ） A．相交，相交 B．相切，相交 C．相离，相交 D．相交，相离 【答案】A 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再利用点到直线的距离判断即可. 【详解】因为圆的方程为：， 所以圆心坐标为：，半径， 因为圆心到直线（即）的距离， 所以圆与直线相交； 因为圆心到直线（即）的距离， 所以圆与直线相交. 故选：A. 6．过圆外一点作圆的切线，则切线方程为（     ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】分情况讨论切线的斜率是否存在，根据圆心到切线的距离等于半径求解. 【详解】圆的圆心，半径， 当切线斜率不存在时：切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当切线斜率存在时：设切线方程为，即， 根据圆心到切线的距离等于半径，可得：，解得， 则切线方程为， 综上，切线方程为或， 故选：A. 7．若在圆的外部，则的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系判定即可. 【详解】已知在圆的外部， 则，化简得. 故选：A. 8．直线被圆截得的最短弦长为（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】首先确定直线所过定点，再由圆心到直线的距离最大时，弦长最短并由弦长公式求值即可. 【详解】直线过定点， 已知圆的圆心为，半径， 则，当圆心到直线的距离最大时， 即时，弦长最短， 此时弦长为， 故选：B. 9．已知直线 与圆 的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【分析】比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小即可得出结论. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交， 故选：C. 10．已知直线与圆相交于A、B两点，则弦AB的长为（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离， 则弦长. 故选：B. 11．圆心为，半径为的圆的标准方程为（     ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心和半径写出圆的标准方程即可得解. 【详解】圆心为，半径为的圆的标准方程为， 故选：. 12．圆上的点到直线的最大距离为（     ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据圆上点到直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上半径计算即可. 【详解】由圆可得，圆心，半径. 圆心到直线的距离， 所以圆上点到直线的最大距离为. 故选：C. 13．若圆被直线所截得的弦长为8，则实数的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求出圆心坐标和半径，再利用垂径定理和点到直线距离公式建立方程，求解即可. 【详解】圆的标准方程为，则圆心为，半径. 因为圆被直线所截得的弦长为8， 则圆心到直线的距离， 所以，化简整理得， 解得：或. 故选：D. 14．若过点的直线与圆相切于点，则切线长等于（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据两点间的距离公式求出的值，又，则为直角三角形，根据勾股定理即可求解. 【详解】由圆的方程可得圆心为，半径为， 因为， 又，则为直角三角形， 所以. 故选：A.    15．已知直线l过圆的圆心，且与直线平行，则直线l的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设直线l的方程是，由圆的方程求出圆心代入直线的方程中即可求解. 【详解】根据题意，设直线l的方程是， 由圆得圆心， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线l的方程是． 故选：B. 二、填空题 16．（2021·内蒙古·真题T15）已知圆的圆心坐标为，则圆的半径是 . 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的一般式方程转化为标准方程即可求解. 【详解】因为. 所以. 因为圆心为. 所以即. 所以. 所以半径为. 故答案为：. 17．直线被圆截得的弦长为__________. 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再结合圆的半径，利用弦长公式求解. 【详解】已知圆的方程为， 可得圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离为：， 所以弦长. 故答案为：. 18．圆的圆心到直线的距离为__________. 【答案】2 【分析】先根据圆的一般方程求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为圆的一般方程为， 所以，所以圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离. 故答案为：. 19.（2024·内蒙古·真题T15）已知点，，若动点满足，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的坐标表示及内积的坐标运算，表示出，结合圆的标准方程，可判断点的运动轨迹，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意，设动点坐标，则， 又，即， 所以，即， 所以动点在以圆心为，半径的圆周上运动， 所以圆心到直线l的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 故答案：. 20.（2022·内蒙古·真题T15）若直线过圆：的圆心，则的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】圆心坐标代入直线方程即可得解． 【详解】圆：的圆心为，即， 代入直线，得，解得． 故答案为：3． 三、解答题 21．已知圆的方程为. (1)求过点的圆的切线方程； (2)求直线被圆截得的弦长. 【答案】(1)或 (2)直线与圆相离，无弦长 【分析】（1）先将圆的方程转化为标准方程，并求出圆心和半径，再利用点与圆的位置关系分情况讨论切线斜率，结合圆心到直线的距离公式求解即可. （2）利用点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系，进而求解弦长即可. 【详解】（1）圆的一般方程转化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径， 因为，所以点在圆外， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 但此时圆心到直线（即）的距离，不符合题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 解得：或， 当时，切线方程为； 当时，切线方程为，即， 所以切线方程为：或. （2）因为圆的圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相离，无弦长. 22．已知圆的方程为，求： (1)该圆的圆心坐标和半径； (2)判断点M与圆的位置关系． 【答案】(1)圆心坐标，半径为5 (2)在圆内 【分析】（1）利用配方法将圆的一般方程转化为标准方程，求出圆心以及半径即可. （2）根据点到圆心的距离与半径比较，得到点与圆的位置关系即可. 【详解】（1）圆的方程为，配方得，因此圆心为，半径为. （2）点M到圆心的距离，故点在圆内. 24．已知圆的圆心坐标为，经过点 (1)求圆的标准方程； (2)直线：与圆相交截得的弦长为多少？ 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据圆的标准方程即可求解. （2）解法一：由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据弦长公式即可求解. 解法二：联立直线方程与圆的方程，求出交点坐标，根据两点间的距离公式即可求解. 【详解】（1）由已知可得圆的半径， 圆的标准方程为. （2）解法1：圆心到直线的距离， 因为弦长，所以. 解法2：联立方程组，化简得， 解得，，，， 所以交点坐标为，， 所以弦长为. 24．已知圆过两点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点且与圆相切的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的方程为，再将两点坐标代入求解即可. （2）分别考虑斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，设切线的斜率为，切线方程为，再由圆心到切线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】（1）设圆心坐标为，半径为， 则圆的方程为， 根据已知条件得方程组， 即，整理得， 解得，， 因此，圆的方程为. （2）圆的方程为的圆心坐标为，半径为. ， 点在圆外， 因此，过且与圆相切的切线有两条. 当斜率存在时，设切线的斜率为， 则切线方程为：，即， 根据圆心到切线的距离等于半径，可得， 即，解得，， 因此，过且与圆相切的切线方程为或， 当斜率不存在时，直线方程为， 圆心到该直线的距离为，不符合题意， 所以过且与圆相切的切线方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第10卷 直线与圆 （学生练习卷） 一、单选题 1．已知动圆M经过定点且和直线相切，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．圆的圆心坐标是（   ） A． B． C． D． 3．某圆拱桥跨度为20m，拱高为4m，则该圆拱桥所在圆的半径为（     ） A．14.5m B．12.5m C．10.5m D．8.5m 4．已知圆，则圆C的圆心和半径分别为（     ） A．，3 B．，3 C．，9 D．，9 5．圆O的方程为，直线，直线，则两直线与圆的位置关系分别是（    ） A．相交，相交 B．相切，相交 C．相离，相交 D．相交，相离 6．过圆外一点作圆的切线，则切线方程为（     ） A．或 B．或 C． D．或 7．若在圆的外部，则的范围是（     ） A． B． C． D． 8．直线被圆截得的最短弦长为（     ） A．2 B． C． D．4 9．已知直线 与圆 的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 10．已知直线与圆相交于A、B两点，则弦AB的长为（     ） A．2 B． C． D．4 11．圆心为，半径为的圆的标准方程为（     ） A． B．C． D． 12．圆上的点到直线的最大距离为（     ） A．1 B．3 C．5 D．7 13．若圆被直线所截得的弦长为8，则实数的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 14．若过点的直线与圆相切于点，则切线长等于（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．已知直线l过圆的圆心，且与直线平行，则直线l的方程是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 16．（2021·内蒙古·真题T15）已知圆的圆心坐标为，则圆的半径是 . 17．直线被圆截得的弦长为__________. 18．圆的圆心到直线的距离为__________. 19.（2024·内蒙古·真题T15）已知点，，若动点满足，则点到直线的距离的最小值为 . 20.（2022·内蒙古·真题T15）若直线过圆：的圆心，则的值为______. 三、解答题 21．已知圆的方程为. (1)求过点的圆的切线方程； (2)求直线被圆截得的弦长. 22．已知圆的方程为，求： (1)该圆的圆心坐标和半径； (2)判断点M与圆的位置关系． 23．已知圆的圆心坐标为，经过点 (1)求圆的标准方程； (2)直线：与圆相交截得的弦长为多少？ 24．已知圆过两点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点且与圆相切的切线方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $