第10卷 直线与圆（教师讲解卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足内蒙古对口招生考纲，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统整合圆的方程及位置关系考点，通过真题同源训练发展运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|圆的定义与方程、位置关系|几何法（d与r）/代数法（Δ）判断位置关系|从定义生成方程，通过距离公式推导位置关系判定法则| |真题精讲|3道近3年真题|方程互化、切线性质应用|聚焦圆的方程求解与位置关系综合应用，示范解题规范| |举一反三|12题（选择/填空/解答）|最值问题转化、弦长计算|覆盖核心题型变式，强化方法迁移能力| |拓展提升|10题综合题|轨迹方程推导、切线方程求解|深化知识综合应用，培养模型观念与创新意识|

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第10卷 直线与圆（教师讲解卷） 【概念回顾】 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 2．点与圆的位置关系 (1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种关系： 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)． ①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上； ②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外； ③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内． 3.直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 　　方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d＜r Δ＞0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d＞r Δ＜0 【真题精讲】 考点01 圆的方程 1．（2021·内蒙古·真题T15）已知圆的圆心坐标为，则圆的半径是 . 考点02 直线与圆的位置关系 2.（2025·内蒙古·真题T24）已知圆与直线相切于点. （1）求的值； （2）过圆内一点的直线与圆交于两点，求弦长的最小值. 3.（2024·内蒙古·真题T24）已知圆的圆心在轴上，且圆与轴相切，点在圆上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，且，求的值． 4.（2024·内蒙古·真题T15）已知点，，若动点满足，则点到直线的距离的最小值为 . 【举一反三】 1．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）若圆上的点到直线的最近距离为1，则圆的半径为（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 2．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）设，，若圆经过A， B两点，且周长最小，则圆的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）两条不重合的直线和直线被圆截得的弦长相等，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）直线与圆有交点，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 5.（2022·内蒙古·真题T15）若直线过圆：的圆心，则的值为______. 6．（25-26高三下·重庆·对口/高职单招）若直线与圆相切，则________． 7．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）已知，，为圆的直径，则圆的标准方程为_____. 8．（25-26高三下·山东烟台·对口/高职单招）已知圆心坐标为 ，圆的半径 ，则圆的标准方程为________ 9.（2023·内蒙古·真题T24）已知点，，圆C经过A，B两点且周长最小． （1）求圆C的标准方程； （2）求经过点且与圆C相切的直线l的方程； （3）已知点，，点P是圆C上的动点，求的面积的最大值． 10．（25-26高三下·湖北·职教高考）已知圆 ，直线 过原点，且圆心 到直线 距离为. (1)求圆 的圆心坐标和半径； (2)判断直线 与圆 的位置关系，并求直线 的方程. 11．（25-26高三·云南·对口/高职单招）已知直线，圆C： (1)求圆C的圆心坐标和半径： (2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 12．（24-25高一下·吉林延边·期中）已知圆C：，求过点且与圆C相切的直线方程. 【拓展提升】 1．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知圆的圆心到直线的距离为d，则结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（19-20高三下·河南·对口/高职单招）圆的半径等于（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（20-21高三下·河南·对口/高职单招）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·广西·对口/高职单招）圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C．相切 D．相离 6．（25-26高三下·内蒙古·三模）已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆C与直线和轴相切． (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于，两点且，求值； (3)对于任意实数，证明直线与圆总有两个交点． 7．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）已知圆的半径为，圆心在直线上，圆被直线截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)若圆的圆心在第一象限，过点作圆的切线，切点为，求长. 8．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心在直线： 上，求: (1)求圆心为C的圆的标准方程; (2)设点P在圆C上，点Q在直线上，求|PQ|的最小值; (3)若过点作圆C的切线，求该切线方程. 9．（25-26高三下·湖南·对口/高职单招）已知点，点，动点满足． (1)求的轨迹的方程； (2)若过的直线交于、两点，且的面积为，求的方程． 10．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知直线：与圆相切，且圆心的坐标为． (1)求圆的标准方程； (2)设，分别为圆与轴的交点，为圆与直线的切点，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第10卷 直线与圆（教师讲解卷） 【概念回顾】 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 2．点与圆的位置关系 (1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种关系： 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)． ①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上； ②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外； ③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内． 3.直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 　　方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d＜r Δ＞0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d＞r Δ＜0 【真题精讲】 考点01 圆的方程 1．（2021·内蒙古·真题T15）已知圆的圆心坐标为，则圆的半径是 . 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的一般式方程转化为标准方程即可求解. 【详解】因为. 所以. 因为圆心为. 所以即. 所以. 所以半径为. 故答案为：. 考点02 直线与圆的位置关系 2.（2025·内蒙古·真题T24）已知圆与直线相切于点. （1）求的值； （2）过圆内一点的直线与圆交于两点，求弦长的最小值. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（）根据直线与圆相切的性质列出方程组即可得解. （）根据直线时，弦为最小值，结合两点解距离公式及弦长公式即可得解. 【小问1详解】 圆，则圆心坐标为， 圆与直线相切于点， 直线，则直线斜率为， 所以直线的斜率为，即， 又因为点在圆上，则， 联立方程组得，解得， 所以，. 【小问2详解】 因为，， 所以圆， 所以圆心坐标，半径， 当直线时，弦为最小值， ， ， 所以弦长的最小值为. 3.（2024·内蒙古·真题T24）已知圆的圆心在轴上，且圆与轴相切，点在圆上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，且，求的值． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的圆心，再根据圆的定义求解即可. （2）根据点到直线的距离公式以及弦长公式求解即可. 【小问1详解】 设圆心为. 因为圆与轴相切，所以半径为. 因为点在圆上，所以 展开得 所以圆心为，半径. 进而圆的标准方程：. 【小问2详解】 由（1）得圆心为，直线为：， 则圆心到直线的距离为. 因为弦长，半径，所以：， 解得，所以，化简得. 解得或. 4.（2024·内蒙古·真题T15）已知点，，若动点满足，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的坐标表示及内积的坐标运算，表示出，结合圆的标准方程，可判断点的运动轨迹，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意，设动点坐标，则， 又，即， 所以，即， 所以动点在以圆心为，半径的圆周上运动， 所以圆心到直线l的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 故答案：. 【举一反三】 1．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）若圆上的点到直线的最近距离为1，则圆的半径为（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】A 【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据圆上的点到直线的最近距离与圆心到直线的距离和圆半径的关系，进而求出圆的半径. 【详解】因为圆，所以圆心坐标为. 圆心到直线的距离为. 因为圆上的点到直线的最近距离为圆心到直线的距离减去圆的半径， 已知圆上的点到直线的最近距离为1，圆心到直线的距离5， 设圆的半径为，则可列出，解得. 故选：A. 2．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）设，，若圆经过A， B两点，且周长最小，则圆的方程是（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求出以线段为直径的圆，即为所求周长最小的圆的方程. 【详解】∵圆过点，，且周长最小， ∴所求的圆是以为直径的圆， 故方程为， 整理得. 故选：B. 3．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）两条不重合的直线和直线被圆截得的弦长相等，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标及半径，利用点到直线距离公式即可得解. 【详解】圆，圆心坐标为，半径为， 则圆心到直线即的距离为， 圆心到直线即的距离为， 由题意得，解得或， 又因为两条直线不重合，当时，两直线重合，所以舍去， 所以， 故选：. 4．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）直线与圆有交点，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线与圆有交点，根据圆心到直线的距离小于等于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径. 直线与圆有交点，则圆心到直线的距离d满足： ，化简得：， 解得：，所以实数m的取值范围是. 故选：A 5.（2022·内蒙古·真题T15）若直线过圆：的圆心，则的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】圆心坐标代入直线方程即可得解． 【详解】圆：的圆心为，即， 代入直线，得，解得． 故答案为：3． 6．（25-26高三下·重庆·对口/高职单招）若直线与圆相切，则________． 【答案】 【分析】由圆的方程求出圆心和半径，再根据圆心到直线的距离等于半径列式即可求解. 【详解】由圆的方程可知圆心为，半径为， 因为直线与圆相切， 所以直线到圆心的距离即为半径，即， 整理为，解得. 故答案为：. 7．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）已知，，为圆的直径，则圆的标准方程为_____. 【答案】 【分析】根据直径的中点是圆心和直径的一半为半径结合圆的标准方程即可解答. 【详解】已知，， 中点为，即圆心为， ，则半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 8．（25-26高三下·山东烟台·对口/高职单招）已知圆心坐标为 ，圆的半径 ，则圆的标准方程为________ 【答案】 【分析】根据圆的标准方程求解. 【详解】已知圆心坐标为，圆的半径， 所以圆的标准方程为，即， 故答案为：. 9.（2023·内蒙古·真题T24）已知点，，圆C经过A，B两点且周长最小． （1）求圆C的标准方程； （2）求经过点且与圆C相切的直线l的方程； （3）已知点，，点P是圆C上的动点，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）2 【解析】 【分析】（1）当AB为圆C的直径时，圆C的周长最小，即可求出圆心C的坐标和半径r，故可得出圆C的标准方程. （2）分两种情况进行讨论:直线l的斜率不存在以及直线l的斜率存在，由圆心到直线的距离即可求解斜率. （3）易知点O，M，圆心C都在y轴上，以及OM的长，所以可判断出当轴时，的面积取得最大值，故可求出答案. 【小问1详解】 当AB为圆C直径时，圆C的周长最小， 所以圆心C的坐标为，即， 半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时:， 与圆C相切，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设:，即. 由题意得圆心到直线距离为，，即， 解得. 所以， 综上，直线l的方程为或. 【小问3详解】 由题意知， 点O，M，圆心C都在y轴上，点P是圆C上的动点，所以当轴时， 的面积取得最大值，此时. 故，. 10．（25-26高三下·湖北·职教高考）已知圆 ，直线 过原点，且圆心 到直线 距离为. (1)求圆 的圆心坐标和半径； (2)判断直线 与圆 的位置关系，并求直线 的方程. 【答案】(1)圆心为，半径为 (2)相切； 或 【分析】（1）将圆的一般方程转化为标准方程确定圆心和半径即可. （2）由圆心到直线的距离和半径作比较确定直线和圆的位置关系，再分别讨论直线的斜率存在不存在两种情况，并由点到直线的距离公式求值即可. 【详解】（1）由圆的方程， 配方得， 所以圆心为，半径 . （2）圆心到直线距离 ，故直线与圆相切. 当直线斜率不存在时，方程为 ，圆心到直线距离为，符合条件， 当直线斜率存在，设，即 ， 由点到直线距离公式，得， 平方化简得，解得 ， 直线方程：，即 . 综上所述，直线 的方程为 或 . 11．（25-26高三·云南·对口/高职单招）已知直线，圆C： (1)求圆C的圆心坐标和半径： (2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)圆心坐标，半径为2 (2)相交，理由见解析 【分析】（1）根据圆的方程确定圆心坐标与半径即可； （2）根据圆心到直线的距离与半径的比较判断即可. 【详解】（1）因为圆C： 所以圆心坐标为，半径为. （2）因为圆心到直线的距离为， 所以，即直线与圆相交. 12．（24-25高一下·吉林延边·期中）已知圆C：，求过点且与圆C相切的直线方程. 【答案】 【分析】根据圆的标准方程得到圆心和半径，计算圆心到切点的斜率，即可得到切线的斜率，即可求解. 【详解】由题意知圆C：，点在圆上， 所以圆心，半径， 则， 即过点的切线斜率为, 所以过点且与圆C相切的直线方程为, 即. 【拓展提升】 1．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知圆的圆心到直线的距离为d，则结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标，再点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆可化为，因此圆心为. 圆心到直线的距离. 因为，所以，进而. 故选：C. 2．（19-20高三下·河南·对口/高职单招）圆的半径等于（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程可直接求出半径. 【详解】圆心在原点的圆的标准方程为， 其中为圆的半径， ， 所以圆的半径等于4， 故选：B 3．（20-21高三下·河南·对口/高职单招）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程求解即可. 【详解】圆的圆心坐标为. 故选：A. 4．（25-26高三下·广西·对口/高职单招）圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程求解即可. 【详解】因为圆的方程为，则圆心坐标为. 故选：A. 5．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，再与半径进行比较即可判断. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 因为且，所以直线与圆的位置关系是相交但不过圆心. 故选：B. 6．（25-26高三下·内蒙古·三模）已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆C与直线和轴相切． (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于，两点且，求值； (3)对于任意实数，证明直线与圆总有两个交点． 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）首先设圆心坐标为，再由直线与圆相切可得出，再写出圆的标准方程即可. （2）根据点到直线的距离表示出圆心到直线的距离，再由弦长公式列方程求解即可. （3）由（2）可知圆心到直线的距离为，证明恒成立即可求解. 【详解】（1）设圆的圆心坐标为，因为圆C与直线和轴相切， 所以点到直线和轴的距离相等，即为圆的半径， 因为点到直线的距离为，所以， 又点到轴的距离为m，所以， 则圆心为，半径为，所以圆的方程为. （2）因为圆心到直线的距离为，又， 所以弦长，解得. （3）由（2）可知圆心到直线的距离为， 因为，所以，所以，即恒成立， 所以对于任意实数，直线与圆总有两个交点． 7．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）已知圆的半径为，圆心在直线上，圆被直线截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)若圆的圆心在第一象限，过点作圆的切线，切点为，求长. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由题意，设圆心为，由已知可得，求解可得，则圆的方程可求. （2）由题意可得圆的方程为，再由两点间的距离公式求得，结合勾股定理求得. 【详解】（1）∵圆心在直线上，设圆心，， ∴圆， 圆心到直线的距离， 又圆被直线截得的弦长为 ，即，，解得； 时圆方程为； 时圆方程为. （2）圆心在第一象限，则圆， ∵为圆的切线，且为切点，为直角三角形， 则，，， . 8．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心在直线： 上，求: (1)求圆心为C的圆的标准方程; (2)设点P在圆C上，点Q在直线上，求|PQ|的最小值; (3)若过点作圆C的切线，求该切线方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先设定圆的标准方程，再根据圆经过的点以及圆心在直线上，求解. （2）先判断圆与直线的关系，再计算|PQ|的最小值 （3）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，进行求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为. ∵圆C经过点和，代入坐标到圆的方程，得到： ，消去，整理得到. 又∵圆心在直线，故. 即可得到：.代入到圆的方程，得到. 故圆的标准方程为：. （2）∵，故圆心C坐标为，半径. 圆心到直线的距离. 故圆与直线相离，所以，|PQ|的最小值为. （3）当斜率不存在时，过点的直线是，不是圆的切线. 当斜率存在时，设直线方程为，即. 此时圆心到直线的距离为， 解得或. 所以直线方程为或. 9．（25-26高三下·湖南·对口/高职单招）已知点，点，动点满足． (1)求的轨迹的方程； (2)若过的直线交于、两点，且的面积为，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设动点的坐标，代入两点距离公式化简得到轨迹方程； （2）设直线的斜率，结合圆的弦长公式、点到直线距离公式，利用三角形面积列方程求解斜率，得到直线方程. 【详解】（1）设动点， 由两点间距离公式得： 由题设，即， 两边平方得：， 展开整理得：，即为轨迹的方程. （2）当直线的斜率不存在时，直线为， 代入圆的方程得，无实数解，故直线的斜率必存在. 设直线的斜率为， 由直线过，得直线的方程为，即， 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 由直线与圆相交得，即，解得， 弦长 点到直线的距离 由，代入得：， 化简得，即，解得，满足， 所以直线的方程为， 即直线的方程为或. 10．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知直线：与圆相切，且圆心的坐标为． (1)求圆的标准方程； (2)设，分别为圆与轴的交点，为圆与直线的切点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线与圆相切时半径等于圆心到切线的距离，结合圆的标准方程形式求解； （2）先求圆与轴交点得到的长度，再求切点的坐标，利用三角形面积公式计算面积即可. 【详解】（1） 直线整理为一般式为， 因为直线与圆相切，故半径等于圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式得：， 因此， 又因为圆心的坐标为， 所以圆的标准方程为； （2）令，代入圆的方程得：， 整理得，解得， 可记作点的纵坐标为，点的纵坐标为， 故， 圆心与切点的连线垂直于切线，直线的斜率为，故直线的斜率为， 由点斜式得直线的方程为，即， 联立直线与直线的方程：，解得，即， 因为在轴上，故点到直线的距离为， 由三角形面积公式得：.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $