第9卷 直线的方程（教师讲解卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足内蒙古对口招生考纲，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”构建直线方程专项训练，系统整合倾斜角、斜率、方程形式及位置关系知识点，通过真题变式培养抽象能力与推理能力，达成方法迁移与应用意识提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|7个核心知识点|直线方程五种形式对比表（几何条件-方程-适用条件）、两直线平行垂直判定法则|从倾斜角/斜率概念→直线方程形式→位置关系→距离公式，形成“概念-公式-应用”递进链条| |真题精讲|2考点3道真题|按考点分类（直线方程、位置关系），聚焦核心考法|典例覆盖近三年内蒙古真题，突出公式直接应用与条件辨析| |举一反三|10道题（含多地区对口真题）|通过变式题强化斜率计算、方程形式选择及位置关系判定|承接真题考点，拓展不同情境下的方法迁移| |拓展提升|11道题（含解答题）|综合应用距离公式、中点坐标公式解决复杂问题|深化知识内在联系，培养综合解题与表达能力|

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第9卷 直线的方程（教师讲解卷） 【概念回顾】 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． (2)直线的斜率 ①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tanα；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 2．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 3.线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则 此公式为线段P1P2的中点坐标公式． 4.两点间的距离公式 设，则 5．两直线平行与垂直 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行． (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 6．两直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 7．距离公式 (1)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝. 可以验证，当A＝0或B＝0时，上式仍成立． (2)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝. 【真题精讲】 考点01 直线的方程 1.（2026·内蒙古·真题T15）经过点且倾斜角为的直线方程为________． 考点02两直线的位置关系 2.（2026·内蒙古·真题T06）已知直线：与直线：垂直，则 的值为（ ） A. B. C. D. 3．（2025·内蒙古·真题T07） 经过点的直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 4.（2024·内蒙古·真题T05）若直线的斜率是一元二次方程的两个根，则直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交且垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 【举一反三】 1.（2023·内蒙古·真题T09）已知直线经过点，，经过点，，若直线，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 2或7 D. 0或5 2．（25-26高三下·山西·对口/高职单招）已知点到直线的距离为3，则实数等于（     ） A．3 B． C．0或3 D．0或 3．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知直线与直线互相垂直，则实数（   ） A． B． C． D．6 4．（25-26高三·云南·对口/高职单招）已知直线与直线平行，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 5．（23-24高三下·辽宁·对口/高职单招）在直角坐标系中，直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·辽宁·对口/高职单招）直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C．2 D． 7．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三下·山东烟台·对口/高职单招）已知点与点间的距离为，同时已知， 则________. 9．（中职生对口升学考试一卷通（四））过点且与直线平行的直线方程为_____． 10．（20-21高三下·河南·对口/高职单招）已知直线和直线相交于点． (1)求出点的坐标． (2)求过点且倾斜角为的直线方程． 【拓展提升】 1．（24-25高三下·吉林·职教高考）经过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·新疆·对口/高职单招）已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（  ） A． B． C． D． 3．（13-14高三下·天津·职教高考）已知直线l的倾斜角为，且经过点，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（19-20高三下·黑龙江·对口/高职单招）直线与直线的位置关系是（   ） A．重合 B．垂直 C．平行 D．相交但不垂直 5．（23-24高三·全国·对口/高职单招）已知直线l的倾斜角为，且过点，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高三·贵州·对口/高职单招）已知直线l的方程为，则直线l的斜率k和在y轴上的截距b分别为（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高三下·吉林·对口/高职单招）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段的中点为M,则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（19-20高三下·河南·对口/高职单招）点和点的两点间距离为________． 9．（中职生对口升学考试一卷通（三））过点且与直线垂直的直线方程为_____． 10．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）已知，，若，则_____. 11．（17-18高三下·湖北·职教高考）解答下列问题： (1)求以直线与轴的交点为圆心，且经过点的圆的一般方程 (2)已知直线，直线与垂直，且点到的距离为2，求的一般式方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第9卷 直线的方程（教师讲解卷） 【概念回顾】 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． (2)直线的斜率 ①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tanα；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 2．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 3.线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则 此公式为线段P1P2的中点坐标公式． 4.两点间的距离公式 设，则 5．两直线平行与垂直 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行． (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 6．两直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 7．距离公式 (1)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝. 可以验证，当A＝0或B＝0时，上式仍成立． (2)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝. 【真题精讲】 考点01 直线的方程 1.（2026·内蒙古·真题T15）经过点且倾斜角为的直线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据倾斜角求出直线斜率，再根据点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线倾斜角为，所以直线斜率为. 又因为直线过点，所以，化简得. 故答案为：. 考点02两直线的位置关系 2.（2026·内蒙古·真题T06）已知直线：与直线：垂直，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的性质列出方程即可得解. 【详解】直线：与直线：垂直， 所以，解得， 故选： . 3．（2025·内蒙古·真题T07） 经过点的直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线平行斜率相等及两点间的斜率公式求出，代入两点间距离公式即可得解. 【详解】直线，斜率为， 因为经过点的直线与直线平行， 所以直线的斜率为，则， 则， 故选：. 4.（2024·内蒙古·真题T05）若直线的斜率是一元二次方程的两个根，则直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交且垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合韦达定理得出两条直线的斜率之积为即可得解. 【详解】设直线的斜率为， 所以是一元二次方程的两个根， 则， 所以直线的位置关系是相交且垂直， 故选：. 【举一反三】 1.（2023·内蒙古·真题T09）已知直线经过点，，经过点，，若直线，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 2或7 D. 0或5 【答案】D 【解析】 【分析】当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于求解，若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0，求解两种情况即可. 【详解】由题意知的斜率一定存在， 的斜率可能不存在，当的斜率不存在时，点横坐标相同，即，即， 此时，则，满足题意. 当的斜率存在时，，由斜率公式得： ，， 由，知， 即，得到,解得. 综上所述，a的值为0或5. 故选：D. 2．（25-26高三下·山西·对口/高职单招）已知点到直线的距离为3，则实数等于（     ） A．3 B． C．0或3 D．0或 【答案】D 【分析】根据题意，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为点到直线的距离为3， 所以，两边平方得， 整理得，即， 解得或. 故选：D. 3．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知直线与直线互相垂直，则实数（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据两直线垂直的条件列出的方程求解. 【详解】已知直线与直线互相垂直， 则，解得， 故选：D. 4．（25-26高三·云南·对口/高职单招）已知直线与直线平行，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行斜率相等，截距不相等即可解答. 【详解】已知直线与直线平行， 且直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，此时两直线在轴上的截距分别为，且，满足两直线平行的条件. 故选：A. 5．（23-24高三下·辽宁·对口/高职单招）在直角坐标系中，直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程求出斜率，结合斜率的定义即可得解. 【详解】直线，斜率为， 设直线的倾斜角为， ，则， 所以直线的倾斜角为， 故选：. 6．（23-24高三下·辽宁·对口/高职单招）直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜截式方程直接得出结果. 【详解】根据直线的斜截式方程可知，直线在轴上的截距为3， 故选：B. 7．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线一般式方程化为斜截式方程即可得解. 【详解】直线化为斜截式方程为，斜率为. 故选：. 8．（23-24高三下·山东烟台·对口/高职单招）已知点与点间的距离为，同时已知， 则________. 【答案】9 【分析】根据两点之间的距离公式列方程求解即可. 【详解】已知点与点间的距离为， 则， 即，则， 解得或，因为， 所以， 故答案为：9. 9．（中职生对口升学考试一卷通（四））过点且与直线平行的直线方程为_____． 【答案】 【分析】根据直线平行斜率相等，再由直线的点斜式方程即可解得. 【详解】由题，直线的斜率为， 因为所求直线与直线平行， 所以所求直线的斜率为，又所求直线过点， 所以所求直线的方程为，即． 故答案为： 10．（20-21高三下·河南·对口/高职单招）已知直线和直线相交于点． (1)求出点的坐标． (2)求过点且倾斜角为的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两直线方程，解二元一次方程组即可. （2）根据倾斜角求出斜率，再由直线点斜式方程求解即可. 【详解】（1）由可得：， 故两直线交点的坐标为. （2）倾斜角为的直线斜率为：， 且直线过点，则方程为：， 整理得：. 【拓展提升】 1．（24-25高三下·吉林·职教高考）经过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中所给点可求出直线斜率，再根据一点坐标即可写出直线的点斜式方程. 【详解】因为点，， 所以经过点，的直线斜率为， 所以经过点，的直线方程是， 即. 故选：A. 2．（23-24高三下·新疆·对口/高职单招）已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合两直线垂直，斜率之间的关系，可设出直线的方程，将已知点的坐标代入，即可求解. 【详解】因为直线过点，且与直线垂直， 又直线的斜率为1， 设直线的方程为， 将点代入得，解得， 所以直线的方程为，即. 故选：B. 3．（13-14高三下·天津·职教高考）已知直线l的倾斜角为，且经过点，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的倾斜角求出斜率，再由点斜式方程求解. 【详解】直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为， 又直线l经过点， 则直线l的方程是，即. 故选：B. 4．（19-20高三下·黑龙江·对口/高职单招）直线与直线的位置关系是（   ） A．重合 B．垂直 C．平行 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】通过将两条直线方程化为斜截式方程，比较斜率和截距来判断它们的位置关系. 【详解】直线化为斜截式方程为. 直线化为斜截式方程为. 两条直线的斜率都为，截距不相等， 所以两直线的位置关系为平行. 故选：C. 5．（23-24高三·全国·对口/高职单招）已知直线l的倾斜角为，且过点，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线l的斜率，再由点斜式方程求出直线的方程． 【详解】因为直线l的倾斜角为，则直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线方程为：， 即. 故选：C. 6．（20-21高三·贵州·对口/高职单招）已知直线l的方程为，则直线l的斜率k和在y轴上的截距b分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜截式方程，直接判断直线的斜率和y轴上的截距. 【详解】∵对于直线方程，是斜率，是y轴上的截距， 所以，对于直线l：，则. 故选：C. 7．（21-22高三下·吉林·对口/高职单招）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段的中点为M,则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解A、B两点，再由中点坐标公式求解点M的坐标即可. 【详解】因为直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令；令， 所以A、B两点为，， 则线段的中点为，即. 故选：C. 8．（19-20高三下·河南·对口/高职单招）点和点的两点间距离为________． 【答案】 【分析】根据两点间距离公式即可得解. 【详解】点和点的两点间距离为. 故答案为：. 9．（中职生对口升学考试一卷通（三））过点且与直线垂直的直线方程为_____． 【答案】 【分析】根据垂直的性质求出斜率，再根据点斜式方程即可得出结果. 【详解】因为直线的斜率为， 所求直线与其垂直，所以所求直线的斜率为1． 又所求直线经过点， 所以所求直线的方程为，即． 故答案为： 10．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）已知，，若，则_____. 【答案】或1 【分析】根据题意，结合两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为，，且， 所以, 即，所以， 解得或. 故答案为：或1. 11．（17-18高三下·湖北·职教高考）解答下列问题： (1)求以直线与轴的交点为圆心，且经过点的圆的一般方程 (2)已知直线，直线与垂直，且点到的距离为2，求的一般式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，可先求出直线与轴的交点坐标，即圆心坐标，结合两点之间的距离公式，求得圆的半径，继而求出圆的标准方程，即可转化为圆的一般式方程； （2）根据题意，根据两直线垂直，可设出直线的方程，结合点到直线的距离公式，求出参数，即可求解. 【详解】（1）由题意，得，解得， 即圆心坐标为， 又圆经过点， 所以半径， 所以圆的标准方程为，化为一般式得； （2）因为直线，直线与垂直， 设直线的方程为， 因为点到的距离为2，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或， 即直线的一般方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $