第51卷 直线与圆锥曲线的关系-考点训练卷 2027年湖南省（对口招生考试）《数学考纲百套卷 》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦直线与圆锥曲线关系，以考点微目标为核心，构建定义-性质-位置关系的递进式知识逻辑，强化数学思维中的推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义应用|选择1/5|动点轨迹方程求解|从抛物线/椭圆定义出发，建立“距离关系→方程”的转化逻辑| |性质计算|选择8/填空12|离心率/渐近线求解|围绕a,b,c关系，强化“方程→几何性质”的推导链条| |位置关系|填空11/14|直线与曲线交点判断|通过联立方程，培养“代数运算→几何位置”的转化思维| |综合证明|解答17/21|中点弦/垂直关系证明|整合定义、性质与方程思想，构建“已知条件→数学表达→逻辑论证”的完整推理体系|

编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第51卷 直线与圆锥曲线的关系 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知动圆M经过定点且和直线相切，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．，分别是椭圆的两个焦点，过的直线与该椭圆交于，两点，则的周长为（   ）. A．12 B．16 C．18 D．20 3．已知垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．若直线经过第二、三、四象限，则方程表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆 5．已知在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与它到定点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系中，和的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   7．已知直线过抛物线的焦点，则实数的值是（    ） A．8 B． C．2 D． 8．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．已知直线和直线，是抛物线上的点，则点到直线和直线的距离之和最小值为（   ） A． B． C．3 D．2 10．已知抛物线的顶点是坐标原点，准线方程为，在该抛物线上有一个动点，则动点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．若直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，则 ______. 12．已知双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为______． 13．已知双曲线的一条渐近线与直线：平行，则的离心率________. 14．直线与椭圆的位置关系为_____________． 15．已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是__________． 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知，是椭圆的两个焦点，且它的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于，两点，求线段的长度. 17．动点与定点的距离等于P到直线的距离，动点P的轨迹曲线为C． (1)求曲线C的方程； (2)经过定点的直线l与曲线C交于A、B两点，且点M是线段的中点，求直线l的方程． 18．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线平行，且与双曲线交于两点，若，求直线的方程． 19．已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 20．已知椭圆：的半焦距为，且过点．    (1)求椭圆的方程； (2)设直线交椭圆于，两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点． 21．已知椭圆短轴的两个端点分别为，点为长轴的右端点，直线与直线的斜率之积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，且与椭圆交于M，N两点，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖南省对口招生《数学考纲百套卷》 第51卷 直线与圆锥曲线的关系 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知动圆M经过定点且和直线相切，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆相切的性质、抛物线的定义及标准方程求解. 【详解】因为动圆M经过定点，且和直线相切， 所以点M到点的距离等于它到直线的距离， 又点不在直线上， 所以M的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线． 设抛物线方程为，则，解得， 故点M的轨迹方程为， 故选：B． 2．，分别是椭圆的两个焦点，过的直线与该椭圆交于，两点，则的周长为（   ）. A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求出，利用椭圆的定义即可得解. 【详解】椭圆，则， 如图所示，    由椭圆的定义可知，，， 则的周长为， 故选：. 3．已知垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出点坐标，则纵坐标为，代入抛物线方程中即可得解. 【详解】    根据题意作出图像，垂直于轴的直线交抛物线于两点，且， 设，则， 所以，解得， 所以直线的方程为， 故选：. 4．若直线经过第二、三、四象限，则方程表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】由直线图象得出，再根据双曲线的定义判断即可. 【详解】因为直线经过第二、三、四象限， 所以直线斜率，截距 ， 方程，可化为， 所以方程表示的是焦点在轴上的双曲线. 故选：C. 5．已知在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与它到定点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义求解轨迹方程即可. 【详解】因为动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 所以动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 则焦点在轴上，设抛物线的标准方程为 且，即，所以点的轨迹方程为. 故选：B. 6．在同一平面直角坐标系中，和的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据一次函数图像的性质，椭圆及双曲线方程的定义即可得解. 【详解】选项，由一次函数图像可知，，所以此时不符合椭圆方程的定义，故错误； 选项，由一次函数图像可知，，此时不符合椭圆方程的定义，故错误； 选项，由一次函数图像可知，，此时不符合双曲线方程的定义，故错误， 选项，由一次函数图像可知，，此时的图像为焦点在轴的双曲线，故正确， 故选：. 7．已知直线过抛物线的焦点，则实数的值是（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】将代入直线方程中求出直线与轴的交点坐标，根据抛物线方程求出焦点坐标，根据题意列出方程即可得解. 【详解】直线，令，则，解得， 所以直线与轴的交点是， 抛物线的焦点是，所以，解得， 故选：A. 8．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件和双曲线的渐近线方程得到，再由双曲线关系求解离心率即可. 【详解】由直线可知，其斜率为. 因为双曲线的渐近线方程为，则， 所以. 故选：C 9．已知直线和直线，是抛物线上的点，则点到直线和直线的距离之和最小值为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】点到直线的距离为，点到直线的距离为，利用抛物线的定义得， 当共线时，点到直线和直线的距离之和最小，由点到直线的距离公式求得答案． 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 根据题意作图如下： 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由抛物线的定义知：， 点到直线和直线的距离之和为， 当共线时，点到直线和直线的距离之和最小， 又点到直线的距离为， 点到直线和直线的距离之和最小值为2． 故选：D. 10．已知抛物线的顶点是坐标原点，准线方程为，在该抛物线上有一个动点，则动点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据准线方程求出抛物线方程，再设出抛物线上动点的坐标，最后根据两点间距离公式及二次函数的性质求出最小距离. 【详解】准线方程为，即， 则，得，则， 故该抛物线的方程为， 设抛物线上的动点，则， 所以， 所以当时，． 故选：C . 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．若直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，则 ______. 【答案】或. 【分析】联立直线方程与双曲线方程，再根据判别式求解即可. 【详解】联立方程，化简得. 因为直线 与双曲线 有且仅有一个公共点， 若二次项系数为0 ，即，解得，此时只有一个交点. 若二次项系数不为0，所以，化简得，解得. 故答案为：或. 12．已知双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为______． 【答案】. 【分析】根据双曲线的渐近线方程求解. 【详解】已知双曲线的方程为， 则， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 13．已知双曲线的一条渐近线与直线：平行，则的离心率________. 【答案】或 【分析】先由直线平行可得斜率，再分类讨论双曲线的焦点位置求解离心率即可. 【详解】∵双曲线的一条渐近线与直线：平行， ∴可知双曲线的渐近线斜率， 当双曲线焦点在x轴时，则有，即， 又有， 则离心率； 当双曲线焦点在y轴时，则有，即， 又有， 则离心率； 则的离心率为或. 故答案为：或. 14．直线与椭圆的位置关系为_____________． 【答案】相交 【分析】求得直线恒过的定点，判断定点与椭圆的位置关系，由此可得直线与椭圆的位置关系. 直线可化为，所以直线恒过点， 又，即在椭圆的内部， 直线与椭圆的位置关系为相交. 15．已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将直线与椭圆的位置关系转化为方程组联立后的根的个数问题，借助得到，以及椭圆的长轴长概念得解. 将代入，得， 则，解得． 因为C的长轴长为，所以C的长轴长的取值范围是． 故答案为：. 三、解答题(本大题共6小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知，是椭圆的两个焦点，且它的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于，两点，求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率公式即可确定椭圆的标准方程. （2）将直线方程与椭圆方程联立，再由弦长公式求值即可. 【详解】（1）已知，，离心率为， 得，，且椭圆的焦点在轴上， 则，解得， 因为，所以， 所以椭圆的标准方程是. （2）设，， 根据题意得， 化简得， 则有，， 又因为，且， 所以. 17．动点与定点的距离等于P到直线的距离，动点P的轨迹曲线为C． (1)求曲线C的方程； (2)经过定点的直线l与曲线C交于A、B两点，且点M是线段的中点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义求出曲线方程， （2）通过点差法求出直线的斜率，进而可得直线的方程. 【详解】（1）动点与定点的距离等于到直线的距离，且直线不经过点， 所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 设抛物线的方程为，其焦点坐标为， 由焦点可得，解得， 所以曲线的方程为. （2）若直线垂直于轴，则直线的方程为， 此时线段的中点纵坐标为0，与是线段的中点的条件矛盾，故直线斜率存在. 设，，且， 因为、在曲线上，所以， 两式相减得：，即， 因为点是线段的中点，可得，即， 则直线的斜率， 又直线过点， 则直线的方程为，即. 联立，消去整理得， 则，符合题意， 综上，直线的方程为.    18．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线平行，且与双曲线交于两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的性质求出双曲线的标准方程， （2）根据直线平行的性质设出直线的方程，联立直线与双曲线方程，利用弦长公式求出直线的方程. 【详解】（1）椭圆的焦点为，故双曲线的焦点为， 双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为， 则半焦距． 双曲线的渐近线为， 故双曲线的渐近线为，则． 又因为，所以， 即，解得， 所以， 故双曲线的标准方程为. （2）已知直线与直线平行， 直线的斜率为，纵截距为，所以直线的斜率也为， 设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程：， 消去整理得：， ， 设，，则：，， 由弦长公式得： ， 因为，所以，解得，即， 所以直线的方程为或，即或. 19．已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由焦点和离心率，可求出，再由求出，进而写出双曲线的方程； （2）设，联立双曲线和直线方程，由韦达定理得，再由向量垂直的坐标表示证明即可. 【详解】（1）双曲线的一个焦点为，离心率为2 则，得，又， 双曲线的方程为； （2） 直线与双曲线相交于两点， 由，得， 设，则 ， ， = ，所以． 20．已知椭圆：的半焦距为，且过点．    (1)求椭圆的方程； (2)设直线交椭圆于，两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据半焦距以及点代入椭圆方程求解即可. （2）联立两方程，根据韦达定理以及中点坐标公式得到坐标，再根据直线垂直求出线段的中垂线，进而求解即可. 【详解】（1）椭圆过点，即，又， 又，则，即椭圆方程为． （2）由得，，    设，，则，． 设的中点为， 得，即，得， 所以， 所以的中垂线方程为，即， 故的中垂线恒过点． 21．已知椭圆短轴的两个端点分别为，点为长轴的右端点，直线与直线的斜率之积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，且与椭圆交于M，N两点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）设出点，根据斜率公式以及题意代入求解即可. （2）设出坐标，讨论切线斜率是否存在，联立直线方程与椭圆方程，再根据向量垂直求解即可. 【详解】（1）设. 因为，则，所以，则. 因为椭圆短轴的两个端点分别为，所以. 因此椭圆的标准方程为. （2）设. 若直线斜率不存在，因为与圆相切，所以直线的方程为. 将代入椭圆方程，得，解得.此时，， 因此，同理可得相同结果，故. 若直线斜率存在，设直线的方程为. 因为与圆相切，原点到直线的距离等于半径，即，整理得. 将代入椭圆方程，整理得. 由韦达定理得. 则， 因此. 因为，所以，即，. 综上，无论直线斜率是否存在，都有.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $