专题8 常见函数的图象与性质（讲义）-2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年吉林省高职分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 常见函数的图象与性质 【复习目标】 1.掌握一次函数和反比例函数的图象和性质； 2.理解一元二次函数的概念，掌握二次函数的图象和性质； 3.会用待定系数法求函数解析式，会求二次函数的最值. 【考点1 一次函数】 (1)一次函数的定义 一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数．当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，是正比例函数．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． (2)一次函数的图象及其性质 ①正比例函数的图象及性质：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y＝kx. y＝kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k>0 一、三 从左向 右上升 y随着x 的增大 而增大 k<0 二、四 从左向 右下降 y随着x 的增大 而减小 ②一次函数的图象及性质：一次函数y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y＝kx＋b. y＝kx＋b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k>0， b>0 一、二、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k>0， b<0 一、三、四 k<0， b>0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k<0， b<0 二、三、四 【即时训练】 1．函数在区间上的单调性是（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先递增后递减 D．先递减后递增 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质判断单调性即可. 【详解】函数是一次函数， 因为时，函数是单调递增的， 因此，函数在整个定义域单调递增. 故选：A. 2．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数、一次函数、正比例函数、余弦函数的奇偶性和单调性，结合题意，即可判断求解. 【详解】二次函数是偶函数，且在区间上单调递减，在区间上单调递增，故选项A不符合题意； 一次函数是非奇非偶函数，且在实数集R上单调递增，故选项B不符合题意； 正比例函数是奇函数，且在实数集R上是减函数，故选项C符合题意； 余弦函数是偶函数，且在区间单调递减，在区间单调递增，故选项D不符合题意； 故选：C . 3．已知一次函数过原点，则m的值为（    ）． A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】将原点代入一次函数求解即可. 【详解】因为一次函数过原点， 所以将代入得，解得. 故选：C. 4．函数在上是减函数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的单调性即可求解. 【详解】∵函数在上是减函数， ∴， 解得， 故选：D. 5．一次函数的图像过点，且y随x的增大而减小，则k的值为（    ）． A． B．5 C．5或 D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为一次函数的图像过点，且y随x的增大而减小， 所以，且， 解得（舍）或. 故选：A. 6．已知点和点均在直线上，则的值为（    ） A． B． C．35 D． 【答案】C 【分析】将代入直线方程求出a，将代入直线方程求出b，从而求出的值即可. 【详解】点在直线上， ，解得， 点在直线上， ，解得， ，故的值为35. 故选：C. 7．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【分析】根据一次函数单调性即可解得. 【详解】当时，在区间上为增函数， 则当时，取得最大值， 即，解得； 当时，在区间上为减函数， 则当时，取得最大值， 即，解得（舍去）， 所以， 故选：B 【考点2 反比例函数】 (1)反比例函数的定义 一般地，形如y＝(x为常数，x)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． (2)反比例函数的图象及其性质 反比例函数的图像是由两个分支组成的曲线，当k>0时，图像在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小；当k<0时，图像在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，如下图所示： 【即时训练】 8．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反比例函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】因为反比例函数在上单调递增， 点，，所以， 点，，所以. 故选：C. 9．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球体积（立方米）的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出反比例函数的解析式，再将点代入即可. 【详解】设反比例函数的解析式为， 由图像可知，函数图像过点， 代入得， 得该反比例函数的解析式为， 故选：D 10．已知反比例函数，若，那么它的图象在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象性质即可得到答案． 【详解】解：当是，反比例函数图象在第二、四象限， 当时，，图象位于第四象限， 故选：D． 11．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式确定对应点的坐标，进而判断即可； 【详解】因为点在反比例函数的图象上， 当时，，解得； 当，，解得：； 当时，，解得：； ． 故选：B． 12．函数，则函数（    ） A．在上的增函数 B．在上的减函数 C．在是增函数 D．在是减函数 【答案】C 【分析】根据反比例函数的单调性即可得出结论. 【详解】已知函数为反比例函数， 其中，所以函数图像在和上是增函数. 故选：C. 【考点3 二次函数】 (1)二次函数的定义 一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数． (2)二次函数的图象及其性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x＝－ 直线x＝－ 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大 (小)值 抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值，y最小值＝ 抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，y最大值＝ （3)二次函数的解析式根据不同的条件，有三种形式： ①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)其中抛物线的顶点为(h，k)； ③交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中抛物线与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0)． (4)二次函数恒大（小）于0的问题 图象位于轴上方（函数值恒大于0）； 图象位于轴下方（函数值恒小于0）. 【即时训练】 13．已知函数在内是减函数，在内是增函数，则n的值为（    ） A． B．1 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据题意得出二次函数的对称轴即可得解. 【详解】函数，图像为开口向上的抛物线， 因为函数在内是减函数，在内是增函数， 则对称轴为，即，解得， 故选：. 14．抛物线的顶点坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线的方程化为顶点式，即可求解. 【详解】 所以抛物线的顶点坐标为. 故选：B. 15．已知二次函数的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由函数图象经过坐标原点求出参数，再根据一元二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为二次函数的图象经过坐标原点，所以将代入函数可得： ，即，解得. 则函数. 对于二次函数，其对称轴为，在中，，对称轴为. 因为，所以函数图象开口向下，函数在对称轴左侧单调递增，即单调递增区间为. 故选：B. 16．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质结合已知条件列式即可求解. 【详解】因为函数的图像为开口向上的抛物线，其对称轴为， 又因为函数在上单调递减， 所以，解得. 故选：B. 17．二次函数，当时的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断二次函数图像的开口方向和对称轴，即可求出在区间内的最小值. 【详解】二次函数的图像开口向上，对称轴为. 所以在区间内，当时，函数值最小为. 故选：. 18．已知二次函数的图象关于轴对称，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称轴公式列方程求解即可. 【详解】已知二次函数的图象关于轴对称， 当时，即，不是二次函数与题意不符， 所以，故函数的对称轴为， 即，解得或舍去， 所以， 故选：C. 19．已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③．其中，正确的序号是（    ）    A．①②③ B．①② C．① D．都不正确 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴的位置和与x轴、y轴的交点分析即可判断. 【详解】观察图像可知,图像与x轴有两个交点,所以方程有两个根, 所以,则①正确. 由图像可知,抛物线的对称轴为, 所以,则.故②正确. 由图像可知,,,所以,则,故③正确. 综上所述：正确的序号是①②③. 故选：. 20．用长为的材料，围成一个矩形场地，最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件建立矩形面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求出面积的最大值. 【详解】设矩形的长为，宽为， 则，即，所以， 由且，得， 矩形的面积， 当时，， 所以当矩形的长、宽都为6时，面积最大，最大面积是. 故选：C. 21．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据一次函数、二次函数图像求解. 【详解】A、图中一次函数的图像，但二次函数的图像，即：，两图像不符，不符合题意； B、图中一次函数的图像，二次函数的图像，即：，两图像不符，不符合题意； C、图中一次函数的图像，二次函数的图像，即：，两图像相符，符合题意； D、图中一次函数的图像，二次函数的图像，即：，两图像不相符，不符合题意； 故选:C. 22．函数，且有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知对称轴为，且开口向上，又，根据二次函数的性质可判断三者的大小. 【详解】由得 解得， 所以. 由于函数的对称轴为，且开口向上， 故为最小值； 又， 所以. 故选：B 23．若一次函数的图像过第一，二，三象限，则二次函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一次函数的图形与性质判断符号，再利用二次函数的图像及性质可判断. 【详解】一次函数的图像过第一，二，三象限， 则斜率大于零，即，与轴交点在轴正方向，则， 二次函数，当时，，故经过，排除A， 开口向上排除； 故选：B. 24．已知函数则下列函数图像正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据分段函数解析式，结合一次函数与二次函数的性质即可得解. 【详解】函数， 当时，二次函数的图像开口向下，且对称轴为，故错误； 当时，一次函数单调递增，且过点，故错误，正确. 故选：. 25．如图所示，二次函数与一次函数的图像交于，两点，则使的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像判断的取值范围 【详解】由，即二次函数的图像在一次函数图像的下方的位置； 即； 故选：. 26．已知是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数为奇函数与二次函数为偶函数的性质求解. 【详解】因为一次函数是奇函数，所以，即； 因为二次函数是偶函数，所以，即， 所以. 故选：D. 1．（22-23高三·吉林·模拟预测）下列函数在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性判断选项即可. 【详解】A:是反比例数函数，在上为减函数，故A选项正确， B:是一次函数，，在上为增函数，故B选项错误， C:是二次函数，，开口向上，在上为增函数，故C选项错误， D:是指数函数，，在上为增函数，故D选项错误. 故选:A. 2．（20-21高三下·吉林·对口/高职单招）已知函数在区间内为减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为函数的图像开口向上，对称轴为， 又函数在区间内为减函数， 所以，解得. 故选：A. 3．（21-22高三下·吉林·对口/高职单招）下列函数中在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式判断单调性即可. 【详解】因为是底数大于0小于1的指数函数，在上单调递减，故A符合题意. 因为是一次函数，在上单调递增，故B不符合题意. 因为为二次函数，开口向下，对称轴为， 所以函数在单调递增，在单调递减，故C不符合题意. 因为是幂函数，且，所以函数在上单调递增，故D不符合题意. 故选：A. 4．（2018高三·吉林·学业考试）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数解析式确定函数的对称轴，开口方向即可得出单调递增区间. 【详解】由函数， 可知对称轴为，且二次项系数， 则图像开口向上， 所以函数的单调递增区间为. 故选：D. 5．（7-8高三·吉林·自主招生）已知函数，（a为正的常数），且函数在与的图象在y轴上截距相等. (1)求a的值 (2)求函数与的单调递增区间 【答案】(1)1 (2)函数的单调递增区间，函数的单调递增区间. 【分析】（1）函数在y轴的截距，即当时y的取值，从而得到a. （2）分别求出函数与函数的单调递增区间即可. 【详解】（1）由题意， 可得， 又    . （2）由（1）知， 所以， 故时，函数单调递增. 又有，其对称轴为， 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减. 因此，函数的单调递增区间为， 函数的单调递增区间为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年吉林省高职分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 常见函数的图象与性质 【复习目标】 1.掌握一次函数和反比例函数的图象和性质； 2.理解一元二次函数的概念，掌握二次函数的图象和性质； 3.会用待定系数法求函数解析式，会求二次函数的最值. 【考点1 一次函数】 (1)一次函数的定义 一般地，形如 (k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数．当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，是 ．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． (2)一次函数的图象及其性质 ①正比例函数的图象及性质：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y＝kx. y＝kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k>0 一、三 从左向 右 y随着x 的增大 而 k<0 二、四 从左向 右 y随着x 的增大 而 ②一次函数的图象及性质：一次函数y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y＝kx＋b. y＝kx＋b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k>0， b>0 一、二、三 从左向 右 y随着x的增大而增大 k>0， b<0 一、三、四 k<0， b>0 一、二、四 从左向 右 y随着x的增大而减小 k<0， b<0 二、三、四 【即时训练】 1．函数在区间上的单调性是（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先递增后递减 D．先递减后递增 2．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（    ）． A． B． C． D． 3．已知一次函数过原点，则m的值为（    ）． A． B． C． D．不能确定 4．函数在上是减函数，则（　　） A． B． C． D． 5．一次函数的图像过点，且y随x的增大而减小，则k的值为（    ）． A． B．5 C．5或 D． 6．已知点和点均在直线上，则的值为（    ） A． B． C．35 D． 7．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 【考点2 反比例函数】 (1)反比例函数的定义 一般地，形如y＝(x为常数，x)的函数称为 ，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． (2)反比例函数的图象及其性质 反比例函数的图像是由两个分支组成的曲线，当k>0时，图像在 象限，在每个象限，y随x的增大而 ；当k<0时，图像在 象限，在每个象限，y随x的增大而 ，如下图所示： 【即时训练】 8．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 9．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球体积（立方米）的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 10．已知反比例函数，若，那么它的图象在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三象限 D．第四象限 11．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 12．函数，则函数（    ） A．在上的增函数 B．在上的减函数 C．在是增函数 D．在是减函数 【考点3 二次函数】 (1)二次函数的定义 一般地，如果y＝ (a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数． (2)二次函数的图象及其性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x＝－ 直线x＝－ 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大 (小)值 抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值，y最小值＝ 抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，y最大值＝ （3)二次函数的解析式根据不同的条件，有三种形式： ①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)其中抛物线的顶点为(h，k)； ③交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中抛物线与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0)． (4)二次函数恒大（小）于0的问题 图象位于轴上方（函数值恒大于0）； 图象位于轴下方（函数值恒小于0）. 【即时训练】 13．已知函数在内是减函数，在内是增函数，则n的值为（    ） A． B．1 C．4 D．3 14．抛物线的顶点坐标为（    ）． A． B． C． D． 15．已知二次函数的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为（） A． B． C． D． 16．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．二次函数，当时的最小值是（    ） A． B． C． D． 18．已知二次函数的图象关于轴对称，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 19．已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③．其中，正确的序号是（    ）    A．①②③ B．①② C．① D．都不正确 20．用长为的材料，围成一个矩形场地，最大面积是（   ） A． B． C． D． 21．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   22．函数，且有，则（    ） A． B． C． D． 23．若一次函数的图像过第一，二，三象限，则二次函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 24．已知函数则下列函数图像正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   25．如图所示，二次函数与一次函数的图像交于，两点，则使的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．已知是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 1．（22-23高三·吉林·模拟预测）下列函数在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高三下·吉林·对口/高职单招）已知函数在区间内为减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高三下·吉林·对口/高职单招）下列函数中在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．（2018高三·吉林·学业考试）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．（7-8高三·吉林·自主招生）已知函数，（a为正的常数），且函数在与的图象在y轴上截距相等. (1)求a的值 (2)求函数与的单调递增区间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $