第68卷 正余弦定理的综合应用-考点训练卷 2027年湖南省（对口招生考试）《数学考纲百套卷 》（原卷版+解析版）

**基本信息** 三阶递进式训练体系下的基础层考点卷，聚焦正余弦定理综合应用，通过选择、填空、解答题覆盖定理直接应用、综合辨析及实际建模，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|12题（选择1-8、填空11-14）|直接应用定理求边/角|从已知边角条件（如“a=3,b=4,A=30°”）出发，强化正弦定理“边对角”、余弦定理“三边求角”的基本推导| |综合辨析|4题（选择3-5、填空15）|判断三角形形状、多解问题|通过边角关系（如“a²=b²+c²-bc”）推导三角形类型，深化定理适用条件与多解情形的逻辑判断| |实际建模|5题（选择10、解答18-21）|结合图形的测量问题|将现实情境（如隧道长度、塔高测量）抽象为三角形模型，培养从实际问题中提取边角关系的应用意识|

编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第68卷 正余弦定理的综合应用 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在中，，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可知：， 即， 解得. 故选：A. 2．在中，，则（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】根据正弦定理进行求解即可. 【详解】由正弦定理可得， 又因为， 所以. 故选：B. 3．若满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理求解即可． 【详解】因为在满足，所以或， 则或，所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：C． 4．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据边角关系逐项判断三角形解的情况. 【详解】A：为钝角且，有一解，故A错误； B：为锐角，，则无解，故B错误； C：为钝角且，则无解，故C错误； D：为锐角，，因，故有两解. 故选：D. 5．在中，若，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】因为，所以， 所以或， 又因为，所以， 因此. 故选：A. 6．已知在中，，，，则等于（   ） A． B． C．或 D．均不正确 【答案】C 【分析】根据正弦定理以及三角形的性质求解即可. 【详解】，. ，或. 若，则，. 若，则，. 故选：C. 7．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理计算，再结合角的范围求即可. 【详解】由余弦定理可得，. ，. 故选：C. 8．中，，由余弦定理得边长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理即可得解. 【详解】中，， 由余弦定理得， 则， 故选：. 9．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式即可求解. 【详解】. 故选：B. 10．如图，沿方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，若在上取一点B，使，米，．要使A、C、E成一条直线，开挖点E与点D的距离是（   ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可得，根据直角三角的边角关系可求解. 【详解】因为A、C、E在一条直线，且，， 所以， 在直角中，米， 所以（米）. 故选：B 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．在中，若，则角___________. 【答案】 【分析】先根据正弦定理化简，得到，即可知，再由角的取值范围，即可解得. 【详解】因为， 根据正弦定理得到， 显然，所以， 得到，又， 故，即. 故答案为： 12．在中，已知，且，则_________． 【答案】或 【分析】根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意得，所以， 又，所以或. 故答案为：或. 13．在中，b，c是方程的两根，，则a的值为 _________ 【答案】 【分析】根据韦达定理及余弦定理可求解. 【详解】由b，c是方程的两根，可得，. 在中，根据余弦定理可得， ，解得. 故答案为： 14．在中，已知，则角 ________ 【答案】 【分析】将已知化简后，利用余弦定理可求解. 【详解】由，可得， 所以. 因为，所以. 故答案为： 15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_______________. 【答案】/ 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】在中，， 由， 得， , 所以 故答案为： 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．在中，角的对应边分别为已知． (1)求边的值； (2)求的面积 【答案】(1) (2)21 【分析】（1）利用同角的三角函数的平方关系求出，然后利用正弦定理即可求出边c. （2）利用三角形内角和为，表示出角A，从而利用两角和的正弦公式求出，从而利用公式即可求出面积. 【详解】（1）在中，， 由得：， 已知，∴， 由正弦定理得：， ∴. （2）， ， . 17．在中，，，分别为角，，的对应边长，且． (1)求角． (2)若的面积为8，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理即可求解； （2）根据三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）已知， ，根据正弦定理可知： ， 因为， 所以角； （2）由（1）得，， 的面积， 因为. 18．如图，在四边形中，平分，，，，． (1)求的值； (2)求的长度 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据题意，结合三角形面积公式，可求得，结合同角三角函数的平方关系，可求出，结合向量的内积的定义，即可求解； （2）根据题意，结合第（1）问，可得的值，结合两角差的正弦公式，可求出，结合正弦定理，即可求解. 【详解】（1）在中，， ， 解得． ,又平分，即， ，， ． （2）因为在四边形中，平分，即, , ， ， 在中，由正弦定理得，即， 解得，即的长度是8． 19．如图所示，现要测量山两侧O、M两点间的距离，选取点A，使得O，A，M三点在同一个水平面，测得两点间的距离为，两点间的距离为且．    (1)求O，M两点间的距离 (2)计划在A，M之间选取一点B，在湖面上修建栈道，求栈道的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解即可. （2）根据同角三角函数的关系以及正弦定理求解即可. 【详解】（1）依题意，, 由余弦定理得， 即, , 即两点间的距离为． （2）   ，， , 由正弦定理， . 即栈道的长度为． 20．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，，米，并在点测得塔顶的仰角为30°，求塔高. 【答案】米 【分析】在中算出并由正弦定理计算出，再在直角中，根据的正切值计算即可. 【详解】在中，易知， 则由正弦定理可得，即， 解得， 且在直角中，，， 则， 则. 故塔高为米. 21．中国高铁某隧道工程队要在如图所示的和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，，．    (1)求隧道的长度； (2)求以确定隧道的方向． 附：，，，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在中求出的长，再在中求出的长，最后在中利用余弦定理求解； （2）在中利用正弦定理求出的值，结合参考数据即可得出结果. 【详解】（1）在中，因为，， 所以 因为，所以 在中，， ， 所以， 在中，由余弦定理得：， 所以，即隧道的长度为. （2）在中，由正弦定理得，即， 所以 因为，且为锐角， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第68卷 正余弦定理的综合应用 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在中，，，，（    ） A． B． C． D． 2．在中，，则（    ） A． B． C． D．不确定 3．若满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 4．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A． B． C． D． 5．在中，若，则等于（    ） A． B． C． D．或 6．已知在中，，，，则等于（   ） A． B． C．或 D．均不正确 7．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．中，，由余弦定理得边长（    ） A． B． C． D． 9．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，沿方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，若在上取一点B，使，米，．要使A、C、E成一条直线，开挖点E与点D的距离是（   ）米． A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．在中，若，则角___________. 12．在中，已知，且，则_________． 13．在中，b，c是方程的两根，，则a的值为 _________ 14．在中，已知，则角 ________ 15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_______________. 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．在中，角的对应边分别为已知． (1)求边的值； (2)求的面积 17．在中，，，分别为角，，的对应边长，且． (1)求角． (2)若的面积为8，，求的值． 18．如图，在四边形中，平分，，，，． (1)求的值； (2)求的长度 19．如图所示，现要测量山两侧O、M两点间的距离，选取点A，使得O，A，M三点在同一个水平面，测得两点间的距离为，两点间的距离为且．    (1)求O，M两点间的距离 (2)计划在A，M之间选取一点B，在湖面上修建栈道，求栈道的长度． 20．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，，米，并在点测得塔顶的仰角为30°，求塔高. 21．中国高铁某隧道工程队要在如图所示的和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，，．    (1)求隧道的长度； (2)求以确定隧道的方向． 附：，，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $