专题9 分段函数与函数的应用 （讲义）-2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年吉林省高职分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 分段函数与函数的应用 【复习目标】 1.理解分段函数的概念，掌握分段函数的图像特征； 2.综合运用函数的单调性、奇偶性，解决有关的数学问题. 【考点1 分段函数】 1.分段函数的概念 在函数定义域内，对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫 ． 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的 ． 点睛：分段函数是一个函数． 如：f(x)＝|x|可以写成f(x)＝， 即：当x≥0时，f(x)＝x， 当x<0时，f(x)＝－x，图像为： 看起来像两个函数，实际上是函数f(x)＝|x|. 2. 分段函数求值　　 判断自变量所在范围代入相应表达式． 注意：求解分段函数相关不等式时，需要找到符合要求的部分，求出自变量的范围. 3.分段函数的图像特征　　 作图： ①先用虚线作完整图； ②再用实线填充每段范围图像； ③注意 ． 点睛：分段函数的图像根据自变量的解析式，有几个区间会有几段图像． 【即时训练】 1．分段函数，则 （    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，其图像为（    ） A．一条射线和部分抛物线 B．一条直线和一个抛物线 C．一条线段和部分抛物线 D．两条射线 5．函数在区间上（    ） A．先递增后递减 B．先递减后递增 C．单调递增 D．单调递减 6．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C．0 D．1 8．设 (1)写出函数的定义域； (2)求与的值； (3)作出函数的图像． 9．已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值． 10． 已知函数，若，求的值. 11．已知函数. (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【考点2 函数的应用】 解函数应用题的一般步骤　 1．审题：阅读题目，准确理解题意，弄清每一个词语的含义，合理、恰当的设出未知量． 2．建模：抽象概括数量关系，并能用数学语言表示、构造函数模型． 3．求解：利用所学的数学知识，分析、解决数学问题． 4．评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，将结果应用于现实，作出解释或预测． 5．作答：答出最终结果． 【即时训练】 12．已知函数是偶函数，且． (1)若，求值； (2)若，求函数的解集． 13．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 14．已知在上是减函数，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 15．对恒有,且有两不同的根，则此两根的和为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数，求 (1)如果函数图像恒在x轴上方，求a的取值范围； (2)如果函数在区间上是增函数，求a的取值范围. 17．已知函数是定义域在上的奇函数，当时，． (1)求当时函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 18．已知二次函数经过点和，且.求： (1)的解析式； (2)当取何值时. 19．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时长 (分钟) 与对应话费 （元）之间的函数图像如图所示: (1)通话时长不超过 分钟时，每分钟多少元？ (2)求 与 之间的函数关系式； (3)月通话为 分钟时，应交话费多少元？ 20．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现每天的销售量（件）与每件的销售价（元）的关系满足一次函数． (1)写出商场每天的销售利润（元）与每件的销售价（元）的函数关系式； (2)如果商场要想获得最大利润，每件商品销售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 1.（2025·吉林·真题T04）已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 2.（2024·吉林·真题T04） 已知函数则（ ） A. B. 1 C. D. 3 3.（2024·吉林·真题T31）已知函数为偶函数，且． （1）求函数的解析式； （2）若，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年吉林省高职分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 分段函数与函数的应用 【复习目标】 1.理解分段函数的概念，掌握分段函数的图像特征； 2.综合运用函数的单调性、奇偶性，解决有关的数学问题. 【考点1 分段函数】 1.分段函数的概念 在函数定义域内，对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数． 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集． 点睛：分段函数是一个函数． 如：f(x)＝|x|可以写成f(x)＝， 即：当x≥0时，f(x)＝x， 当x<0时，f(x)＝－x，图像为： 看起来像两个函数，实际上是函数f(x)＝|x|. 2. 分段函数求值　　 判断自变量所在范围代入相应表达式． 注意：求解分段函数相关不等式时，需要找到符合要求的部分，求出自变量的范围. 3.分段函数的图像特征　　 作图： ①先用虚线作完整图； ②再用实线填充每段范围图像； ③注意端点． 点睛：分段函数的图像根据自变量的解析式，有几个区间会有几段图像． 【即时训练】 1．分段函数，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】分段函数， 则， 故选：. 2．已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】将自变量依次代入对应的函数解析式计算即可. 【详解】, 所以. 故选：A. 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对分段函数的定义域的理解可得. 【详解】由， 得函数的定义域为. 故选：C. 4．已知函数，其图像为（    ） A．一条射线和部分抛物线 B．一条直线和一个抛物线 C．一条线段和部分抛物线 D．两条射线 【答案】A 【分析】根据自变量的取值范围，确定分段函数的图像. 【详解】当时，函数，函数图像为一条射线，射线起点为. 当时，函数，函数图像为抛物线的一部分，抛物线最低点坐标为. 故选：A. 5．函数在区间上（    ） A．先递增后递减 B．先递减后递增 C．单调递增 D．单调递减 【答案】C 【分析】将函数写成分段函数的形式，结合一次函数的单调性即可得解. 【详解】函数， 所以函数在区间上的表达式为，此时函数单调递增. 故选：. 6．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式，去绝对值化简，即可确定单调递增区间. 【详解】 ∴的单调递增区间为， 故选：C. 7．已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据二次函数和一次函数的最值即可解答. 【详解】当时，，此时的最小值是0， 当时，为减函数，此时， 综上所述，的最小值是0， 故选：C. 8．设 (1)写出函数的定义域； (2)求与的值； (3)作出函数的图像． 【答案】(1) (2)， (3)图像见详解. 【分析】（1）根据分段函数的解析式即可求解定义域. （2）根据x的值代入对应的函数解析式即可求解. （3）由分段函数解析式作出对应的函数图像即可. 【详解】（1）因为函数为， 所以的定义域为. （2）因为，所以， 因为，所以. （3）作出函数图像如图所示:    9．已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)1 (2)0或2 【分析】（）根据函数解析式求出，即可得解. （）分类讨论或的情况，列出的方程即可得解. 【详解】（1）因为函数, 所以,， ， （2）当时，，解得， 当，，解得或（舍）， 所以实数的值为或． 10．已知函数，若，求的值. 【答案】或 【分析】分类讨论a的值,代入相应解析式即可求解. 【详解】当时，， 即， 解得，或（舍去）， 当时，，即， 解得或（舍去）， 综上所述或. 11．已知函数. (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先求出的值,再将所得的值再次代入分段函数即可求解. （2）根据绝对值的性质判断，代入相应函数解析式应用解含绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以. （2）因为， 则， 因为， 所以，即， 所以有， 解得. 【考点2 函数的应用】 解函数应用题的一般步骤　 1．审题：阅读题目，准确理解题意，弄清每一个词语的含义，合理、恰当的设出未知量． 2．建模：抽象概括数量关系，并能用数学语言表示、构造函数模型． 3．求解：利用所学的数学知识，分析、解决数学问题． 4．评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，将结果应用于现实，作出解释或预测． 5．作答：答出最终结果． 【即时训练】 12．已知函数是偶函数，且． (1)若，求值； (2)若，求函数的解集． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）由已知及偶函数的性质可得，据此可求解； （2）根据一元二次不等式的解法可得结果. 【详解】（1）因为，则，所以， 因为函数是偶函数，则， 所以； （2）若，则， 则，即， 不等式可化为，解得， 所以函数的解集是. 13．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和单调性，即可求解. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数， 所以， 因为函数在上是增函数， 所以，即. 故选：C. 14．已知在上是减函数，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】因为在上是减函数，且. 所以当时，，当时，. 即不等式的解集为. 故选：A. 15．对恒有,且有两不同的根，则此两根的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由中点坐标公式即可得解. 【详解】由可知函数关于对称. 因为有两不同的根. 所以两个根关于直线对称. 设两个根为. 则. 故选:. 16．已知函数，求 (1)如果函数图像恒在x轴上方，求a的取值范围； (2)如果函数在区间上是增函数，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数图像恒在轴上方，则恒成立. （2）如果函数在区间上是增函数,即函数对称轴区间为. 【详解】（1）由题意可知函数恒成立， 因为函数图像开口向上，则恒成立，即与轴无交点， 故有， 解得， 故的取值范围为. （2）∵图像开口向上，对称轴为， 则图像在上为减函数，在上为增函数， ∵函数在区间上是增函数，即， 解得， 故的取值范围 17．已知函数是定义域在上的奇函数，当时，． (1)求当时函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合奇函数的性质即可求解； （2）根据题意可证函数为定义域内的增函数，进而求解. 【详解】（1）当时 ，， 则有， 又因为函数是定义域在上的奇函数， 所以当时，. （2）由， 即， 当时，，对称轴为，函数图像开口向上， 所以在内单调递增， 当时，，对称轴为，函数图像开口向下， 所以在内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 则有. 又因为， 综上所述 18．已知二次函数经过点和，且.求： (1)的解析式； (2)当取何值时. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的对称性，结合待定系数法即可求解. （2）根据一元二次不等式的基本解法即可求解. 【详解】（1）因为，所以函数对称轴为，即， 又过点和， 所以可得方程组，解得 所以的解析式为. （2）由（1）得，， 即，解得或， 故时. 19．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时长 (分钟) 与对应话费 （元）之间的函数图像如图所示: (1)通话时长不超过 分钟时，每分钟多少元？ (2)求 与 之间的函数关系式； (3)月通话为 分钟时，应交话费多少元？ 【答案】(1)（元）． (2) (3)（元）． 【分析】（1）根据图像可知通话时长不超过 分钟时为过原点的一次函数，将点代入求值即可. （2）设时，，再将点和代入解析式求解即可. （3）将代入函数解析式求值即可. 【详解】（1）由图可知，通话时长不超过 分钟时为过原点的一次函数， 设通话时长 (分钟) 与对应话费 （元），则， 由图可知，图像过点，所以， 解得，即当时，每分钟（元）. （2）由（1）得，时，，       月通话时间超过分钟，即时， 函数图像为一次函数，可设为， 将图像中点的坐标和代入，得，       解得， 所以时，函数关系式为， 综上可得，y与x之间的函数关系式为． （3）由（2）可知，， 月通话时长为分钟时，即， 应交话费为（元）． 20．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现每天的销售量（件）与每件的销售价（元）的关系满足一次函数． (1)写出商场每天的销售利润（元）与每件的销售价（元）的函数关系式； (2)如果商场要想获得最大利润，每件商品销售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 【答案】(1) (2)42元时，获得利润最大，最大销售利润为432元． 【分析】（1）根据利润等于每件衣服利润乘以销售量，即可得到函数关系. （2）将二次函数配平方，再求最值. 【详解】（1）由题意得， 每日利润 当时，，故. 函数关系为，. （2） . 当时，. 所以.当每件商品的销售价定为42元时，获得利润最大，最大销售利润为432元． 1.（2025·吉林·真题T04）已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据自变量的范围，代入求值即可. 【详解】，且，则. 故选：D. 2.（2024·吉林·真题T04） 已知函数则（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意代入对应的解析式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3.（2024·吉林·真题T31）已知函数为偶函数，且． （1）求函数的解析式； （2）若，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据其为偶函数得到，再根据则得到其解析式； （2）根据其对称性和单调性则得到不等式，解出即可. 【小问1详解】 因为函数为偶函数， 所以， 又因为，解得， 所以. 【小问2详解】 因为函数是开口向上的抛物线，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为， 则，所以， 解得. 所以m的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $