第52卷 直线与圆锥曲线的关系-考点训练卷 2027年湖南省（对口招生考试）《数学考纲百套卷 》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦直线与圆锥曲线关系，采用三阶递进训练体系，以微目标拆解考点，强化知识综合与真题突破，培养几何直观、运算能力及模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-2题|轨迹判断、焦点三角形周长|从定义（椭圆、抛物线）到几何性质生成| |性质应用|选择5-7题、填空12题|离心率、渐近线、实轴长计算|由标准方程推导参数关系，强化公式应用| |位置关系|选择3-4题、9题、填空13题|直线与曲线交点个数、弦长、相切|通过方程联立分析判别式与韦达定理应用| |综合计算|解答16-21题|方程求解、面积、周长及中点问题|整合定义、性质与位置关系，构建问题解决模型|

编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第52卷 直线与圆锥曲线的关系 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 2．已知是椭圆的两个焦点，直线l过交椭圆C于A、B两点，则的周长为（    ）． A．6 B．10 C．20 D．40 3．已知直线经过椭圆的右焦点，且倾斜角为，它与椭圆相交与、两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 4．“直线与双曲线有两个公共点”是“直线与双曲线相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知双曲线（）的一条渐近线为，则它的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 6．已知双曲线方程，，为两焦点，过作直线交双曲线的同一支于，两点，若，则的周长是（    ） A． B． C．16 D． 7．若双曲线的中心在原点，实轴在x轴上且实轴长等于虚轴长，其中一个焦点在直线上，则该双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 8．设椭圆长轴两端点为、，为椭圆上与、不重合的点，则与斜率之积为（    ） A． B． C． D． 9．已知直线与双曲线相交，且交点位于双曲线的左、右两支，则直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交C于A，B两点.若，则（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．经过抛物线的焦点且与平行的直线方程为______． 12．双曲线的实轴长等于________，其渐近线与圆相切，则________. 13．过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有___________条. 14．已知是抛物线上一点,抛物线的焦点是,的延长线交轴于点.若是线段的中点，则___________. 15．若是抛物线上一动点，则到直线的最短距离是______. 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，，求的值． 17．如图所示，的顶点都在抛物线上，，，的面积为16． (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两点，求的周长. 18．已知抛物线，其准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，且，求的值． 19．已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线只有一个公共点，求实数的值． 20．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求． 21．已知椭圆的离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，且中点的横坐标为1，求k的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第52卷 直线与圆锥曲线的关系 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义分析即可解得. 【详解】由题，动点满足， 则点的轨迹为以为焦点的椭圆. 故选：A 2．已知是椭圆的两个焦点，直线l过交椭圆C于A、B两点，则的周长为（    ）． A．6 B．10 C．20 D．40 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由题意得，椭圆的标准方程为椭圆， 所以，即. 因为是椭圆的两个焦点，直线过交椭圆C于A、B两点. 所以由椭圆的定义可得， ， ， 所以的周长为. 故选：D. 3．已知直线经过椭圆的右焦点，且倾斜角为，它与椭圆相交与、两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆方程确定右焦点坐标，由直线斜率和过右焦点写出直线方程，与椭圆方程联立解得交点坐标，进而求得线段长度. 【详解】已知椭圆方程，则，焦点在轴上， 可得右焦点， 直线经过点且倾斜角为，该直线斜率为， 故直线的方程为， 把直线方程代入椭圆方程中，得 ， 即， 解得，，这是两个交点、的横坐标，令，， 点、的纵坐标分别为，， 所以线段的长为， 故选：D. 4．“直线与双曲线有两个公共点”是“直线与双曲线相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由双曲线的几何性质结合充分必要条件判断即可. 【详解】“直线与双曲线有两个公共点”，可以推出“直线与双曲线相交”，故充分性成立； “直线与双曲线相交”无法推出“直线与双曲线有两个公共点”， 如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个公共点，故必要性不成立； 故“直线与双曲线有两个公共点”是“直线与双曲线相交”的充分不必要条件. 故选：A. 5．已知双曲线（）的一条渐近线为，则它的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据已知渐近线方程求出的值，然后根据离心率公式计算出结果. 【详解】已知双曲线方程为， 则该双曲线的渐近线方程为，且， 已知双曲线的一条渐近线为，即， 所以，解得， 因为，，则，所以， 则离心率. 故选：A. 6．已知双曲线方程，，为两焦点，过作直线交双曲线的同一支于，两点，若，则的周长是（    ） A． B． C．16 D． 【答案】D 【分析】结合双曲线定义解题即可. 【详解】易知双曲线中，不妨将看做双曲线左焦点， 则由双曲线的定义可知：，， 即，， 则的周长为：. 故选：. 7．若双曲线的中心在原点，实轴在x轴上且实轴长等于虚轴长，其中一个焦点在直线上，则该双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的实轴与虚轴相等，再结合焦点的坐标求解即可； 【详解】∵双曲线的实轴在x轴上，一个焦点在直线上， ∴令，得，即双曲线的左焦点坐标为， ∵实轴长等于虚轴长,， ∴， ∴双曲线的标准方程是， 故选：C． 8．设椭圆长轴两端点为、，为椭圆上与、不重合的点，则与斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点坐标，设出点坐标，直接计算，化简即得． 【详解】由题意，设，则，， ∴． 故选：A． 9．已知直线与双曲线相交，且交点位于双曲线的左、右两支，则直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得此双曲线的渐近线方程，从而可得结果. 【详解】由题知此双曲线中，即可得其渐近线方程为， 又因为直线与双曲线的两支均有交点，可得此直线的斜率， 从而知直线的倾斜角范围为. 故选：D. 10．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交C于A，B两点.若，则（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据椭圆离心率得到，结合椭圆内的定义和直角三角形勾股定理，建立等式得到和，即可解得. 【详解】设，，，，    因为离心率为，则， 由，得，即， 可化为，代入得到， 即，解得，则，， 又，所以， 则，即， 解得，即，所以. 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．经过抛物线的焦点且与平行的直线方程为______． 【答案】； 【分析】根据平行直线求斜率，根据直线上一点求点斜式方程. 【详解】∵直线与平行， ∴直线的斜率， 又∵抛物线的焦点为， 故设直线的点斜式方程为， 整理得：， 故答案为: . 12．双曲线的实轴长等于________，其渐近线与圆相切，则________. 【答案】 / 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得，，，可得实轴长，渐近线方程，求得圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：，解方程可得的值． 【详解】解：双曲线即为， 可得，，， 所以实轴长为； 又双曲线的渐近线方程为，即为， 圆，即，圆心为，半径为， 由直线和圆相切可得，解得． 故答案为：；． 13．过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有___________条. 【答案】4 【分析】过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；过点且与双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点． 【详解】由双曲线得其渐近线方程为． ①过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点； ②设过点且与双曲线相切的直线为，联立，化为得到，解得． 则切线分别与双曲线有且仅有一个公共点． 综上可知：过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有4条． 故答案为：4． 14．已知是抛物线上一点,抛物线的焦点是,的延长线交轴于点.若是线段的中点，则___________. 【答案】 【分析】由抛物线的焦点坐标,线段的中点坐标公式,两点间的距离公式即可得解. 【详解】    如图所示. 因为. 所以. 设. 因为点为中点,设. . 整理得. 所以. 因为点在抛物线上. 所以. . 故答案为:. 15．若是抛物线上一动点，则到直线的最短距离是______. 【答案】0 【分析】设点，由点到直线的距离公式表示出到直线的距离，再进行配方，根据即可确定最短距离. 【详解】已知是抛物线上一动点， 设点，则到直线的距离为， 因为，所以， 则，所以， 即到直线的最短距离是0， 故答案为：0. 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解出直线与轴的交点，即可得到抛物线的焦点坐标，由此可解； （2）联系直线与抛物线方程，根据韦达定理求解结合弦长求解即可. 【详解】（1）直线中，令， 可得，解得， ∴直线与轴的交点为， ∴抛物线的焦点坐标为， ∴可知抛物线焦点位于轴的正半轴，且， 则，则抛物线的方程为； （2）∵斜率为的直线过抛物线的焦点， ∴，即， 设点， 联立，消y可得，， 其中， ∴， ∵，即， 可得，解得.    17．如图所示，的顶点都在抛物线上，，，的面积为16． (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两点，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线对称性，结合面积列出式子解得点M的坐标，进而得到抛物线方程； （2）联立抛物线和直线方程，利用韦达定理和抛物线定义，求得直线交于抛物线的弦长，进而得到的周长. 【详解】（1）因为，，所以是等腰直角三角形， 由抛物线的对称性可知和关于x轴对称，设， 则，解得， 所以点的坐标为， 把代入，得， 所以抛物线的方程为． （2）设， 联立直线与抛物线方程，消去，得， 则，， 由抛物线的定义，得， 所以， ， 所以的周长为． 18．已知抛物线，其准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的准线方程求出，可得抛物线的方程； （2）设，联立直线和抛物线的方程，消元写出韦达定理，将用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得的值． 【详解】（1）准线为，，抛物线的方程为； （2）设，联立，得， ，得，则， 因为，则， 则，即，或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，符合题意； 综上，m的值为． 19．已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线只有一个公共点，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的离心率以及双曲线过点列方程求解即可. （2）联立两方程，根据判别式为0求解即可. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 则，． 因为点在双曲线上， 所以，解得，． 故双曲线的标准方程为． （2）由得， 所以． 解得． 因此，实数的值为或．    20．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标求出，渐近线方程求出，利用即可求解； （2）利用点斜式求出直线方程，与双曲线联立方程组消掉，由韦达定理得，根据两点间的距离公式即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为， 所以， 又渐近线方程为， 所以，即， 由得， 解得， 所以双曲线的标准方程为. （2） 由直线的倾斜角为得直线斜率为， 因为直线过双曲线的右焦点， 所以直线方程为， 设， 直线与双曲线联立方程组得，消去得， 由韦达定理得， 故 21．已知椭圆的离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，且中点的横坐标为1，求k的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据b和离心率计算a的值，进而得出标准方程即可. （2）先设出A，B两点，可得，联立求解，再通过判别式求解即可. 【详解】（1）椭圆：中， ，. ，，解得：， 椭圆的方程为. （2）设， 则中点的横坐标为，可得， 联立，则.， 因为， ，即，解得：或. 综上所述，或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $