第54卷 组合与组合数-考点训练卷 2027年湖南省（对口招生考试）《数学考纲百套卷 》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦组合与组合数核心考点，通过概念辨析、基础计算、综合应用及概率结合的阶梯式题型设计，系统构建从概念到应用的知识逻辑链，培养抽象能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1（4题）|判断组合与排列的区别|以具体情境抽象组合概念本质| |基础计算|5（1-3,11-12题）|组合数公式直接应用与变形|从公式记忆到灵活运算| |综合应用|6（5-7,17-20题）|有限制条件的抽取、分配问题|从简单选取到复杂情境应用| |概率结合|5（8-10,14-15,21题）|古典概型中组合数应用|组合知识与概率计算融合|

编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第54卷 组合与组合数 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若，则满足等式的n的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据组合数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，解得. 故选：C. 2．若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用组合数的性质建立方程，求解参数即可. 因为，所以或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 综上，得到，故B正确. 故选：B 3．下列计算结果正确的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数公式及阶乘的定义即可求解. 【详解】对A，，， 所以A错误. 对B，规定，所以B错误. 对C，. 所以C错误. 对D，.所以D正确. 故选：D 4．下面问题中，不是组合问题的是（   ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合 【答案】A 【分析】根据排列和组合的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，则共有种排法，是排列问题； 对于B，从40人中选5人组成篮球队，有种选法，是组合问题； 对于C，从100人中选2人抽样调查，有种选法，是组合问题； 对于D，从1，2，3，4，5中选5个数组成集合，有种选法，是组合问题. 故选：A. 5．从4名男生和3名女生中任选4人参加展销活动，至少有2男和1女参加，则不同的选法共有（   ） A．15 B．30 C．35 D．216 【答案】B 【分析】利用计数原理结合组合数公式可求. 【详解】第一类选出2男2女，则共有种不同的方法； 第二类选出3男1女，则共有种不同的方法． 综上所述，一共有种不同的选法． 故选：B． 6．学校开设了5门选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同选法（    ） A．10种 B．15种 C．20种 D．60种 【答案】A 【分析】直接用组合数表示并计算即可． 【详解】学校开设了5门选修课，要求每个学生从中选学3门，则不同选法有种． 故选：A． 7．四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（    ） A．141 B．144 C．150 D．155 【答案】A 【分析】求出从10个点中任取4个点的取法，减去不合题意的结果可得答案． 【详解】从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类． 第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有种； 第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种； 第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱）， 它的4顶点共面，有3种． 以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有种． 故选：A． 8．从集合中任取两个不同的元素，则这两个元素相差2的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析任取2个不同元素的方案，再分析抽取的2个元素相差2的方案，即可求得概率. 【详解】从集合中任取两个不同的元素，有种方案. 当这两个元素相差2时，元素可能为，，. 故，这两个元素相差2的概率. 故选：B. 9．在一次志愿者活动中，某居民小区有2男2女报名，活动方需从中选取2人，则选中1男1女的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】志愿者人数共4人，从中选取2人的事件总数为， 根据分步乘法计数原理， 小区有2男2女，选中1男1女情况数为， 则选中1男1女的概率是， 故选：C 10．现有10份不同的食品，其中有2份不合格.每次取出1份进行检测，直到2份不合格的食品全部辨别出为止.若最后1份不合格食品正好在第3次检测时被发现，则前三次不同检测方案的种数为（    ） A．16 B．20 C．28 D．32 【答案】D 【分析】利用排列组合以及分步乘法计数原理即可. 【详解】依题意，前2次检测出1份不合格，1份合格，第3次检测出第2份不合格， 所以前三次不同检测方案的种数为. 故选：D 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．若，则__________. 【答案】7 【分析】根据组合数性质得到关于的方程，解出即可. 【详解】因为， 所以，所以或（舍去）. 故答案为：7. 12．6本书平均分给甲、乙、丙三人，有________种分法． 【答案】90 【分析】由组合知识结合分步计数原理可求解. 【详解】先从6本书中取出2本给甲，有种取法, 再从剩下的4本书中取出2本给乙，有种取法, 最后把剩下的2本书给丙，有种情况, 6本书平均分给甲、乙、丙三人，分法总数为：（种）. 故答案为：90 13．从4位男同学5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有_________种. 【答案】70 【分析】分两种情况，结合组合知识求出答案. 【详解】若选出的1男2女，此时选法有种， 若选出的2男1女，此时选法有种， 故男女生都要有的选法有种. 故答案为：70 14．从3本语文书和2本数学书中随机抽取2本，恰好抽到1本语文书的概率是________. 【答案】/ 【分析】利用排列组合的知识分别算出随机抽取2本的方法总数和恰好有1本语文书的抽法数，再用概率公式计算即可. 【详解】从本语文书和本数学书中随机抽取本，总的抽法有种. 恰好本语文书的抽法有种， 所以恰好抽到1本语文书的概率是概率为. 故答案为：. 15．从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加某项活动，则甲、乙两人中仅有一人入选的概率为_______． 【答案】 【分析】根据题意利用古典概型和组合数即可得解. 【详解】从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加某项活动有种选法； 当甲入选乙不入选有种选法； 当甲不入选乙入选有种选法； 所以概率为. 故答案为：. 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)455 (2)21 (3)19900 【分析】由组合数计算公式可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3） 17．高二年级数学课外小组人: (1)从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法? (2)从中选名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法? 【答案】(1)90 (2)45 【分析】（1）根据排列的定义以及计算公式求解即可. （2）根据组合的定义以及计算公式求解即可. 【详解】（1）选一名正组长和一名副组长，因为正组长与副组长属于不同的职位， 所以应该用排列数计算，共有种选法. （2）选名参加省数学竞赛，都是同样参加数学竞赛， 所以应该用组合数计算，有种不同选法． 18．在20件产品中，有17件合格品和3件次品，从中任取3件．（列式并计算结果） (1)一件次品都没有的抽法有多少种？ (2)恰好抽到1件次品的抽法有多少种？ (3)至少抽到2件次品的抽法有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）一件次品都没有即从件合格品中抽个利用组合数公式可求； （2）恰好抽到1件次品，就是从件合格品中抽个，从件次品中抽个然后利用组合数公式可求； （3）至少抽到2件次品，就是从件合格品中抽1个，从件次品中抽个，或者从件次品中抽个然后根据组合数公式可求. 【详解】（1）一件次品都没有，就是从件合格品中抽个，即； （2）恰好抽到1件次品，就是从件合格品中抽个，从件次品中抽个，即； （3）至少抽到2件次品，就是从件合格品中抽1个，从件次品中抽个，或者从件次品中抽个，即. 19．现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (1)一共有多少种不同的取法？ (2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ (3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ 【答案】(1)4060 (2)756 (3)784 【分析】（1）利用组合的定义及组合数公式即可求解； （2）利用组合的定义及分步乘法计数原理，结合组合数公式即可求解； （3）利用组合的定义及分类加法计数原理，结合组合数公式即可求解. 【详解】（1）所求的抽法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数 ． （2）抽取可以分成两步完成： 第一步，在2件次品中抽出1件，有种方法； 第二步，在28件合格品中抽出2件，有种方法． 由分步乘法计数原理知，不同的抽法为． （3）满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法． 第一类，恰有1件次品的取法有种， 第二类，恰有2件次品的取法有种． 由分类加法计数原理知，不同的抽法为． 20．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)共有多少种放法？ (2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ (3)恰有两个盒不放球，有多少种放法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分步乘法原理求解即可； （2）先从四个盒子中任意拿出去1个，再将4个球分成2，1，1的三组，放入剩下的三个盒子中，利用分步乘法原理求解； （3）先从四个盒子中任意拿走两个，然后把球分堆，最后利用分步乘法原理求解即可． 【详解】（1）一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法， 由分步乘法计数原理，放法共有种． （2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个， 再将4个球分成2，1，1的三组，有种分法； 然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可. 由分步乘法计数原理，共有放法：种． （3）先从四个盒子中任意拿走两个有种， 问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？” 从放球数目看，可分为，两类. 第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有种放法； 第二类：有种放法. 因此共有种. 由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：种． 21．从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取2个不同的数，不考虑顺序. (1)求共有多少种抽取结果； (2)求取出的这两个数的乘积为偶数的概率. 【答案】(1)种 (2) 【分析】（）根据题意结合组合数的计算即可得解. （）根据题意算出抽取的这两个数中至少有一个为偶数的抽取结果的种数，结合古典概型公式即可得解. 【详解】（1）从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取2个不同的数，不考虑顺序， 则有种抽取结果. （2）由（）可知，从个数中随机抽取两个数的基本事件总数为， 取出的这两个数的乘积为偶数，则抽取的这两个数中至少有一个为偶数， 则抽取的两个数都是奇数的抽取结果有种， 所以抽取的这两个数中至少有一个为偶数的抽取结果有种， 则取出的这两个数的乘积为偶数的概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第54卷 组合与组合数 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若，则满足等式的n的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．13 2．若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列计算结果正确的是（   ）. A． B． C． D． 4．下面问题中，不是组合问题的是（   ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合 5．从4名男生和3名女生中任选4人参加展销活动，至少有2男和1女参加，则不同的选法共有（   ） A．15 B．30 C．35 D．216 6．学校开设了5门选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同选法（    ） A．10种 B．15种 C．20种 D．60种 7．四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（    ） A．141 B．144 C．150 D．155 8．从集合中任取两个不同的元素，则这两个元素相差2的概率为（    ） A． B． C． D． 9．在一次志愿者活动中，某居民小区有2男2女报名，活动方需从中选取2人，则选中1男1女的概率是（   ） A． B． C． D． 10．现有10份不同的食品，其中有2份不合格.每次取出1份进行检测，直到2份不合格的食品全部辨别出为止.若最后1份不合格食品正好在第3次检测时被发现，则前三次不同检测方案的种数为（    ） A．16 B．20 C．28 D．32 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．若，则__________. 12．6本书平均分给甲、乙、丙三人，有________种分法． 13．从4位男同学5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有_________种. 14．从3本语文书和2本数学书中随机抽取2本，恰好抽到1本语文书的概率是________. 15．从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加某项活动，则甲、乙两人中仅有一人入选的概率为_______． 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．计算： (1)； (2)； (3). 17．高二年级数学课外小组人: (1)从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法? (2)从中选名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法? 18．在20件产品中，有17件合格品和3件次品，从中任取3件．（列式并计算结果） (1)一件次品都没有的抽法有多少种？ (2)恰好抽到1件次品的抽法有多少种？ (3)至少抽到2件次品的抽法有多少种？ 19．现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (1)一共有多少种不同的取法？ (2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ (3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ 20．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)共有多少种放法？ (2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ (3)恰有两个盒不放球，有多少种放法？ 21．从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取2个不同的数，不考虑顺序. (1)求共有多少种抽取结果； (2)求取出的这两个数的乘积为偶数的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $